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2020学年高中数学苏教版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.3.2_图文

2020学年高中数学苏教版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.3.2_图文

精品数学课件
2020 学 年 苏 教 版













3.3.2 极大值与极小值



阶 段 二

业 分 层 测



1.理解函数极值的概念.(难点) 2.掌握利用导数求函数极值的方法.(重点)

[基础·初探] 教材整理 函数的极值 阅读教材 P88 例 1 以上部分,完成下列问题. 1.函数极值的定义

函数的极值

设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如 极大值 果值f都(x0要)的大值,比则x称0值f(附x0)近是所函有数各f(x点)的的一函个数极大值.
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如 极小值 果值f都(x0要)的小值,比则x称0值f(附x0)近是所函有数各f(x点)的的一函个数极小值.

2.求函数 y=f(x)的极值的方法
解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 ; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值 .

1.判断正误: (1)函数 f(x)=1x有极值.( ) (2)函数的极大值一定大于极小值.( ) (3)若 f′(x0)=0,则 x0 一定是函数 f(x)的极值点.( )

【解析】 (1)×.f(x)=1x在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,故无极值. (2)×.反例,如图所示的函数的极大值小于其极小值.
(3)×.反例,f(x)=x3,f′(x)=3x2,且 f′(0)=0,但 x=0 不是极值点. 【答案】 (1)× (2)× (3)×

2.函数 y=x+1x的极大值为________. 【导学号:24830084】
【解析】 y′=1-x12,令 y′=0 得 x2=1,x=±1. 当 x∈(-∞,-1)时,y′>0.当 x∈(-1,0)时,y′<0.
∴y=x+1x在 x=-1 处取得极大值 y=-2. 【答案】 -2

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

求函数的极值

[小组合作型]

求下列函数的极值:

(1)y=2x3+6x2-18x+3;(2)y=2x+8x.

【精彩点拨】 f ′(x0)=0 只是可导函数 f(x)在 x0 处有极值的必要条件,只有 再加上 x0 左右导数的符号相反,才能判定函数在 x0 处取得极值.

【自主解答】 (1)函数的定义域为 R.y′=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1), 令 y′=0,得 x=-3 或 x=1. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:

x (-∞,-3)

y ′



y

-3
0 极大 值57

(-3,1) - ↘

1
0 极小 值-7

(1,+ ∞) +


从上表中可以看出,当 x =-3 时,函数取得极大值,且 y 极大值=57. 当 x =1 时,函数取得极小值,且 y 极小值=-7. (2)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′=2-x82=2???1-x42???=2???1-2x??????1+2x???, 令 y′=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x<-2 时,y′>0;当-2<x<0 时,y′<0. 即 x=-2 时,y 取得极大值,且极大值为-8. 当 0<x<2 时,y′<0;当 x>2 时,y′>0. 即 x=2 时,y 取得极小值,且极小值为 8.

求函数极值的方法 (1)求 f′(x)=0 在函数定义域内的所有根; (2)用方程 f′(x)=0 的根将定义域分成若干个小区间、列表; (3)由 f′(x)在各小区间内的符号,判断 f′(x)=0 的根处的极值情况.

[再练一题] 1.求函数 f(x)=3x3-3x+1 的极值. 【解】 f′(x)=9x2-3.令 f′(x)=0,解得 x1=- 33,x2= 33. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

????-∞,-

3?? 3 ??

f′(x)





3 3

0

????-

33,

3?? 3 ??



3 3

?? ??

33,+∞ ????

0



f(x) 单调递增

233+1 单调递减 1-233 单调递增

则 f(x)的极大值为233+1,极小值为 1-233.

已知函数的极值求参数
(2016·青岛高二检测)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=±1 处取 得极值,且 f(1)=-1.
(1)求常数 a,b,c 的值; (2)求函数的极大值和极小值. 【精彩点拨】 可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点,因此 f′(1) =0,f′(-1)=0,再由 f(1)=-1,得到三个关于 a,b,c 的方程,联立可求得 a, b,c 的值.

【自主解答】 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由 x=±1 是极值点, 得?????33aa+-22bb++cc==00,,②① 又 f(1)=-1, 所以 a+b+c=-1.③

???a=12, 联立①②③,解得?b=0,
???c=-32

,经验证 a,b,c 的值符合题意.

(2)由(1)得 f(x)=12x3-32x,所以 f′(x)=32x2-32=32(x-1)(x+1), 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时,f′(x)<0. 所以,当 x=-1 时,f(x)有极大值 f(-1)=1;当 x=1 时,f(x)有极小值 f(1)= -1.

已知函数极值,求参数的值时,应注意两点: (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求 解后必须验证根的合理性.

[再练一题] 2.已知函数 y=x3+ax2+bx+27 在 x=-1 处取极大值,在 x=3 处取极小值, 则 a=________,b=________.
【导学号:24830085】 【解析】 y′=3x2+2ax+b,根据题意知,-1 和 3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两根, 由韦达定理可求,得 a=-3,b=-9.经检验,符合题意. 【答案】 -3 -9

函数极值的综合应用

[探究共研型]

探究 1 已知三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若 f′(x)=0 的两个根是 x1,x2,且 x1<x2,分别写出当 a>0 和 a<0 时函数 f(x)的单调区间.
【提示】 由题意可知 f′(x)=a(x-x1)(x-x2),当 a>0 时,令 f′(x)>0 可得 x<x1 或 x>x2,令 f′(x)<0 可得 x1<x<x2,所以当 a>0 时,函数 f(x)的单增区间 是(-∞,x1),(x2,+∞),单减区间是(x1,x2).
同理当 a<0 时,函数 f(x)的单增区间是(x1,x2),单减区间是(-∞,x1),(x2, +∞).

探究 2 当 a>0 时,分别判断当 x→+∞和 x→-∞时探究 1 中的三次函数 f(x) 的变化趋势是怎样的?当 a<0 时呢?
【提示】 当 a>0 时,若 x→+∞,则 f(x)→+∞,若 x→-∞,则 f(x)→- ∞;
当 a<0 时,若 x→+∞,则 f(x)→-∞,若 x→-∞,则 f(x)→+∞.

探究 3 设 a>0,讨论探究 1 中的三次函数 f(x)的图象和 x 轴交点的个数? 【提示】 因为 a>0,所以函数 f(x)的单调增区间是(-∞,x1),(x2,+∞), 单减区间是(x1,x2). 所以 f(x)的极大值为 f(x1),极小值为 f(x2),显然 f(x1)>f(x2),所以当 f(x2)>0 或 f(x1)<0 时,函数 f(x)的图象和 x 轴只有 1 个交点; 当 f(x1)=0 或 f(x2)=0 时,函数 f(x)的图象和 x 轴有 2 个交点; 当 f(x1)>0 且 f(x2)<0 时,函数 f(x)的图象和 x 轴有 3 个交点;

已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交 点,求 m 的取值范围.
【精彩点拨】 解(1)需要对参数 a 分类讨论.解决(2)可根据在 x=-1 处取得 极值的条件,解出 a 的值,进而求 m 的取值范围.

【自主解答】 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0,所以当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(- ∞,+∞); 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x<- a或 x> a, 由 f′(x)<0,解得- a<x< a, 所以当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,- a],[ a,+∞), f(x)的单调递减区间为(- a, a).

(2)因为 f(x)在 x=-1 处取得极值,所以 f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.所以 a= 1.
所以 f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.由 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=1. 由(1)知 f(x)的单调性,可知 f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1 ,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3.因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 又 f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1,结合 f(x)的单调性,可知 m 的取值范围是( - 3,1).

应用导数求函数的极值,来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数,是 一种很有效的方法,它通过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图象 与 x 轴的交点个数,从而判断方程根的个数.

[再练一题] 3.已知函数 f(x)=13x3-4x+4.试分析方程 a=f(x)的根的个数. 【解】 ∵f(x)=13x3-4x+4,∴f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2).由 f′(x)=0 得 x =2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)

极大值

极小值

∴当 x=-2 时,函数取得极大值 f(-2)=238.当 x=2 时,函数取得极小值 f(2) =-43.

且 f(x)在(-∞,-2)上递增,在(-2,2)上递减,在(2,+∞)上递增. 根据函数单调性、极值情况,它的图象大致如图所示.

结合图象:①当 a>238或 a<-43时,方程 a=f(x)有一个根. ②当-43<a<238时,方程 a=f(x)有三个根. ③当 a=238或 a=-43时,方程 a=f(x)有两个根.

[构建·体系]

1.下列四个函数中:①y=x3;②y=x2+1;③y=x2;④y=2x 能在 x=0 处取 得极值的函数是________(填序号).
【解析】 ①④均为单调函数,不存在极值,②③在 x=0 处取得极值. 【答案】 ②③

2.下列结论: ①导数为零的点一定是极值点; ②如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ③如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,那么 f(x0)是极小值; ④如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)<0,右侧 f ′(x)>0,那么 f(x0)是极大值. 其中正确的是________.
【解析】 根据函数极值的概念,依次判断各选项知,选项 A,C,D 均错, 选项②正确.
【答案】 ②

3.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值.
【解析】 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减, 当 x∈(-∞,0)或(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增, ∴在 x=2 处函数取得极小值. 【答案】 2

4.(2016·盐城高二检测)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a, b)内的图象如图 3-3-5 所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有________个极小值点.
图 3-3-5

【解析】 由图可知,在区间(a,x1),(x2,0),(0,x3)内 f′(x)>0;在区间(x1, x2),(x3,b)内 f′(x)<0,即 f(x)在(a,x1)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减,在(x2, x3)内单调递增,在(x3,b)内单调递减.所以,函数 f(x)在开区间(a,b)内只有一个极 小值点,极小值点为 x=x2.故填 1.
【答案】 1

5.求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值.

【解】 函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的定义域为 R,且 f′(x)=3x2-6x-9. 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3.当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)



0



0



单调递增 10 单调递减 -22 单调递增

因此,x=-1 是函数 f(x)的极大值点,极大值为 f(-1)=10;

x=3 是函数 f(x)的极小值点,极小值为 f(3)=-22.

我还有这些不足: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

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