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2018-2019学年高中数学新人教版必修3教案:第1章 1.3 算法案例-含答案

2018-2019学年高中数学新人教版必修3教案:第1章 1.3 算法案例-含答案

数学 1.3 算法案例 1.会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数.(易错易混点) 2.会用秦九韶算法求多项式的值.(难点) 3.会在不同进位制间进行相互转化.(重点) [基础· 初探] 教材整理 1 辗转相除法与更相减损术 阅读教材 P34~P36 例 1 前的内容,完成下列问题. 1.辗转相除法 (1)辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法,这种算法是 由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法. (2)所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若 余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数 被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数. 2.更相减损术 更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两数最大公约 数的方法.其基本过程是:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶 数.若是,用 2 约简;若不是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的数, 接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的 数相等为止,则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 数学 (1)228 与 1 995 的最大公约数是________. (2)18 与 30 的最大公约数是________. 【解析】 (1)1 995=228×8+171, 228=171×1+57, 171=57×3, ∴57 是 228 与 1 995 的最大公约数. (2)30-18=12, 18-12=6, 12-6=6, ∴18 与 30 的最大公约数是 6. 【答案】 教材整理 2 (1)57 (2)6 秦九韶算法 阅读教材 P37~P38 例 2 前的内容,完成下列问题. 求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的值时,常用秦九韶算法,这种 算法的运算次数较少, 是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化为求 n 个一 次多项式的值,共进行 n 次乘法运算和 n 次加法运算.其过程是: 改写多项式为: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 设 v1=anx+an-1, v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, …… vn=vn-1x+a0. 数学 设计程序框图,用秦九韶算法求多项式的值,所选用的结构是( A.顺序结构 C.循环结构 【解析】 【答案】 教材整理 3 B.条件结构 D.以上都有 ) 根据秦九韶算法的含义知选 D. D 进位制 阅读教材 P40 的内容,完成下列问题. 1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满 k 进一”就 是 k 进制,k 进制的基数是 k. 2.将 k 进制数化为十进制数的方法是:先把 k 进制数写成各位上的数字与 k 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为 k 进制数方法是:除 k 取余法.即用 k 连续去除十进制 数所得的商,直到商为零为止,然后把各步得到的余数倒排写出就是相应的 k 进 制数. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)五进制的基数是 5,用 0,1,2,3,4,5 六个数字表示.( ) ) (2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数,提高了运算效率.( (3)用秦九韶算法可以求两个正整数的最大公约数.( (4)不同进位制中,十进制的数比二进制的数大.( 【答案】 (1)× (2)√ (3) × (4) × ) ) [小组合作型] 求最大公约数 (1)98,280 的最大公约数为( A.7 C.16 ) B.14 D.8 数学 (2)用更相减损术求得 78 与 36 的最大公约数为________. 【精彩点拨】 求两个数的最大公约数可用辗转相除法, 也可用更相减损术. 【尝试解答】 (1)由辗转相除法可得:280=98×2+84,98=84×1+14,84 =14×6.故最大公约数为 14.也可以使用更相减损术或短除法. (2)78-36=42,42-36=6,36-6=30, 30-6=24,24-6=18,18-6=12, 12-6=6. 【答案】 (1)B (2)6 1.求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以用更相 减损术.用辗转相除法,即根据 a=nb+r 这个式子,反复相除,直到 r=0 为止; 用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个式子,反复相减,直到 r=0 为止. 2.当两个整数的差较大时,用辗转相除法计算的次数较少. [再练一题] 1.用辗转相除法求 78 与 36 的最大公约数. 【解】 由辗转相除法得, 78=36×2+6, 36=6×6, 故 78 与 36 的最大公约数是 6. 秦九韶算法 数学 已知一个 5 次多项式为 f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用 秦九韶算法求这个多项式当 x=5 时的值. 【精彩点拨】 可根据秦九韶算法原理,将所给的多项式改写,然后由内到 外逐次计算. 【尝试解答】 将 f(x)改写为 f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8, 由内向外依次计算一次多项式,当 x=5 时的值: v0=4; v1=4×5+2=22; v2=22×5+3.5=113.5; v3=113.5×5-2.6=564.9; v4=564.9×5+1.7=2 826.2; v5=2 826.2×5-0.8=14 130.2. 所以当 x=5 时,多项式的值等于 14 130.2. 1.先将多项式写成一次多项式的形式,然后运算时从里到外,一步一步地 做乘法

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