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指数函数及其性质(一)教学课件08_图文

指数函数及其性质(一)教学课件08_图文

§2.1.2指数函数及其性质(1) 问题 引入 问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分 裂x次后,得到的细胞个数y与x有怎样的 关系? 研究 分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次 …… y?2 x 细胞 总数 2个 21 4个 22 8个 23 16个 24 2 x 问题 引入 问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y与x有怎样的关 系式? 研究 截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次 1 x y?( ) 2 木棰 剩余 1 尺 2 1 尺 4 1 尺 8 1 尺 16 1 ( )x 尺 2 思考 y?2 , x 1 x y?( ) 2 (1)它们是否构成函数? (2)这两个解析式有什么共同特征? 结论: (1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3)自变量x在指数位置. 提炼 定义:形如y ? a (a ? 0且a ? 1)的函数称为指数函数; x 其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意 : (1)ax为一个整体,前面系数为1; (2)a>0,且 a≠1 ; ? 思考:为什么概念中明确规定a>0,且a≠1? ? ? 0 1 a 思考 为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1? x ? 当 x ? 0 时, a ? 0. ? (1)若a ? 0, ? x 当 x ? 0 时, a 无意义. ? ? 1 1 (2)若a < 0, 如y = (-2) , 这时对于x = , 在实数范围 2 4 内的函数值不存在. x (3)若a=1时,函数值y=1,没有研究的必要. 例题 (口答)判断下列函数是不是指数函数,为什么? ① y?2 x?2 ⑤ y?x 2 ② y ? (?2) ③ x ⑥ ⑦ y ? 4x 2 y ? ?2 x x y ? xx y ? (a ?1) x √ ④ y ?? √⑧ (a ? 1, 且a ? 2) 探究 在同一坐标系中分别作出如下函数的图象: 列表 x … -3 -2 -1 0 0 1 2 2 4 3 8 … … … y ? 2 x … 0.13 0.25 0.5 1 x … y?( ) 2 8 4 2 0 0.5 0.25 0.13 描点与连线 y 8 7 6 y?( ) 1 x 2 5 y?2 x 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4 探究 上面两个函数的图象有什么关系? ?点(x,y)与点(- x,y)关于y轴对称 ?函数 y ? 2 与 象关于y轴对称 x y?( ) 1 x 2 即 y?2 ?x 的图 探究:任意取当底数 a ? 0且a ? 1的若干个 不同的值,观察他们所对应的指数函数 图象。发现有什么共同的特征? 几何画板演示 发现 a ?1 0 ? a ?1 根据图象可以发现: 1、所画的函数图象都位于x 轴上方。 2、图象都向 x 轴正、负方向无限延伸, 而且与 x 轴没有交点。 3、图中的所有图象都过定点(0,1)。 4、当 0 ? a ? 1 时,所对应的指数函数在R上是减函数; 当 a ? 1 时,所对应的指数函数在R是增函数。 指数函数的图象和性质 a>1 y 0<a<1 y=ax (0<a<1) y y=ax (a>1) (0,1) 图 象 y=1 0 (0,1) x y=1 x 0 a>1 图 象 特 征 0<a<1 a>1 0<a<1 1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近。 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内 性 1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1. 质 例题 已知指数函数 f ? x ? ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3? 的值. x 分析:指数函数的图象经过点 故 即 a ?? 3 f ?3? ? ? ?3,? ? 1 3 , 想一 想 ,解得 x 3 a ?? 于是有 所以: f ? x? ? ? 思考:确定一个指数函数 需要什么条件? 1 3 3 ?1 1 f ? 0 ? ? π ? 1, f ?1? ? π ? π , f ? ?3? ? π ? . π 0 课堂练习 1、求下列函数的定义域: (1) y ? 32 x?1 (2) y ? (0.7) 1 x ?x x ? R? ?x x ? 0? 课堂小结 由学生自己归纳总结所学的知识,形成知 识网络,教师做必要的补充和纠正。 课后作业 ? ? P58练习1、2 思考题:求函数 y ? (小组合作探究) ?1? 1? ? ? ? 2? x 的定义域。

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