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数学:322《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件新人教A版选修1-193849-文档资料_图文

数学:322《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件新人教A版选修1-193849-文档资料_图文

第三章 导数及其应用

.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) ? c , 则 f '( x ) ? 0; 公 式 2 .若 f ( x ) ? x n , 则 f '( x ) ? n x n ? 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) ? s in x , 则 f '( x ) ? c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) ? c o s x , 则 f '( x ) ? ? s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) ? a x , 则 f '( x ) ? a x ln a ( a ? 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) ? e x , 则 f '( x ) ? e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) ? lo g a x , 则 f '( x ) ? ( a ? 0 , 且 a ? 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ? ln x , 则 f '( x ) ? ; x

练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5

y? ? 0
4
-2

(2) y= x
(3) y= x

?2 y? ? ?2 x ? 3 x
?3

y? ? 4 x

3

x (4) y= 2

y? ? 2 ln 2
x

(5) y=log3x y? ?

1 x ln 3

思考如何求下列函数的导数:

1 (1) y ? 4 x
(2)y ? x x

p ( t)?p ( 1 ? 5 %) 0
t

解:根据基本初等函数导数公式表,有
t ? p ( t )? 1 . 05 ln 1 . 05

10 ? ( 10 ) ? 1 . 05 ln 1 . 05 ? 0 . 08 ( 元 / 年 ) 所以 p

因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.

导数的运算法则:(和差积商的导数)

[ fxg ( ) ? ( x ) ] ' ? fxg ' ( ) ? ' ( x )

? ? ? [ f ( x ) ? g ( x ) ] ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x )
轮流求导之和
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

上导乘下,下导乘上,差比下方

? ? ? [ f ( x ) ? g ( x ) ] ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为:

[cg ( x)]? ? cg ?( x)

例2 根据基本初等函数的导数公式和导数

运算法则,求函数y=x3-2x+3的导数。 解:因 3 ? ? ? ? ( x ? ( 2 x ) ? ( 3 ) 为)
2 ?3 x ?2

y??(x3?2x?3 )?

2 ?? y 3 x ? 2

所 以,

练习2、求下列函数的导数。

( 1 ) y ? x? sin x ? cosx
3

y? ? 3x ? cos x ? sin x
2

x x 2 (1) (2) y ? 2 sin ? cos ? 2 x ? 1 2 2

y? ? cos x ? 4 x

( 3 ) y ? ( x ? 1 )( x ? 2 )

y? ? 2 x ? 3

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
1 5284 ?? ? 5284 ? ( ) ? ? c(x ) ?( ) x? 100 100 ?x
? ? 1 ? ( x ? 100 ) ? 1 ? ( x ? 100 ) ? ? 5284 ? 2 ( x ? 100 )

0 ? ( x ? 100 ) ? 1 ? 1 ? 5284 ? ? 5284 ? 2 2 ( x ?100) ( x ? 100 )

5284 ? ( 90 )? ? 52 . 84 (1)因为 c ,所以, 2 ( 90 ? 100 ) 纯净度为90%时,费用的瞬时变化率

为52.84元/吨。
5284 ?( 98 )? ? 1321 (2)因为 c ,所以, 2 ( 98 ? 100 ) 纯净度为98%时,费用的瞬时变化率

为1321元/吨。

练习3、求下列函数的导数。
1 2 (1 ) y ? ? 2 ; x x x 1 4 (2) y ?1 22 ; ? ); y ? ? 2 ? 3 ; (1 ) y ? 1 ? ( x1 2 x x x x (3 ) y ? ta n x ; x (2) y ? 22 ; 2 ( 4 ) y ? 1( 2 x ? 3 ) 1 ? x ; ? x (3 ) y ? ta n x ; 2

1 ? x 2)3 y ( 4 ) y ? ( 2 x 2( ? )?? 1? x2; 2 2; (1 ? x )

x (2) y ? x

x
2

1? x (3 ) y ? ta n x ;

;

本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值,

(4) y ? (2 x 2 ? 3) 1 ? x 2 ;

再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ? ? ; 2 cos x

我们再回顾一下 “导数的几何意义” 中的两个练习题。

练习1、求曲线 y ? 9 在点M(3,3)处的
x

切线的斜率及倾斜角.
第二种解法:
9 y? ? ? 2 x

代入x=3,得

y? ? ?1

斜率为-1,倾斜角为135°

1 2 1 练习2、判断曲线 y ? 2 x 在(1,)处 2

是否有切线,如果有, 求出切线的方程.

试自己动手解答.
1 有 y ? x? 2

, 切 线

基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) ? c , 则 f '( x ) ? 0; 公 式 2 .若 f ( x ) ? x n , 则 f '( x ) ? n x n ? 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) ? s in x , 则 f '( x ) ? c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) ? c o s x , 则 f '( x ) ? ? s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) ? a x , 则 f '( x ) ? a x ln a ( a ? 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) ? e x , 则 f '( x ) ? e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) ? lo g a x , 则 f '( x ) ? ( a ? 0 , 且 a ? 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ? ln x , 则 f '( x ) ? ; x

导数的运算法则:(和差积商的导数)

[ fxg ( ) ? ( x ) ] ' ? fxg ' ( ) ? ' ( x )

? ? ? [ f ( x ) ? g ( x ) ] ? f ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ( x )
轮流求导之和
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

上导乘下,下导乘上,差比下方(前导后 不导)


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