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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 3.5

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 3.5


第五节
同角三角函数的基本关系式与两角和与差的 三角函数

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)同角三角函数的基本关系: sin2α+cos2α=1. ①平方关系:________________
sin? ②商数关系:__________ cos? tan?=

(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:

cosαcosβ+sinαsinβ ①C(α-β):cos(α-β)=______________________.
cosαcosβ-sinαsinβ ②C(α+β):cos(α+β)=______________________. sinαcosβ+cosαsinβ ③S(α+β):sin(α+β)=______________________. sinαcosβ-cosαsinβ ④S(α-β):sin(α-β)=______________________.
tan? ? tan? ⑤T(α+β):tan(α+β)=_________( 1 ? tan?tan? α,β,α+β≠ ? +kπ,k∈Z). 2 tan? ? tan? ? ⑥T(α-β):tan(α-β)=_________( 1 ? tan?tan? α,β,α-β≠ +kπ,k∈Z). 2

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(2)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanα?tanβ).

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:整体代入法,配凑法.
(2)数学思想:转化化归思想.

(3)记忆口诀: 余余正正符号异,

正余余正符号同,
二倍角,数余弦,

找联系,抓特点,
牢记忆,用不难.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.

(
(

)
)

(3)公式tan(α+β)= tan? ? tan? 可以变形为tanα+tanβ=
1 ? tan?tan?

tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.

(

)

(4)同角三角函数关系式中的角α是任意角.

(

)

【解析】(1)正确.对于任意的实数α,β,两角和与差的正弦、余弦公 式都成立. (2)正确.如取β=0,因为sin0=0, 所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0. (3)错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成立.
? 2 sin? (4)错误.在tanα= 中,α≠ ? +kπ,k∈Z. cos? 2

α,β,α+β≠kπ+ ,k∈Z.

答案:(1)√ (2)√

(3)×

(4)×

2.教材改编

链接教材

练一练
sin 2 ? ? cos 2 ?

(1)(必修4P113练习1T4(1)改编)已知tanα=-2,则 3sin ?cos ?
= .
tan ? ? 1 4 ?1

? ?6 【解析】原式= 3tan ? ? ?2. 2

答案:-2

(2)(必修4P121习题3-2A组T4改编)已知 cos( ? ? ?) ? ? 4 , ? ? ? ? 5 ?,
6 5 3 6

则cosα=

.

【解析】因为 ? ? ? ? 5 ?,
? ? ? 4 ? ? ? ? ?, 又cos( ? ?) ? ? , 2 6 6 5 所以 sin( ? ? ?) ? 1 ? cos 2 ( ? ? ?) ? 3 , 6 6 5 所以 cos? ? cos[( ? ? ?) ? ? ] 6 6 ? ? ? ? ? cos( ? ?)cos ? sin( ? ?)sin 6 6 6 6 3 6

所以

4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10 答案: 3 ? 4 3 10

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014?上海高考)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是
【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x, 所以函数的最小正周期T= ? . 答案: ?
2 2

.

(2)(2014?新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) 的最大值为 .

【解析】因为f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)?cosφ+cos(x+φ)?sinφ-2sinφcos(x+φ)

=sin(x+φ)?cosφ-cos(x+φ)?sinφ
=sinx≤1.所以f(x)max=1.

答案:1

考点1

同角三角函数关系式的应用
13

【典例1】(1)已知α是第四象限角,sinα=- 12 ,则tanα=
A. ? 5 13 B. 5 13 C. ? 12 5 D. 12 5

(

)

(2)化简:(1+tan2α)(1-sin2α)=
3

.
5sin? ? 2cos?

(3)(2015?宜春模拟)若tanα=- 4 ,则 sin? ? 4cos? = sin2α+2sinαcosα= .

,

【解题提示】(1)先求cosα,再求tanα,注意角α的范围.
(2)切化弦,注意应用公式的变形.

(3)第一个式子的分子分母都是关于sinα,cosα的一次式,第二个式
子的分母看成1,然后转化为sin2α+cos2α,此时分子分母都是关于 sinα,cosα的二次式,利用商数关系转化成关于tanα的表达式求解.

【规范解答】(1)选C.因为α是第四象限角,sinα=所以cosα= 1 ? sin 2 ? ? 5 ,
sin? 12 ?? . cos? 5 2 sin ? (2)原式= (1 ? 2 ) cos2α=cos2α+sin2α=1. cos ? 13

12 , 13

故tanα=

答案:1

4 ? ?4 sin ? ? 4cos ? tan ? ? 4 8 3 = = = . ? 3? 5sin ? ? 2cos ? 5tan ? ? 2 5 ? (? 4 ) ? 2 7 3 2 sin ? ? 2sin ?cos ? sin 2 ?+2sin ?cos ?= sin 2 ? ? cos 2 ? 16 8 ? 2 tan ? ? 2tan ? 9 3 8 = = =- . 2 16 1 ? tan ? 25 1? 9 8 8 答案: - 7 25

【一题多解】解答本例题(3),你还知道几种解法? 解答本题,还有以下两种解法:
4 方法一:因为tan α= sin ? ? ? 4 , 所以sin α=- cos α, 3 cos ? 3 4 4 ? cos ? ? 4cos ? ? ?4 8 所以 sin ? ? 4cos ? ? 3 ? 3 ? . 5sin ? ? 2cos ? ? 20 cos ? ? 2cos? ? 20 ? 2 7 3 3

16 8 cos 2 ? ? cos 2 ? sin ? ? 2sin ?cos ? 9 2 3 sin ? ? 2sin ?cos ? ? ? 2 2 16 sin ? ? cos ? cos 2 ? ? cos 2 ? 9 16 8 ? 8 ? 9 3 ?? . 16 25 ?1 9
2

方法二:因为tan α= sin ? ? ? 4 ,所以sin α=- 4 cos α,
cos ? 3 3

又因为sin2 α+cos2 α=1,
16 9 16 cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,cos 2 ? ? ,sin 2 ? ? . 9 25 25 由tan α=- 4 <0,知α是二、四象限角. 3 当α是第二象限角时,sin ? ? 4 ,cos ? ? ? 3 , 5 5 4 3 ? 4? 此时 sin ? ? 4cos ? ? 5 5 ? 8. 5sin ? ? 2cos ? 5 ? 4 ? 2 ? 3 7 5 5

所以

3 4 当α是第四象限角时,sin α=- ,cos α= , 5 5 4 3 ? ? 4? 5 ? 8. 此时 sin ? ? 4cos ? ? 5 5sin ? ? 2cos ? ?4 ? 2 ? 3 7 5 2 sin α+2sin αcos α=sin2 α- 8 cos2 α 3 ? 16 8 9 8 ? ? ?? . 25 3 25 25 7 ? 8 25

答案: 8

【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用 sin?
=tanα可以实现角α的弦切互化.

cos?

(2)关系式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,
cos2α=1-sin2α.

(3)sinα,cosα的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sinα,

cosα的齐次式,或含有sin2α,cos2α及sinαcosα的式子求值时,可
将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化

为“切”后求解.

【变式训练】1.化简:

1

1 tan x ? tan x sin x 【解析】原式= tan x sin xcos x cos x ? ? tan 2 x ? 1 ( sin x ) 2 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x cos x
1 ? sin xcos x ? sin 2x. 2

=_________.

答案: 1 sin 2x
2

2.已知 sin x ? 3cos x ? 5,则sinxcosx+cos2x=
【解析】由已知,得 tan x ? 3 ? 5, 解得tanx=2,
3cos x ? sin x

.

3 ? tan x 2 sin xcos x ? cos x tan x ? 1 3 2 所以 sin xcos x ? cos x ? ? ? 2 2 2 sin x ? cos x tan x ? 1 5 答案: 3 5

【加固训练】1.记cos(-80°)=k,那么tan100°等于
1? k2 A. k 1? k2 B. ? k C. k 1? k2 D. ? k 1? k2

(

)

【解析】选B.因为cos(-80°)=cos80°=k, 所以sin80°=
1 ? cos2 80? ? 1 ? k 2 .

2 sin 80 ? 1 ? k 所以tan100°=-tan80°= ? ?? . cos 80? k

2.化简:cos4α-sin4α+1=

.

【解析】原式=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)+1 =cos2α-sin2α+1=2cos2α. 答案:2cos2α

考点2

三角公式的逆用与变形应用

【典例2】(1)(2015?合肥模拟)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ= ( A.sin(α+2β) B.sinα C.cos(α+2β) . D.cosα )

(2) 2 ? 2cos 8 ? 2 1 ? sin 8 的化简结果是

【解题提示】(1)逆用两角差的余弦公式化简. (2)应用二倍角的正、余弦公式化简. 【规范解答】(1)选D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ =cos[(α+β)-β]=cosα.

(2)原式=

4cos 2 4+2 (sin 4-cos 4)2

=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,

因为 5 ? ? 4 ? 3 ?,
4 2

所以cos 4<0,且sin 4<cos 4,

所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.
答案:-2sin 4

【易错警示】解答本例(2)有三点容易出错:
(1)想不到应用二倍角公式,不能把根号下的式子化为完全平方式. (2)把4°与4弧度混淆,导致开方出错. (3)忽略讨论cos4的符号及sin4与cos4的大小而直接开方导致出错.

【规律方法】 1.三角函数式化简的要求

(1)能求出值的应求出值.
(2)尽量使函数种数最少.

(3)尽量使项数最少.
(4)尽量使分母不含三角函数.

(5)尽量使被开方数不含三角函数.

2.特殊角的三角函数值的逆用
3 当式子中出现 1 , 1, , 3 这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由 2 2

值变角”的一种提示.可以根据问题的需要,将常用三角函数式表示出 来,构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.

【变式训练】化简sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ) = .

【解析】原式=sin(α+β)cos(γ-β)+cos(α+β)sin(γ-β) =sin[(α+β)+(γ-β)]

=sin(α+γ).
答案:sin(α+γ)

【加固训练】1.化简
A.-cos 1

2 ? cos 2 ? sin 21 的结果是

(

)

B.cos 1

C. 3cos 1

D.- 3 cos 1

【解析】选C.原式= 3 ? 3sin 21 = 3cos21 = 3cos 1.

? ? ? ? =_________. 2.化简: 8sin cos cos cos 48 48 24 12 【解析】 8sin ? cos ? cos ? cos ? 48 48 24 12

? ? ? cos cos 24 24 12 ? ? ? 1 ? 2sin cos ? sin ? . 12 12 6 2 ? 4sin

答案: 1
2

考点3

三角函数求值 ( )

sin 110?sin 20? 【典例3】(1)(2015?临沂模拟)计算 的值为 cos 2 25? ? sin 2 25? 1 3 1 3 A. B. C. ? D. ? 2 2 2 2

(2)计算4sin40°-tan40°=

. .

(3)(2015?成都模拟)计算cos40°(1+ 3 tan10°)=

【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角,然后逆用二倍角公式求 值. (2)切化弦,通分化简求值.

(3)切化弦,通分,注意逆用两角和与差的三角函数公式.

【规范解答】(1)选A.原式=
1 sin 40? sin 20?cos 20? 2 1 ? ? ? . cos 50? cos 50? 2

sin(90? ? 20?)sin 20? cos 50?

(2)原式=4sin 40°- sin 40? ? 4sin 40?cos 40? ? sin 40?
cos 40? cos 40?
2sin 80?-sin 40? 2 cos10?-sin ?10? ? 30? ? ? cos 40? cos 40? 3 1 2cos 10? ? sin 10?- cos 10? 2 2 ? cos 40? 3 3 cos 10?- sin 10? 2 ?2 cos 40? 3 1 3( cos 10?- sin 10?) 3cos 40? 2 2 ? ? ? 3. cos 40? cos 40? ?

答案: 3

(3)原式 ? cos 40? ?

cos 10? ? 3sin 10? cos 10? 1 3 cos 40? ? 2( cos 10? ? sin 10?) 2 2 ? cos 10? 2cos 40? ? sin ? 30? ? 10? ? ? cos 10? sin 80? ? ? 1. cos 10?

答案:1

【一题多解】解答本例(2),你还有其他解法吗? 解答本例(2)还可有如下解法:
sin 40? 4sin 40?cos40? ? sin 40? 原式 ? 4sin 40? ? ? cos 40? cos 40? 2sin 80? ? sin 40? 2sin ? 50? ? 30? ? ? sin 40? ? ? cos 40? cos 40? 2sin 50?cos 30? ? 2cos 50?sin 30? ? sin 40? ? cos 40? ? 3sin 50? ? cos 50? ? sin 40? 3cos 40? ? ? 3. cos 40? cos 40?

答案: 3

【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧 (1)变角:分析角之间的差异,巧用诱导公式把大角统一到小角上来,或 把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和. (2)变名:尽可能使得函数统一名称,常化弦为切. (3)变式:观察结构,利用公式,整体化简. 提醒:“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公式”“通 分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.

【变式训练】(2015?合肥模拟)
2cos 10? ? tan 20? 【解析】 cos 20?

2cos 10? ? tan 20? = cos 20?

.

2 cos(30? ? 20?) ? sin 20? cos 20? 3cos 20? ? sin 20? ? sin 20? ? ? 3. cos 20? ?

答案: 3

【加固训练】1.(2014?昆明模拟)计算: A.4 【解析】选D. B.2 C.-2

3 1 =( ? cos 10? sin 170?

)

D.-4

3 1 3 1 ? ? ? cos 10? sin 170? cos 10? sin 10?

3sin 10? ? cos 10? 2sin ?10? ? 30? ? ? ? sin 10?cos 10? sin 10?cos10? 2sin ? ?20? ? ?2sin 20? ? ? ? ?4. 1 sin 10?cos 10? sin 20? 2

1 +cos 20? 1 ? sin 10?( ? tan 5?) =______. 2sin 20? tan 5? 2cos 210? cos 5? sin5? 【解析】原式= ? sin 10?( ? ) 2 ? 2sin 10?cos 10? sin 5? cos 5?

2.(2014?三明模拟)计算:

cos 10? cos 2 5? ? sin 2 5? cos 10? cos 10? = ? sin 10? ? = -sin 10? ? 1 2sin 10? sin 5?cos 5? 2sin 10? sin 10? 2 cos 10? cos 10? ? 2sin 20? cos 10? ? 2sin ? 30? ? 10? ? = ? 2cos 10?= = 2sin 10? 2sin 10? 2sin 10? 1 3 cos 10? ? 2( cos 10? ? sin 10?) 3sin 10? 3 2 2 = = = . 2sin 10? 2sin 10? 2

答案: 3
2

考点4

三角函数的条件求值 知?考情

利用和、差公式及倍角公式在已知条件下的求值问题是高考的热 点,常与平面向量的知识相结合,题型是三种类型都有,但近几年常以 解答题的形式出现.

明?角度
命题角度1:与平面向量相结合的条件求值 【典例4】(2015?芜湖模拟)已知向量a=(sinα,cos2α),b=(1-2sinα, -1),α∈ ( ? , 3? ), 若a?b=- 8 ,则tan (? ? ? ) 的值为
2 2 B. 2 7 5 4 A. 1 7 C. ? 1 7 D. ? 2 7

(

)

【解题提示】由a?b=- 8 ,得sin α的值,从而得出tan α的值,
再求tan (? ? ? ) 的值.
4 5

【规范解答】选C.a?b=sin α-2sin2α-cos 2α
=sin α-2sin2α-(1-2sin2α)

=sin α-1=- 8 ,

5 所以sin α=- 3 ,又因为α∈ ( ? , 3? ), 2 2 5 故tan α= 3 , 4 ? tan ? ? 1 1 所以 tan(? ? ) ? ?? . 4 1 ? tan ? 7

命题角度2:三角函数的给值求值

【典例5】(2014?江苏高考)已知α∈ ( , ?),sin α=
(1)求sin ( ? ? ? ) 的值.
4 (2)求cos ( 5? ? 2?) 的值. 6

? 2

5 . 5

【解题提示】(1)先由条件求cos α的值,再求sin ( ? ? ? ) 的值.
4

(2)由sin α,cos α的值,先求sin 2α,cos 2α的值,再求
cos ( ? ? 2?) 的值.
5 6

【规范解答】(1)由题意cos α= - 1-(

5 2 2 5 ) ?- , 5 5

所以 sin( ? ? ?) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
4 4 4

2 2 5 2 5 10 ? (- )? ? ?- . 2 5 2 5 10 (2)sin 2α=2sin αcos α=- 4 ,cos 2α=2cos2α-1= 3 , 5 5 所以 cos( 5? -2?) ? cos 5? cos 2? ? sin 5? sin 2? 6 6 6 ? 3 3 1 4 3 3?4 ? - ? ? ? (- ) ? - . 2 5 2 5 10

命题角度3:和函数相结合的条件求值 【典例6】(2014?广东高考)已知函数f(x)=Asin (x ? ? ), x∈R, 且 f(
5? 3 )? . 12 2 4

(1)求A的值.
? 3? (2)若f(θ)+f(-θ)= 3 ,θ∈ (0, ), 求 f ( -?) . 2 2 4

【解题提示】(1)把 5 ? 代入解析式求得A.(2)利用两角和与差的正
12

弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解 .
【规范解答】(1)由 f ( 5? ) ? Asin( 5? ? ? ) ? Asin 2? ? A 3 ? 3 ,
12 12 4 3 2 2

可得A= 3 .

(2)f(θ)+f(-θ)= 3 ,θ∈ (0, ? ),

2 2 ? ? 3 则 3sin(? ? ) ? 3sin( -?) ? , 4 4 2 2 2 2 2 3 6 ( sin ? ? cos ?) ? ( cos ?- sin ?) ? ,cos ? ? . 2 2 2 2 2 4 因为θ∈ (0, ? ),所以sin θ= 10 , 2 4 3? 3? ? 30 f ( -?) ? 3sin( -? ? ) ? 3sin(?-?) ? 3sin ? ? . 4 4 4 4

悟?技法

1.与向量有关的求值问题的解法
三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联,这类问题需要先用 向量公式进行运算后,再用三角公式进行化简和求值. 2.给值求值问题的解法 已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所 求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及 其变形代入所求式子,化简求值.

3.和三角函数相结合的条件求值的解法 该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式,然后把 已知条件代入函数解析式化简并求相关的值,变形成要求的式子并代 入前面所求的值计算.

通?一类 1.(2015?赣州模拟)已知 cos(? ? ? ) ? sin? ? 4 3,且α∈ (0, ? ) , 则sin (? ? 5 ?) 的值是
12 6 5 3

(

)
C. 7 2 10 D. 7 2 15

A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

【解析】选C.由 cos(? ? ? ) ? sin ? ? 4 3 得,
6 5

3 1 4 cos ? ? sin ? ? sin ? ? 3, 2 2 5 3 3 4 即 cos ? ? sin ? ? 3, 2 2 5 3 4 cos ? ? 3sin ? ? 3, 2 5 ? 4 ? 可得sin(? ? ) ? ,因为? ? (0, ) , 6 5 3

?

?

? ? ? ? 3 ? ( , ), 所以cos(? ? ) ? , 6 6 2 6 5 5 ? ? sin(? ? ?) ? sin(? ? ? ) 12 6 4 ? ? ? ? ? sin(? ? )cos ? cos(? ? )sin 6 4 6 4 故? ? 4 2 3 2 7 2 ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

2.(2015?石家庄模拟)已知向量a=(4,5cos α),b=(3,-4tan α).

若a⊥b,且α∈ (0, ), 则cos (2? ? ? ) =______.
4

? 2

【解析】因为a⊥b,所以a?b=0, 即12-20cos α?tan α=0,所以12-20sin α=0,即sin α=
3 . 5

因为α∈ (0, ), 所以cos α= .
7 24 2 所以sin 2α=2sin αcos α= , cos 2α=1-2sin α= . 25 25 ? ? ? 所以cos (2? ? ) =cos 2α?cos +sin 2α?sin 4 4 4 7 2 24 2 31 2 = ? + ? = . 25 2 25 2 50

? 2

4 5

答案:31 2
50

3.(2015?六安模拟)已知 sin x ? 2cos x =0,则
2 2

(1)tan x=_____.
cos 2x (2) =_____. ? 2cos( ? x) ? sin x 4 【解析】(1)由 sin x ? 2cos x =0,所以tan x =2, 2 2 2 x 2tan 所以 tan x ? 2 ? 2? 2 ? ? 4. 2 1 ? 2 3 2 x 1 ? tan 2

(2)由(1)知tan x=- 4 ,所以cos x≠0,
cos 2x cos 2 x ? sin 2 x ? 所以 ? 2 2 2cos( ? x) ? sin x 2( cos x ? sin x)sin x 4 2 2 16 1? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 9 ? ?7. ? ? ? sin xcos x ? sin 2 x tan x ? tan 2 x ? 4 ? 16 4 3 9 答案:(1)- 4 (2)- 7 3 4
3

4.(2014?四川高考改编)已知函数f(x)=sin (3x ? ? ) .若α是第二象 限角,f ( ? ) = cos(? ? )cos 2?, 求cos α-sin α的值. 【解析】由已知,有 sin(? ? ? ) ? 4 cos(? ? ? )cos 2?, 所以sin αcos ? +cos αsin ?
4 5 4 4 4 = 4 (cos αcos ? -sin αsin ? )(cos2α-sin2α), 5 4 4 即sin α+cos α= 4(cos α-sin α)2(cos α+sin α). 5 3 4 5 ? 4 4

当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,

知α=2kπ+ 3? (k∈Z),

此时cos α-sin α= cos 3? ? sin 3? ? ? 2.
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2= 5 ,由α是第二象限
5 . 2 综上,cos α-sin α=- 2 或cos α-sin α= ? 5 . 2
4 4 4

4

角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α= ?

自我纠错11

利用三角函数公式求值
4 5

【典例】(2015?南京模拟)已知sin (x ? ? ) = 4 ,x∈(π,2π),
cos 2x 则 ? cos( ? x) 4

=___.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:上述解题过程忽视了角的取值范围,误以为cos (x ? ? ) 是正值,
4

符号之差导致下面的答案错误.

【规避策略】 1.注意角的取值范围 已知某一角的正(余)弦值,求该角的余(正)弦值时,涉及开方运算,需 注意角的取值范围. 2.弄清角之间的关系,灵活运用诱导公式 常见的角的关系, ? +x与
? ? -x互余, ? +x与 ? -x互余,2x与 -2x互余, 2 4 4 3 6 ? +x= ? ? (x ? ? ), 2 ? ? x ? ? ? (x ? ? ) 等.弄清常见角的关系,灵活运用 2 4 3 2 6 4

诱导公式变形后可整体代入求值.

【自我矫正】因为x∈(π,2π),
? 7 4 4 又 sin(x ? ? ) ? 4 ? 0, 4 5 所以 3? ? x ? ? ? ?, 4 4

所以 ? ? x ? ? ?,

3 4

所以 cos(x ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (x ? ? ) ? ? 3 ,
4 4 5

? ? ? ? 4 cos( ? x) ? cos[ ? (x ? )] ? ?sin(x ? ) ? ? , 4 2 4 4 5 ? ? cos 2x ? sin( ? 2x) ? ?sin(2x ? ) 2 2 ? ? ? ?2sin(x ? )cos(x ? ) 4 4 4 3 24 ? ?2 ? ? (? ) ? , 5 5 25 24 所以原式= 25 ? ? 6 . 4 5 ? 5 答案:- 6 5


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