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人教版高中(必修一)数学1.3.1_单调性与最大(小)值(第1课时)ppt课件_图文

人教版高中(必修一)数学1.3.1_单调性与最大(小)值(第1课时)ppt课件_图文

引入1 如图为我市某日24小时内的气温变化 图.观察这张气温变化图: 引入2 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对 人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试, 得到了以下一些数据: 时间间 隔 t 记忆量y (百分比) 8-9 1天 刚记忆 20分 60分 完毕 钟后 钟后 小时后 后 100 58.2 44.2 35.8 2天 后 6天 一个 后 月后 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明,记忆量y是时间 y 100 80 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 60 40 20 o 斯遗忘曲线”,如图. 1 2 3 t 思考1:当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应 的函数值y有什么变化趋势?通过这个实验, 你打算以后如何对待刚学过的 知识? y记忆的数量(百分数) 100 80 思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”60 40 20 从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释? o 1 2 3 天数 t 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 探究点 函数单调性的定义 我们通过几个函数的图象观察函数值随自 变量而变化的规律. 函数值在( ? ?, ? ?)上 随着自变量的增大而增大. 函数值在( ? ?, 0)上随自变量的 增大而减少,在[0, ? ?)上随 自变量的增大而增大. 像这种函数在其定义域的一个区间上函数值随 增大而增大 的性质我们称之为“函 着自变量的___________ 数在这个区间上是增函数”;函数在其定义域的 增大而减少 的 一个区间上函数值随着自变量的___________ 性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”. 如何用函数的解析 式和数学语言进行 描述? 对函数f(x)=x2而言,“函数值在(0,+∞)上随 自变量的增大而增大”,可以这样描述:在区间 (0,+∞)上任取两个实数x1,x2,得到函数值 f(x1)<f(x2). f(x1)=x12,f(x2)=x22,当x1<x2时,有____________ 请同学们用数学语言描述函数f(x)在(-∞,0]上 函数值随自变量的增大而减小的情况. 函数单调性的相关概念 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 f(x1)<f(x2) ,那 量的值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有___________ 么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 f(x1)>f(x2) ,那 量的值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有___________ 么就说函数 f (x) 在区间D上是减函数. 增函数或减函数 , 如果函数y=f(x)在区间D上是_______________ 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调 性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 对函数单调性的理解 第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单 调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)), 而不能是f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); 第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而 言的, 是局部概念; 第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和 结论是双向使用的. 例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据 图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上, 它是增函数还是减函数? ? 2), [?2,1),[1,3),[3,5], 解:函数 y ? f (x) 的单调区间有 [?5, ? 2), [1,3) 上是减函数,在区间 其中 y ? f (x) 在区间 [?5, [?2,1),[3,5] 上是增函数. k 例2.物理学中的玻意耳定律p ? ( k为正常数)告诉我们, V 对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性证明之. k 分析:即要求证明函数p ? 在(0, ? ?) V 上是减函数 . 取值 证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域(0,+∞)上 的任意两个实数,且V1<V2, 则p(V1 ) ? p(V2 ) ? V ?V k k ? ?k 2 1. V1 V2 VV 1 2 作差变形 由V1,V2 ? (0, ??),得VV 1 2 ? 0;由V 1 ? V2 , 得V2 ? V 1 ? 0. 又k ? 0, 于是p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0, 即p(V1 ) ? p(V2 ). 定号 判断 k 所以,函数 p ? , V∈(0,+∞)是减函数,也就是说,当体 V 积减小时,压强p将增大. 【提升总结】 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤: ①取值:即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且 x1<x2; ②作差变形:即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并 用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判 断差的符号的方向变形; ③定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号, 当符号不确定时,可进行分类讨论; ④判断:根据定义得出结论. 探究实践 1 画出反比例函数f(x)= 的图象. x (1)这个函数的定义域I是什么? (2)它在定义域I上的单调性是怎样的? 证明你的结论. 函数图象如图 (1)函数的定义域是(-?,0)?(0,+?). ( 2)函数在( ? ?, 0)上和(0, ? ?)上 都是减函数. 函数在(-?,0)上单调递减的证明如下: 证明:任取x1 , x2 ? (??, 0), 且x1 ? x2 , 1 1 x2 ? x1 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? . x1 x2 x1

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