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力学-5-动量定理与动量守恒定律

力学-5-动量定理与动量守恒定律


动量定理 动量守恒定律
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一、冲量 动量定理
1.动量 1.动量

r r 定义: 定义: p = m v

描述质点运动状态,矢量) 动量 (描述质点运动状态,矢量)

v; 方向:速度的方向; 单位:kg?m/s 大小:m v; 方向:速度的方向; 单位:kg m/s 2.冲量 2.冲量

r t2 r 定义:力的作用对时间的积累, 定义:力的作用对时间的积累,I = ∫t1 Fdt t2 r dt 方向: 大小: 大小: | ∫ F | 方向:速度变化的方向 单位:Ns 单位:
t1

动量与冲量的区别: 动量与冲量的区别: 动量是状态量; 冲量是过程量。 ①.动量是状态量; 冲量是过程量。 ②.动量方向为物体运动速度方向;冲量方向为速度 动量方向为物体运动速度方向; 变化方向。 变化方向。

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r t2 r 变力的冲量: 变力的冲量: I = ∫ Fdt
t1

r r r 恒力的冲量: 恒力的冲量: I = F (t ? t0 ) = F?t

3.质点动量定理 3.质点动量定理 由牛顿第二定律

r 动量定理 r t P r r 两边同时乘以dt dt, 两边同时乘以dt,积分 ∫t F dt = ∫P d p 0 0 r r r t2 r r r I = ∫ F dt = P ? P0 = m v ? m v 0
t1

r r r dp d (mv ) F= = dt dt

质点所受合外力的冲量,等于该质点动量的增量。 质点所受合外力的冲量,等于该质点动量的增量。
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明确几点: 明确几点: 计算物体冲量时,无须确定各个外力, ①. 计算物体冲量时,无须确定各个外力,只须知道 质点始末两态的动量的变化即可。 质点始末两态的动量的变化即可。 ②.合外力的方向与动量增量的方向一致。 合外力的方向与动量增量的方向一致。

r 为合外力,不是某一个外力。 ③. F 为合外力,不是某一个外力。
④.动量定理的分量式: 动量定理的分量式:
t t0

I x = ∫ Fx dt = Px ? P0 x = mvx ? mv0 x I y = ∫ Fydt = Py ? P0 y= mv y ? mv0 y
t t0
t

I z = ∫ Fz dt =
t0

Pz ? P0 z = mvz ? mv0 z
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二、质点系的动量定理 处理方法:先研究每一个质点,然后再对它们取和。 处理方法:先研究每一个质点,然后再对它们取和。 r r r r v v dp2 dp1 F2 + f12 = F1 + f 21 = dt dt r r r

Q f 12 = ? f 21

∴ f 合内力 = 0

r r v r dp1 dp 2 d r r F1 + F2 = + = ( p1 + p 2 ) dt dt dt n v d n r ∑ Fi外 = dt ∑ ( pi ) i =1 i =1
物理意义: 内力能使系统内各质点的动量发生变化, 物理意义:①内力能使系统内各质点的动量发生变化, 但它们对系统的总动量无影响; 但它们对系统的总动量无影响;②系统总动量随时间 的变化率等于该系统所受合外力。 的变化率等于该系统所受合外力。

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由于由于内力总是以作用力和反作用力成对出 现的,所以它们的矢量和为零。 现的,所以它们的矢量和为零。 强调:内力不会改变系统的动量, 强调:内力不会改变系统的动量,只有外力可 改变系统的动量。 改变系统的动量。 积分形式: 积分形式: 微分形式: 微分形式:



t'

t0

r p' F ? dt = ∫ dp = p '? p 0
p0

r r F ? dt = dp

质点系的动量定理: 质点系的动量定理:合外力的冲量等于质点系总 动量的增量。 动量的增量。
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二、动量守恒定律
质点系的动量定理: 质点系的动量定理:

∫ (∑ r r r 其中P = ∑ mi v i = ∑ Pi
t0

t

r r r r Fi外 )dt = P ? P0 = ?P





r F i 外 = 0 时:

r r P ? P0 = 0

r r P0 = P

动量守恒定律:当系统所受的合外力为0 动量守恒定律:当系统所受的合外力为0时,系统 的动量守恒。 的动量守恒。
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明确几点: 明确几点: 1 .质点系受合外力为 0,每个质点的动量可能变化,系 质点系受合外力为 ,每个质点的动量可能变化, 统内的动量可以相互转移,但它们的总和保持不变。 统内的动量可以相互转移,但它们的总和保持不变。 2.若合外力不为 0,但在某个方向上合外力分量为 0, 若合外力不为 , , 则在该方向上动量守恒。 则在该方向上动量守恒。 3.自然界中不受外力的物体是没有的,但如果系统的内 自然界中不受外力的物体是没有的, 自然界中不受外力的物体是没有的 外力, 力>>外力,可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸 外力 可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、 等相互作用时间极短的过程中,往往可忽略外力。 等相互作用时间极短的过程中,往往可忽略外力。 r r 4 注 区 ∑F = 0 与 ∑F dt = 0 、 意 别 外 ∫ 外 前者保证整个过程中动量守恒, 前者保证整个过程中动量守恒,后者只说明始末时刻 动量相同。 动量相同。 5.动量守恒定律只适用于惯性系,在微观高速范围仍 动量守恒定律只适用于惯性系, 动量守恒定律只适用于惯性系 适用。 适用。
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例题1 一辆装煤车以v= 例题 、一辆装煤车以 =3m/s的速率从漏斗下面通 的速率从漏斗下面通 每秒落入车厢的煤为500kg。如果要使列车速度 过,每秒落入车厢的煤为 保持不变,应用多大的力牵引列车? 保持不变,应用多大的力牵引列车? (忽略车厢与 钢轨间的摩擦力) 钢轨间的摩擦力) 解: t: p = Mv :

t+?t:p’= Mv + dm·v : F·dt = dp = dm·v

dm F =v = 500 × 3 = 1.5 ×103 N dt
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以速度v 的小球, 例2:以速度 0水平抛出一质量为 的小球,小球与地 以速度 水平抛出一质量为m的小球 面作用后反弹为原高度h时速度仍为 时速度仍为v 作用时间? 面作用后反弹为原高度 时速度仍为 0,作用时间?t 求地面对小球的平均冲力。 求地面对小球的平均冲力。
解:有重力作用,小球 动量不守恒,但小球始末状态 动量相同,说明重力和反冲力的冲量为零

反冲力的冲量为N ?t

2h 重力的冲量为mg 2 g h m N = 8hg ?t 当m = 1kg , h = 1m, ?t = 0.01s时,N = 885 N

r v0

r v0

是重力的90倍。
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三、碰撞过程
碰撞过程可分为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、 碰撞过程可分为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、 非完全弹性碰撞。本章主要研究对心碰撞, 非完全弹性碰撞。本章主要研究对心碰撞,即碰撞前 后物体在一条直线上。 后物体在一条直线上。 1)完全弹性碰撞 1)完全弹性碰撞 特点:机械能守恒,动量守恒。 特点:机械能守恒,动量守恒。 2)完全非弹性碰撞 2)完全非弹性碰撞 特点:机械能不守恒,动量守恒。 特点:机械能不守恒,动量守恒。碰撞后两物体合 为一体。物体形变能量不能恢复。 为一体。物体形变能量不能恢复。 2)非完全弹性碰撞 2)非完全弹性碰撞 特点:机械能不守恒,动量守恒。 特点:机械能不守恒,动量守恒。物体形变能量不 能恢复。 能恢复。
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