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浦东新区2012学年第二学期高一数学试题及评分细则

浦东新区2012学年第二学期高一数学试题及评分细则


浦东新区 2012 学年度第二学期期末质量抽测 高一数学试卷答案及评分细则
一、填空题(本大题共 12 道题目,满分 36 分.只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分, 否则一律得零分) 注:答案等价表示均对 1.若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (?2) ? .【答案】 ?

3 2

2.若对数函数 y ? f ( x) 图像过点 (4, 2) ,则其解析式是____ .【答案】 f ( x) ? log2 x 3.若角 ? 满足 sin ? ? cos ? ? 0 ,则角 ? 在第________象限. 【答案】二或四 4.已知扇形的圆心角为 5.若 ? ? ? 6. 化简:

2? ,半径为 5,则扇形的面积 S= 3
. 【答案】 ?

.【答案】

25? 3

3 ?? ? , ? ? , sin ? ? ,则 sin 2? = 5 ?2 ?

24 25

cos(2π ? θ ) cot(π ? θ ) tan(?θ ? π ) ? ______ .【答案】1 sin(π ? θ ) cot(3π ? θ )

2 7. 函数 y ? log 2 x ? 6 x ? 11 在区间 ?1, 2? 上的最小值是______. 【答案】 log2 3

?

?

8.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于 ?

7 ,则这个三角形底角等于_____________(用 25

反三角函数值表示).【答案】 arcsin

3 5

9.方程 ? log 3 x ? ? log 9 3 x ? 2 ? 0 的解是_________.【答案】 x1 ? 3 , x2 ?
2

3 9

10. 方程 sin x ? cos 2 x 的解集是_____. 【答案】 ? x x ? n? ? (?1)n

? ?

?
6

或x ? 2n? ?

?

? , n ? Z? 2 ?

11.函数 f ( x) ? 2 sin x ? 6 cos x ? 3 的最大值为______.【答案】9
2

12.若 y ? sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) 为奇函数,则最小正数 ? 的值为

.【答案】

3? 4

二、选择题(本大题共 4 道题目,每题 3 分,满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代 号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的. 13. x ? 2k? ? “

?
4

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的(
B.必要不充分条件

A )

A.充分不必要条件

C.充分条件 14. 下列命题: ①第一象限的角是锐角. ③ arcsin

D.既不充分也不必要条件

②正切函数在定义域内是增函数.

?
3

?

3 . 2
C.2 D.3

正确的个数是( A ) A.0 B.1

15. 在△ABC 中,角 A 、 B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( C ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C.钝角三角形 D. 等腰三角形

16.下列四个函数中,以 ? 为最小正周期,且在区间 ? A. y ? cos x
2

?? ? , ? ? 上为减函数的是( B ) ?2 ?
cos x

B. y ? 2 sin x

?1? C. y ? ? ? ? 3?

D. y ? ? cot x

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 注:其他解法相应给分 17.(本题满分 10 分)已知 sin ? ?

4 5 ?? ? ?? ? , cos ? ? ? ,且 ? ? ? , ? ? , ? ? ? , ? ? ,求 5 13 ?2 ? ?2 ?

sin(? ? ? ) 的值.
【解答】因为 sin ? ? 因为 cos ? ? ?

4 3 ?? ? 2 且 ? ? ? , ? ? ,所以 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? .????3 分 5 5 ?2 ?

5 12 ?? ? 2 且 ? ? ? , ? ? ,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? . ???????6 分 13 13 ?2 ?

从而有 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ?

4 ? 5 ? ? 3 ? 12 16 .??10 分 ?? ? ? ? ? ? ?? ? 5 ? 13 ? ? 5 ? 13 65

18.(本题满分 10 分)如图,在一个半径为 r 的半圆形 铁板中有一个内接矩形 ABCD,矩形的边 AB 在半圆的直 径上,顶点 C、D 在半圆上,O 为圆心.令 ?BOC ? ? , 用 ? 表示四边形 ABCD 的面积 S,并求这个矩形面积 S 的最大值. 【解答】BC ? r sin ? , AB ? 2r cos ? ?????????????????????4 分
∴S

? AB ? BC ? 2r cos ? ? r sin ? ? r 2 sin 2? ?????????????????6分

当? ?

?
4

时, sin 2? ? sin

?
2

? 1 ,∴ Smax ? r 2 。????????????????10 分

19. (本题满分 10 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分)已知△ ABC 的周长为 4( 2 ? 1) , 且 sin B ? sin C ?

2 sin A .

(1)求边长 a 的值; (2)若 S?ABC ? 3sin A . ,求角A 的大小 (结果用反三角函数值表示) 【解答】 (1)根据正弦定理, sin B ? sin C ?

2 sinA 可化为 b ? c ? 2a .??3 分

联立方程组 ?

?a ? b ? c ? 4( 2 ? 1) ? ?b ? c ? 2a ?

,解得 a ? 4 .

所以,边长 a ? 4 . (2) ∵ SV ABC ? 3sin A , ∴

?????????????????????????5 分

1 bc sin A ? 3sin A,bc ? 6 .??????????????????????7 分 2

又由(1)可知, b ? c ? 4 2 ,

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c)2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? .?????????????9 分 ∴ cos A ? 2bc 2bc 3
因此,所求角 A 的大小是 arccos

1 .?????????????????????10 分 3

20. (本题满分 10 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分)已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) (1)判断 f ( x ) 的单调性,说明理由. (2) 解方程 f (2 x) ? f
x

?1

( x) .

解 (1) 4 ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 ,所以定义域是 (0, ??) 。????????????1 分

f ( x) 在 (0, ??) 上单调增。
证法一、 :设 0 ? x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log4 (4x1 ?1) ? log4 (4x2 ?1) ? log 4
x x

4 x1 ? 1 4 x2 ? 1

又∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? 4 1 ? 4 2 , 0 ? 4 1 ? 1 ? 4 2 ? 1
x x

4 x1 ? 1 4 x1 ? 1 ?0 ? 1 ,即 log 4 x2 ∴ x 4 ?1 4 2 ?1
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调增。????????????????5 分 证法二:∵ y ? log 4 x 在 (0, ??) 上都是增函数,????????????????2 分

y ? 4x ?1 在 (0, ??) 上是增函数且 y ? 4x ?1 ? 0 ????????????4 分


f ( x) ? log4 (4x ?1) 在 (0, ??) 上也是增函数。 ????????????5 分

(2) f ?1 ( x) ? log4 (4x ? 1) , ????????????????????????7 分

f (2 x) ? f ?1 ( x) ,即 0 ? 42 x ? 1 ? 4 x ? 1
42 x ? 4x ? 2 ? 0 ,解得 4x ? ?1 (舍去)或 4 x ? 2 ,
∴ x ? log 4 2 ? 经检验, x ?

1 ??????????????????????????????9 分 2

1 是方程的根。 ??????????????????????10 分 2 π ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x . 3

21. (本题满分 12 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 4 分, ) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? (1) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的最小值及取得最小值时相应的 x 值; (3) 说明 f ( x ) 的图像如何由函数 y ? 2sin x 的图像变换而来. 解: f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

π ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 3

? cos x sin x ? 3 cos2 x ? 3sin 2 x ? sin x cos x
π ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ?????????????????3 分 3
(1)由上可知, f ( x ) 得最小正周期为 T ? π ;????????????????4 分 (2)当 2 x ?

π π 5π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? ,k ? Z 时, f ( x) 取最小值为-2;??8 分 3 2 12 π 单位,再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标 3

(3)将函数 y ? 2sin x 的图像向左平移 不变,横坐标缩短到原来的

1 倍,可得到函数 f ( x ) 的图像。??????????12 分 2


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