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山东省烟台市2012-2013学年高一下学期期末考试 数学 扫描版含答案

山东省烟台市2012-2013学年高一下学期期末考试 数学 扫描版含答案


参考答案
一、选择题 ABCBB 二、填空题 B DABA DC

13. 1 三、解答题

14.

2 10 5

15.

3 22

16. 2

17.解答: (1)设 a, b 所成角为 ? ,由 3a ? 2b ? 代入得: a ? b ?

7 可得,9a 2 ? 12a ? b ? 4b2 ? 7 ,将 a ? b ? 1
……………4 分

1 , 2 1 , 2

所以 a ? b ?| a || b | cos ? ? cos ? ? 又 ? ?[0, ? ] ,故 ? ?
2

……………5 分

?
3

,即 a, b 所成角的大小为
2 2 2

? . 3
2

……………7 分 ……………10 分 ……………12 分

(2)因为 | 3a ? b | ? 9a ? 6a ? b ? b ? 9 | a | ?6a ? b? | b | ? 13 所以 3a ? b ? 13 . 18.解答: (1)由图像可知 A ? 2 .

T ? 8 ,∵ T ?

2?

?

? 8,?? ?

?
4

,故 f ( x) ? 2sin(

?
4

x ? ?)

……………3 分

又图象经过点 (1, 2) ,∴ 2sin( ∵ | ? |?

?

? ? ) ? 2 ,即 sin( ? ? ) ? 1 4 4

?

?
2

,∴ ? ?

?
4

,∴ f ( x) ? 2sin(

?

x? ); 4 4

?

……………6 分

(2) y ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2sin(

?

x ? ) ? 2sin( x ? ? ) 4 4 4 2 4

?

?

?

?

? 2sin( x ? ) ? 2cos( x ? ) 4 4 4 4 ? 2 2 sin( x ? ) ? 2 2 cos x , 4 2 4
∵ x ? [?6, ? ] ,∴ ? 当?

?

?

?

?

?

?

?

……………9 分

2 3

3? ? ? ? x?? , 2 4 6
……………11 分

3? ? ? x ? ?? ,即 x ?[?6, ?4] 时, f ( x) 单调递减; 2 4

当 ?? ?

?
4

x??

?
6

,即 x ? [?4, ? ] 时, f ( x) 单调递增.

2 3

…………12 分

19.解:(1)∵ AC

????

??? ? ? (cos ? ? 2,sin ? ) , BC ? (cos ? ,sin ? ? 2) ,

2 2 ∴| AC |= (cos ? ? 2) ? sin ? ? 5 ? 4 cos ? , 2 2 | BC |= cos ? ? (sin ? ? 2) ? 5 ? 4sin ? .

……………2 分 ……………4 分 ……………5 分

由| AC |=| BC |得 sin ? ? cos ? .

? 3? 5? , ),∴ ? = . 2 2 4 ??? ???? ? ??? ? ???? 1 (2) AB ? (?2, 2), DC ? (cos ? ? ,sin ? ) ,由 AB / / DC 得 2 1 (?2sin ? ) ? 2(cos ? ? ) ? 0 , 2
又∵ ? ? ( 所以 sin ? ? cos ? ? 可得 sin(? ?

……………7 分

1 , 2
……………9 分

?
4

)?

2 3 ,即 sin 2? ? ? . 4 4

而? ∈ (

? 3?
2 ,

? 7 ) ,所以 tan(? ? ) ? ? 4 7 2

……………10 分

2sin 2 ? ? sin 2? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? ? ? sin 2? ? tan(? ? ) sin ? 1 ? tan ? 4 1? cos ? 3 7 3 7 ? (? ) ? (? )? 4 7 28
……………12 分 20.解答: 方法一: (1) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x 1 ? sin x ? cos x

sin 2 x ? cos 2 x ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x 1 ? sin x ? cos x (sin x ? cos x) 2 ? sin x ? cos x (sin x ? cos x)(1 ? sin x ? cos x) ? ? 1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x = ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
4

)
……………6 分

方法二: f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x 2sin x cos x =1 ? 1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

? (sin x ? cos x)2 ? 1 ? 2sin x cos x ? 2sin x cos x ? (sin x ? cos x)2 ? 1 ? (sin x ? cos x ? 1)(sin x ? cos x ? 1)

代入上式得: f ( x) ? sin x ? cos x ? (2)当 x ?[0, ? ] 时, x ? 所以 2 sin( x ? 此时 x ?

2 sin( x ? ) 4

?

……………6 分

?

? 2 ? 5? ,1] ? [ , ] , sin( x ? ) ? [? 4 2 4 4 4

……………8 分

?
4

) ? [?1, 2] ,即 f ( x) 的最大值为 2 ,

……………10 分 ……………12 分

?
4

?

?
2

,所以 x ?

?
4



21.解答: (1)? m ? n , ? 2sin

x x (1 ? 2sin 2 ) ? 3 cos x ? 0 …………………2 分 2 4

x x ? 3 cos x ? 2sin cos ? sin x 2 2

? tan x ? 3

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z ,

………………5 分

? x 的取值的集合为:?{x | x ? k? ?
(2) f ( x) ? 2sin

?
3

, k ? Z}

………………6 分

x x (2cos 2 ? 1) ? 3 cos x ? 2t ? sin x ? 3 cos x ? 2t 2 4

? 2sin( x ? ) ? 2t 3
∵函数 f ( x) 有两个零点 ∴方程 2sin( x ?

?

……………8 分

?
3

) ? 2t ? 0 当 x ?[0, ? ] 时有两个解

∴y= 2t 与 y= 2sin( x ?

?
3

),x ?[0, ?] 图象有两个交点

……………10 分 ……………12 分 ……………13 分

3 3 ?t 的取值范围为 [ ,1) 2

当 x ?[0, ? ] 时, x ?

?

? [?

? 2?
3 , 3

] ,由图像得, 2t ? [ 3, 2)

22.解答:(1)解:由已知 | OA |?| OB |? 3 ,由三角函数定义得, 因为 cos ? ?

2 6 ? , 3 3
2

所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?

3 3

……………3 分

? 3 3 3 6 3 3 2? 3 xB ? 3 cos(? ? ) ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ………6 分 3 2 2 2 3 2 3 2
(2)解:不妨设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), OA ? OB ? r , 依题意得: x1 ? r cos ? , y1 ? sin ? , y1 ? r sin ? , y2 ? r sin(? ?

? ). 3

1 1 1 ……………8 分 x1 y1 ? r 2 cos ? ? sin ? ? r 2 sin 2? , 2 2 4 ? ? ? ? 5? ? ? ?? , ),?? ? ? ( , ) 6 2 3 2 6 1 1 ? ? 1 2? 所以 S2 ? | x2 | y2 ? r 2 [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? r 2 sin(2? ? ) ……10 分 2 2 3 3 4 3 2? 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? ), 3 整理得 cos 2? ? 0 ? ? ? 因为 ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? , 6 2 3 ? ? 所以 2? ? , 即 ? ? ……………13 分 2 4
所以 S1 ?


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