9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

【新】高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2课件新人教A版选修2_3(2)_图文

【新】高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2课件新人教A版选修2_3(2)_图文

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的方差

[学习目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的 方差及标准差的概念(重点、难点). 2.会求两点分布、 二项分布的方差(重点). 3.会利用方差的概念与性质, 计算简单离散型随机变量的方差, 并能解决一些实际问题 (重点、难点).

[知识提炼· 梳理] 1.方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义. 设离散型随机变量 X 的分布列为: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn

2 ∑ ( x - E ( X )) pi. i i= 1 ①方差:D(X)=_______________

n

②标准差为: D(X). (2)方差的性质:D(aX+b)=a2D(X). 2.两个常见分布的方差 (1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p). (2)若 X~B(n,p),则 D(X)=np(1-p).

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1) 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 越 大 , 随 机 变 量 越 稳 定.( ) )

(2)若 a 为常数,则 D(a)=0.(

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期 望的平均程度.( )

解析:(1)错,离散型随机变量的方差越大,随机变 量波动越大,越不稳定. (2)对,因为 a 为常数,所以不会产生波动,其方差 为 0. (3)对,由方差的概念知说法正确. 答案:(1)× (2)√ (3)√

2.设一随机试验的结果只有 A 和 A 且 P(A)=m,令
? ?1,A发生, 随机变量 ξ=? 则 ξ 的方差 D(ξ)等于( ? ?0,A不发生,

)

A.m C.m(m-1)

B.2m(1-m) D.m(1-m)

解析: 依题意 ξ 服从两点分布, 所以 D(ξ)=m(1-m). 答案:D

3. 设 ξ 的分布列为 3,4,5),则 D(3ξ)=( A.10 C.15

? ?k? ?5-k k1 2 P(ξ=k)=C5? ? ? ? (k=0, 1, 2, ?3? ?3?

)

B.30 D.5

? 1? 10 解析:由 ξ 的分布列知 ξ~B?5,3?= , ? ? 9

1? 1? 所以 D(ξ)=5× ?1-3?,所以 D(3ξ)=9D(ξ)=10. 3? ? 答案:A

1 4. 已知随机变量 ξ , D(ξ) = ,则 ξ 的标准差为 9 ________. 解析:ξ 的标准差 D(ξ)= 1 答案: 3 1 1 = . 9 3

5.已知随机变量 ξ 的分布列如下表: ξ P -1 0 1 1 2 1 1 3 6

则 ξ 的均值为________,方差为________.
1 1 解析:均值 E(ξ)=x1p1+x2p2+x3p3=(-1)× +0× 2 3 1 1 +1× =- ; 6 3

方差 D(ξ) = [x1 - E(ξ)]2 · p1 + [x2 - E(ξ)]2 · p2 + [x3 - 5 E(ξ)] ·p3= . 9
2

1 5 答案:- 3 9

类型 1 求离散型随机变量的方差、标准差(自主研 析) [典例 1] (1)若 X 的分布列为:

X -1 0 1 P 1 2 1 1 3 6

则 D(X)=________;σ(X)=________.

(2)(2015· 广东卷)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n, p).若 E(X)=30,D(X)=20,则 p=________. 1 1 1 1 解析:(1)E(X)=-1× +0× +1× =- ; 2 3 6 3
? 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 D(X)=?-1+3? × +?0+3? × +?1+3? × = ; 2 ? 3 ? 6 9 ? ? ? ?

σ(X)= D(X)=

5 5 = . 9 3

(2)因为 X~B(n, p), 所以 E(X)=np=30, D(X)=np(1 1 -p)=20,解得 n=90,p= . 3 5 答案:(1) 9 5 1 (2) . 3 3

归纳升华 求离散型随机变量 ξ 的方差的步骤 1.理解 ξ 的意义,明确其可能的取值. 2.判定 ξ 是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布 等),若服从特殊分布,则可利用公式直接求解;若不服 从特殊分布,则继续下面步骤.

3.求 ξ 取每个值的概率. 4.写出 ξ 的分布列,并利用分布列性质检验. 5.根据方差定义求 D(ξ).

[变式训练] (1)已知随机变量 ξ 的分布列如下表, 则 ξ 的标准差为( )
ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 B. 3.2 C.3.2 D. 3.56
? ? ? ? ?3? ?3?

k 2 k 1 n-k (2)设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Cn? ? ? ? ,

k=0,1,2,…,n,且 E(ξ)=24,则 D(ξ)的值为( 2 A.8 B.12 C. D.16 9

)

解析:(1)依题意得,0.4+0.1+x=1, 所以 x=0.5, 所以 E(ξ)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2, 所以 D(ξ) = (1 - 3.2)2 × 0.4 + (3 - 3.2)2 × 0.1 + (5 - 3.2)2×0.5=3.56, 所以 D(ξ)= 3.56.

? 2? (2)由题意可知 ξ~B?n,3?, ? ?

2 所以 E(ξ)= n=24.所以 n=36. 3 2 ? 2? 所以 D(ξ)=36× ×?1-3?=8. 3 ? ? 答案:(1)D (2)A

类型 2 方差的性质及应用 [典例 2] 已知随机变量 ξ 的分布列为:
ξ 1 2 3 4 5

P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 另一随机变量 η=2ξ-3,求 E(η),D(η).

解:E(η)=2E(ξ)-3=2×(1×0.1+2×0.2+3×0.4+ 4×0.2+5×0.1)-3=2×3-3=3; D(η)=22D(ξ)=22×[(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3 -3)2×0.4+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.1]=4×(0.4+0.2+ 0.2+0.4)=4.8.

归纳升华 1.离散型随机变量线性运算的方差. 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X). 2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差. (1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p); (2)若 X~B(n,p),则 D(X)=np(1-p).

[变式训练] 已知随机变量 ξ~B(n,p),且其期望和 方差分别为 2.4 和 1.44,则参数 n,p 的值分别为( A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 )

解析: 因为 ξ~B(n, p), 所以 Eξ=2.4=np, Dξ=1.44 1.44 2.4 =np(1-p),所以 1-p= =0.6,所以 p=0.4,n= 2.4 0.4 =6,故选 B. 答案:B

类型 3 方差的实际应用(规范解答) [典例 3] 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两 个相互独立的随机变量 ξ,η,已知甲、乙两名射手在每 次射击中击中的环数均大于 6 环,且甲射中的 10,9,8, 7 环的概率分别为 0.5、3a、a、0.1,乙射中 10,9,8 环 的概率分别为 0.3,0.3,0.2.
(1)求 ξ,η 的分布列; (2)求 ξ,η 的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的 射击技术.

审题指导:先根据分布列的性质求出 a,然后写出 ξ, η 的分布列; 再利用公式求出数学期望和方差, 根据期望、 方差各自的大小关系比较甲、乙的射击技术.
[规范解答] (1)依题意,0.5+3a+a+0.1=1 解得 a =0.1.(1 分) 因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2,

所以乙射中 7 环的概率为 1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.(3 分) 所以 ξ,η的分布列分别为: ξ 10 9 8 7

P 0.5 0.3 0.1 0.1

η 10

9

8

7

P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得(5 分) E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环); E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环); (7 分)

D(ξ)=(10- 9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2× 0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96; 失分警示:方差公式涉及的数据较多,使用时要小心 仔细. D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2× 0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.(9 分)

由于 E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高; 又因为 D(ξ)<D(η),说明甲射中的环数比乙集中,比 较稳定.(11 分) 射击技术的比较要从数学期望和方差两个方面进行, 一般的,期望值大、方差小表明技术好. 所以,甲比乙的技术好.(12 分)
失分警示:这一步必不可少,缺少该步,会扣 1 分.

归纳升华 离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均 水平,在实际应用中,往往通过比较期望值的大小确定质 量的优劣,水平的高低,当期望值一样时,还必须通过比 较二者的方差来做出判断.

[类题尝试] 有甲、乙两名学生,经统计,他们在解 答同一份数学试卷时,各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率分布大致如表 1 和表 2 所示: 表1 分数 X 80 90 100 概率 P 0.2 0.6 0.2

表2 分数 Y 80 90 100 概率 P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平. 解:因为 E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90, D(X) = (80 - 90)2 × 0.2+ (90 - 90)2 × 0.6+ (100 - 90)2 ×0.2=40,

制作不易 尽请参考

E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90, D(Y) = (80 - 90)2 × 0.4+ (90 - 90)2 × 0.2+ (100 - 90)2 ×0.4=80, 因为 E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因 此甲生的学习成绩较稳定.

1.已知随机变量的分布,求它的均值、方差和标准 差,可直接按定义(公式)求解. 2.已知随机变量 ξ 的均值、方差,求 ξ 的线性函数 η=aξ+b 的均值、方差、标准差,可直接用均值、方差 的性质求解. 3. 如能分析所给随机变量是服从常见的分布(如两点 分布、二项分布等),可直接用它们的均值、方差公式计 算.

4.对于应用题,必须对实际问题进行具体分析,先 求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量 的均值、方差和标准差.


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com