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【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.2.1 第2课时 等差数列的性质课件 新人教B版必修5

【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.2.1 第2课时 等差数列的性质课件 新人教B版必修5


教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究

易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

第 2 课时 等差数列的性质

●三维目标 1.知识与技能 理解和掌握等差数列的性质,能选择更方便快捷的解题方 法,了解等差数列与一次函数的关系.

2.过程与方法 培养学生观察、归纳能力,在学习过程中体会类比思想、数 形结合思想、特殊到一般的思想并加深认识. 3.情感、态度与价值观 通过师生、 生生的合作学习, 增强学生团队协作能力的培养, 并引导学生从不同角度看问题,解决问题.

●重点难点 重点:理解等差中项的概念,等差数列的性质,并用性质解 决一些相关问题,体会等差数列与一次函数之间的联系. 难点:加深对等差数列性质的理解,学生在以后的学习过程 能从不同角度看问题,解决问题,学会研究问题的方法.

课 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.(重 标 点、易错点) 解 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.(难点) 读

子数列的性质
【问题导思】 已知等差数列{an},取其奇数项组成一个新数列,则此数列 是否为等差数列?若取偶数项呢?
【提示】 是等差数列,偶数项也是等差数列.

从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍 为 等差 数列.

等差数列通项公式的变形
【问题导思】 等差数列{an}中,任意两项 an 与 am 有怎样的关系?能否用 它们求公差?(其中 n>m,m,n∈N*).
【提示】 an-am an=am+(n-m)d.能,d= . n-m
an-am n-m .

等差数列通项公式的变形: an=am+ (n-m) d,d=

“下标和”性质

【问题导思】 看下面三个等差数列: (1)1,3,5,7,9,13,? (2)5,2,-1,-4,-7,-10,? (3)2,2,2,2,2,2,?

1.你能计算出每个数列中 a1+a5 与 a2+a4 的值吗?

【提示】

(1)a1+a5=10,a2+a4=10;

(2)a1+a5=-2,a2+a4=-2; (3)a1+a5=4,a2+a4=4.

2.各个数列中 a1+a5 与 a2+a4 的值有怎样的数量关系?这 种关系是巧合吗?
【提示】 相等,不是巧合. 3.如果换为 a1+a4 与 a2+a3 呢? 【提示】 仍然相等.

(1)在等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am+an= ap+aq . (2)在等差数列{an}中,若 m+n=2t,则 am+an= 2at . (3)数列{an}是有穷等差数列, 则与首末两项等距离的两项之 和都相等,且等于首末两项之和,即 a1+an= a2+an-1
a3+an-2



=?=ai+1+an-i=?.

等差数列性质的应用
(1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求 a75. (2)设{an}为等差数列,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2 +a8.

【思路探究】 (1)通过已知条件能否列出关于 a1,d 的方程 组,求得 a1,d 进而求出 a75 的值? (2)a15,a30,a45,a60,a75 是否成等差数列?

【自主解答】 (1)法一 因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d,
? ?a1+14d=8, 所以? ? ?a1+59d=20,

64 ? ?a1=15, 解得? ?d= 4 . ? 15 64 4 故 a75=a1+74d=15+74×15=24.

法二

因为{an}为等差数列,

所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,其公差为 d,a15 为首项,则 a60 为其第四项, 所以 a60=a15+3d,得 d=4. 所以 a75=a60+d=24. (2)法一 ∵a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8, ∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450. ∴a5=90,故 a2+a8=2a5=180.

法二 ∵{an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d, ∴ a3 + a4 + ? + a7 = a1 + 2d + a1 + 3d + ? + a1 + 6d = 5a1 + 20d, 即 5a1+20d=450,∴a1+4d=90, 故 a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=180.

1.等差数列“子数列”性质中“等距抽取”问题,分析的 关键在于新数列中的项是从原等差数列中“等距”抽取出来的, 故仍成等差数列,但产生了新的公差. 2.正确认识等差数列的“下标和”性质: (1)此性质是等差数列特有的性质; (2)若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,反之不成立; (3)命题结论等式的两边各有两项,也可以推广到三项、四 项??,但等式两边和的项数必须相同.

在等差数列{an}中, (1)a1+a3+a5=-1,求 a1+a2+a3+a4+a5; (2)已知 a2+a3+a4+a5=34,a2· a5=52,且 a4>a2,求 a5.

【解】 (1)∵a1+a3+a5=(a1+a5)+a3 =2a3+a3=3a3=-1, 1 ∴a3=-3,
? 1? 5 ? ? ∴a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5× -3 =-3. ? ?

(2)∵a2+a3+a4+a5=34 且 a3+a4=a2+a5, ∴2(a2+a5)=34, ∴a2+a5=17,又 a2· a5=52,
? ?a2=4, ∴? ? ?a5=13, ? ?a2=13, 或? ? ?a5=4.

又∵a4>a2,∴a4-a2=2d>0, ∴d>0,∴a5>a2, ∴a5=13.

灵活设元求解等差数列
已知四个数成等差数列, 它们的和为 26, 中间两项 的积为 40,求这四个数.

【思路探究】 可设首项与公差联立方程组求解,也可以用 等差数列的性质,对称的设出项,再用方程组求解.比较一下, 你认为哪种方法更简便?

【自主解答】 据题意,得

法一

设这四个数分别为 a,b,c,d,根

?b-a=c-b=d-c, ? ?a+b+c+d=26, ?bc=40. ? ? ?a=2, ?b=5, 解得? ?c=8, ? ?d=11, ? ?a=11, ?b=8, 或? ?c=5, ? ?d=2,

∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

法二

设此等差数列的首项为 a1,公差为 d,根据题意,得

? ?a1+?a1+d?+?a1+2d?+?a1+3d?=26, ? ? ??a1+d??a1+2d?=40, ? ?4a1+6d=26, 化简,得? 2 2 ? ?a1+3a1d+2d =40, ? ?a1=2, 解得? ? ?d=3, ? ?a1=11, 或? ? ?d=-3,

∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

法三 据题意,得

设这四个数分别为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,根

? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ??a-d??a+d?=40,

13 ? ? ?a= 2 , ?4a=26, 化简,得? 2 解得? 2 ? 3 ?a -d =40, ?d=± 2. ? ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接 设首项为 a1,公差为 d,利用已知条件建立方程组求出 a1 和 d, 即可确定数列. 2.当等差数列{an}的项数为奇数时,可设中间一项为 a,再 以公差为 d 向两边分别设项,即:?,a-2d,a-d,a,a+d, a+2d?. 3.当等差数列{an}的项数为偶数时,可设中间两项分别为 a -d,a+d,再以公差为 2d 向两边分别设项,即?,a-3d,a -d,a+d,a+3d?.

已知递减等差数列{an}的前三项和为 18,前三项的乘积为 66,求数列的通项公式,并判断-34 是不是该数列的项.
【解】 法一
? ?a1+a2+a3=18, 依题意,得? ? a2· a3=66, ?a1·

? ?3a1+3d=18, ∴? ? ?a1+d?· ?a1+2d?=66, ?a1· ? ?a1=11, 解得? ? ?d=-5, ? ?a1=1, 或? ? ?d=5.

∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0.

故取 a1=11,d=-5, ∴an=11+(n-1)· (-5)=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为 an=-5n+16. 令 an=-34,即-5n+16=-34,得 n=10. ∴-34 是数列{an}的第 10 项.

法二

设等差数列{an}的前三项依次为 a-d,a,a+d,
? ?a=6, 解得? ? 5. ?d=±

? ??a-d?+a+?a+d?=18, 则? ? a· ?a+d?=66, ??a-d?·

又∵{an}是递减等差数列,∴d<0, ∴取 a=6,d=-5. ∴等差数列{an}的首项 a1=11,公差 d=-5. ∴通项公式 an=11+(n-1)· (-5)=-5n+16. 令 an=-34,解得 n=10. ∴-34 是数列{an}的第 10 项.

等差数列的综合应用
方程 f(x)=x 的根称为函数 f(x)的不动点, 若函数 f(x) 1 x = 有唯一不动点, 且 x1=1 000, xn+1= ? ?, n=1,2,3, ?, 1 a?x+2? f?x ? ? n? 则 x2 014 等于( A.2 014 2 015 C. 2 ) 4 013 B. 2 D.2 013

x 【思路探究】 (1)由 f(x)= 有唯一不动点,能否求出 a?x+2? a 的值? (2){xn}是等差数列吗?
【自主解答】 x 令 f(x)=x,则 =x, a?x+2?

即 ax2+(2a-1)x=0 有唯一不动点, 1 2x 则 2a-1=0,即 a=2,∴f(x)= , x+2

2xn+1 1 1 xn +1 = ? ? = 2 = 2 1 f?x ? xn ? n? 1 xn+2 1 =xn+2, 1 即 xn+1-xn=2(常数). 1 ∴{xn}是首项为 1 000,公差为2的等差数列. 1 4 013 ∴x2 014=1 000+2 013×2= 2 . 【答案】 B

解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项求解. (2)利用通项公式,得到一个以首项 a1 和公差 d 为未知数的 方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决.

首项为 a1, 公差 d 为整数的等差数列{an}满足下列两个条件: (1)a3+a5+a7=93; (2)满足 an>100 的 n 的最小值是 15.试求公差 d 和首项 a1 的值.

【解】 由 a3+a5+a7=93, 则 a5=31, 69 ∴an=a5+(n-5)d>100,∴n> d +5.

69 ∵n 的最小值是 15,故 14≤ d +5<15, 69 ∴6.9<d≤ 9 , ∵d 为整数,∴d=7,∴a1=a5-4d=3.

等差数列性质使用不正确致误 等差数列{an}中,已知 a3=2,a6=5,求 a9.
【错解】 ∵3+6=9,∴a9=a3+a6=2+5=7.

【错因分析】 性质 am+an=ap+aq 中必须是两项相加等于 两项相加,并不是下标和相等即相等.

【防范措施】 使用性质“若 m+n=p+q,则 am+an=ap +aq”时,一定注意结论中等式两边项数相同. 【正解】 a3,a6,a9 构成一个新的等差数列,其中 a3 是第 一项,a6 是第 2 项,a9 是第 3 项,故 a9=8.

在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本 的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间无明 显联系,则均可以化成关于 a1,d 的方程组求解;如果 条件与结论存在明显的特点,一般运用其性质解决较为 简捷.

1. 若一个等差数列{an}中, a2=3, a7=6, 则其公差为( 3 A.5 3 C.-5 5 B.3 5 D.-3

)

3 【解析】 a7-a2=5d,∴5d=3,d=5.
【答案】 A

2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+? +a7=( A.14 C.28 ) B.21 D.35

【解析】 ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4 ∴a1+a2+?+a7=7a4=28.
【答案】 C

3.在等差数列{an}中,已知 a2+2a8+a14=120,则 2a9-a10 的值为________.
【解析】 ∵a2+a14=2a8,

∴a2+2a8+a14=4a8=120, ∴a8=30. ∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=30.
【答案】 30

4.已知三个数成等差数列,其公差为 d>0,三项之和为 15, 首末两项积为 9,求这三个数.
【解】 设这三个数为:a-d,a,a+d.
? ?a-d+a+a+d=15, 由题意有? ? ??a-d??a+d?=9, ? ?a=5, ∴? ? ?d=4,

∴这三个数为:1,5,9.

等差数列通项公式的推导方法 方法 1:(归纳法) 因为数列{an}为等差数列,所以

方法 2:(逐差法) 因为数列{an}为等差数列,所以 an-an-1=d(n≥2), 所以 an = (an - an - 1) + (an - 1 - an - 2) +?+ (a2 - a1) + a1 =

即 an=a1+(n-1)d.

方法 3:(累加法) 因为数列{an}为等差数列,所以 an-an-1=d(n≥2)对于所有 的 n≥2 的正整数都成立,故有:

方法 4:(迭代法) 因为数列{an}为等差数列,所以

a2 数列{an}满足 a1=2a,an+1=2a-a (n∈N*),其中 a 是不为 n 1 零的常数,令 bn= . an-a (1)数列{bn}构成什么数列?并证明你的结论; (2)求数列{an}的通项公式.

【思路探究】 将 an 用 bn 表示出来,并代入递推公式中, 可得到数列{bn}的递推公式,进而可求出 bn.

【自主解答】 (1)数列{bn}构成等差数列.证明如下: 1 1 ∵bn= ,∴bn+1= , an-a an+1-a 1 1 ∴an=b +a,an+1= +a, bn+1 n ∴ 1 bn+1 1 +a=2a- 1 a2 , bn+a

a2bn a 即 =a- = . bn+1 1+abn 1+abn 1 1 ∴bn+1=bn+a,即 bn+1-bn=a. ∴数列{bn}是等差数列.

1 1 (2)由题意可知 b1= =a, a1-a 1 1 n ∴bn=a+(n-1)a=a, n+1 1 n ∴ = ,即 an = n a. an-a a

数列{an}中 a1=1,a2=4,an+2=2an+1-an+2,求 an.

【解】 由已知得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2. 令 bn=an+1-an,则 bn+1-bn=2,且 b1=a2-a1=3. ∴{bn}为等差数列,∴bn=3+2(n-1)=2n+1. ∴an+1-an=2n+1.

∴a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,?,an-an-1=2n-1, 把上面各式相加得 an-a1=3+5+?+(2n-1), ∴an=1+3+5+?+(2n-1), an=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+?+1, ∴2an=n[1+(2n-1)]=2n2,∴an=n2(n∈N*).


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