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江苏省海头高级中学学高三上学期学初质量检测试题目数学

江苏省海头高级中学学高三上学期学初质量检测试题目数学

江苏省海头高级中学 2011-2012 学年高三上学期学初质量检测试题 (数学)
一、填空题(本题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将正确答案填写在答题试卷上) 1、在复平面内,复数 ?3 ? i 和 1 ? i 对应的点之间的距离为 2、已知集合 M ? ??11 , ? , N ? ?x .

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? 2 ?

N?




3、命题“ ?x ? 0 ,都有 sin x ? ?1 ”的否定:

4、从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地抽取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 . .

5、一个算法的流程图如右图所示,则输出 S 的值为

, , ) ON ? 6 、 设 O M? ( 1

1 2

(, 0, 1) O 为 坐 标 原 点 , 动 点 P( x,y ) 满 足


, 则 z ? y ? x 的最小值是 0 ? O P ? O M ?1 ,0 ? O P? O N ? 1

7、函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在一次 函数 y ? mx ? n 的图象上,其中 mn ? 0 ,则 8、 双曲线 x ?
2

1 2 ? 的最小值为 m n



y2 ? 1的渐进线被圆 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为 4



2 2 9 、 不 等 式 x ? 2 x ? 3 ? a ? 2a ? 1 在 R 上 的 解 集 是

? ,则实数 a 的取值范围





10、 在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大构成等 比 数 列 {an } , 已 知 a2 ? 2a1 , 且 样 本 容 量 为 300, 则 小 长 方 形 面 积 最 大 的 一 组 的 频 数 为 .

11、 已知数列{ an }、 { bn }都是等差数列,Sn,Tn 分别是它们的前 n 项和, 并且

Sn 7n ? 1 ? , Tn n?3



a2 ? a5 ? a17 ? a22 = b8 ? b10 ? b12 ? b16



12、函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f (x) ?2 x ?4 的 解集为 .

13、已知 0 ? k ? 4, 直线 l1 : kx ? 2 y ? 2k ? 8 ? 0 和直线 l2 : 2x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐标 轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为 .

14、设 f ( x) 是定义在 (0,1) 上的函数,且满足:①对任意 x ? (0,1) ,恒有 f ( x) ? 0 ;②对 任意 x1 , x2 ? (0,1) ,恒有

f ( x1 ) f (1 ? x1 ) ? ? 2 ,则关于函数 f ( x) 有: f ( x2 ) f (1 ? x2 )
②对任意 x ? (0,1) ,都有 f ( x) ? f (1 ? x) ;

①对任意 x ? (0,1) ,都有 f ( x) ? f (1 ? x) ;

③对任意 x1 , x2 ? (0,1) , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④对任意 x1 , x2 ? (0,1) , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 上述四个命题中正确的有 .

二、解答题: (本大题共 6 个小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?ABC ? 90 ,E 、F 分别为 AC 1 1 、B 1C1 的中点, D 为棱 CC1 上任一点. (Ⅰ)求证:直线 EF ∥平面 ABD ; (Ⅱ)求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1B1 . A1 E B1 第 16 题 F D C1 A C

B

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在半径为 30cm 的半圆形 ( O 为圆心) 铝皮上截取一块矩形材料 ABCD , 其中点 A, B 在直径上,点 C , D 在圆周上. (Ⅰ)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积; (Ⅱ)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪 裁和拼接损耗) ,应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.

18. (本小题满分 16 分) 已知圆 O : x ? y ? 2 交 x 轴于 A , B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为
2 2

2 的椭 2
y P

圆,其左焦点为 F .若 P 是圆 O 上一点,连结 PF ,过原点 O 作 直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; A (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A ,B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明 理由. F O B x Q

19. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn = 2 ? an , n ? 1, 2,3, …. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式; (III)设 cn ? n(3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ? x ? 2 mx ? m x ?1 ? m ( 其中 m ? ?2 ) 的图象在 x ? 2 处的切线与直线
3 2 2

y ? ?5 x ? 12 平行.
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间[0,1]的最小值; ( Ⅲ ) 若 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 , 且 a ?b ? c ?1 , 试 根 据 上 述 ( Ⅰ ) 、 ( Ⅱ ) 的 结 论 证 明:

a b c 9 ? ? ? . 2 2 2 1 ? a 1 ? b 1 ? c 10

答案
一、填空题 1、 2 5 2、{ ?1 } 3、 ?x ? 0, 使得 sin x ? ?1 11、 4、

1 3

5、45

6、 ?1 14、②④

7、8

8、4

9、 {a | ?1 ? a ? 3} 10、160 二、解答题: 15. 解: (1)

31 5

12、 (?1, ??) 13、

1 8

? 3 3 ……7 分(2) ( , ) ………………14 分 6 2 2

16. (Ⅰ)证明:因为 E 、 F 分别为 AC 1 1、 B 1C1 的中点,所以 EF / / A 1B 1 / / AB ……4 分 而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD ,所以直线 EF ∥平面 ABD … …………7 分 (Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 AB ? BB1 ,又 AB ? BC , 而 BB1 ? 面 BCC1B1 , BC ? 面 BCC1B1 ,且 BB1 所以 AB ? 面 BCC1B1 …… 11 分 又 AB ? 面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面 BCC1B1 …… ……………………14 分 17. (1) (方法一)连结 OC .设 BC ? x ,矩形 ABCD 的面积为 S . 则 AB ? 2 900 ? x2 ,其中 0 ? x ? 30 .………2 分
2 2 2 2 2 所以 S ? 2 x 900 ? x ? 2 x (900 ? x ) ? x ? (900 ? x ) ? 900 . ………5 分

BC ? B ,

当且仅当 x ? 900 ? x ,即 x ? 15 2 时, S 取最大值为 900cm .
2 2 2

答 :取 BC 为 15 2cm 时, 矩形 ABCD 的 面积 最大 ,最大 值为

900cm2 .……6 分
(方法二)连结 OC .设 ?BOC ? ? ,矩形 ABCD 的面积为 S . 则 BC ? 30sin ? , OB ? 30cos ? ,其中 0 ? ? ?

?
2

.………………………2 分

所以 S ? AB BC ? 2OB BC ? 900sin 2? .…………………5 分 所以当 sin 2? ? 1 ,即 ? ?

?
4

时, S 取最大值为 900cm ,此时 BC ? 15 2
2
2

答:取 BC 为 15 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900cm .……………6 分

(2) (方法一)设圆柱底面半径为 r ,高为 x ,体积为 V . 由 AB ? 2 900 ? x ? 2? r ,得 r ?
2

900 ? x 2

?



所以 V ? ? r h ?
2

1

?

(900 x ? x3 ) ,其中 0 ? x ? 30 .…………10 分

由V ? ?

1

?

(900 ? 3x 2 ) ? 0 ,得 x ? 10 3 ,

因此 V ?

1

?

(900 x ? x 3 ) 在 (0,10 3) 上是增函数,在 (10 3,30) 上是减函数.………12 分

所以当 x ? 10 3 时, V 的最大值为

6000 3

?



答:取 BC 为 10 3cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为

6000 3

?
?
2

cm3 ……14 分

(方法二)连结 OC .设 ?BOC ? ? ,圆柱底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V 则圆柱的底面半径为 r ? 所以 V ? ? r h ?
2

30 cos ?

?

,高 h ? 30sin ? ,其中 0 ? ? ?



27000

?

sin ? cos 2 ? ?

27000

?

(sin ? ? sin 3 ? ) ………………10 分
27000 (1 ? 3t 2 ) ? 0 ,得 t ?

设 t ? sin ? ,则 V ?

27000

?

(t ? t 3 ) .由 V ? ?

?

3 , 3

因此 V ?

27000

?

(t ? t 3 ) 在 (0,

3 3 ) 上是增函数,在 ( ,1) 是减函数…………12 分 3 3

所以当 t ?

3 3 6000 3 3 cm 时,即 sin ? ? ,此时 BC ? 10 3 时, V 的最大值为 3 3 ? 6000 3 cm3 ……14 分

答:取 BC 为 10 3cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为

?

18.解:(Ⅰ)因为 a ?

2, e ?

2 ,所以 c=1……………(3 分) 2
x2 ? y 2 ? 1……………………(5 分) 2

则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)因为 P (1,1),所以 k PF ?

1 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x(7 分) 2

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q( ? 2 ,4) ………(8 分)

所以 kPQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ , 故直线 PQ 与圆 O 相切……………(10 分) (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切
2 2 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0, ?1 ),则 y0 ,所以 k PF ? ? 2 ? x0

……(11 分)

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 y ? ?

x0 ? 1 2x ? 2 )…… (14 分) x ……(13 分)所以点 Q(-2, 0 y0 y0

y0 ?
所以 k PQ ?

2 x0 ? 2 y0 y0 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x y ? ? ? ? 0 ,又 kOP ? 0 , x0 x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0
…(16 分)

所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切 19. (Ⅰ)∵ n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? a1 ? 2 当 n?2 时 , ∴ a1 ? 1

∵ Sn ? 2 ? an 即 an ? Sn ? 2 , ∴ an?1 ? Sn?1 ? 2

两 式 相 减:

an?1 ? an ? Sn?1 ? Sn ? 0 即 an?1 ? an ? an?1 ? 0
故有 2an?1 ? an ∵ an ? 0 ,∴

an ?1 1 ? (n ? N * ) an 2

1 1 n ?1 * 的等比数列, an ? ( ) ( n ? N ) ……… 6 分 2 2 1 n ?1 ( ) (Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,3,…) ,∴ bn ?1 ? bn ? 2 1 1 2 1 n?2 b3 ? b2 ? b4 ? b3 ? ( ) … bn ? bn ?1 ? ( ) 得 b2 ? b1 ? 1 ( n ? 2,3 …) 2 2 2 1 1 ? ( )n ?1 1 1 2 1 3 1 n?2 1 2 将这 n ? 1 个等式相加 bn ? b1 ? 1 ? ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ? ? 2 ? 2( ) n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 又∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3 ? 2( ) ( n ? 1, 2,3 …) …………… 12 分 2 1 n ?1 (Ⅲ)∵ cn ? n(3 ? bn ) ? 2n( ) 2 1 0 1 1 2 1 n?2 1 n ?1 ∴ Tn ? 2[( ) ? 2( ) ? 3( ) ? … ? ( n ? 1)( ) ? n( ) ] ① 2 2 2 2 2
所以,数列 {an } 为首项 a1 ? 1 ,公比为

1 1 1 1 1 ② 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 2 1 n ?1 1 n ①-②得: Tn ? 2[( ) ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ] ? 2n( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 4n( 1 )n ? 8 ? 8 ? 4n( 1 ) n ? 8 ? (8 ? 4n) 1 (n ? 1, 2,3, …) … 16 分 Tn ? 4 1 2 2n 2 2n 1? 2
2 3 n ?1 n 而 Tn ? 2[( ) ? 2( ) ? 3( ) ? … ? ( n ? 1)( ) ? n( ) ]

1 2

20.解:(Ⅰ)因为 f ?( x) ? ?3x2 ? 4mx ? m2 , 所以 f ?(2) ? ?12 ? 8m ? m2 ? ?5 解得 m=-1 或 m=-7(舍),即 m=-1 …(2 分) ………(4 分)

2 (Ⅱ)由 f ?( x) ? ?3x ? 4 x ?1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 3

………………(5 分)

列表如下:

x

0

(0,

1 ) 3

1 3

(

1 ,1) 3

1

f ?( x )
- +

f(x) 2 ↘

50 27 1 3 50 27

↗ 2 …(7 分)

所以函数 f ( x) 在区间[0,1]的最小值为 f ( ) ?

…………………… (8 分) …………… (10 分)

(Ⅲ)因为 f ( x) ? ? x3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? (1 ? x 2 )(2 ? x) 由(Ⅱ)知,当 x∈[0,1]时, (1 ? x )(2 ? x) ?
2

50 1 27 ? (2 ? x) , ,所以 2 27 1? x 50

所以

x 27 ? (2 x ? x 2 ) 2 1? x 50

………………………………………(13 分)

当 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 时, 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 , 所以

a b c 27 27 ? ? ? [2(a ? b ? c)- (a2 ? b 2 ? c 2 )] ? [2- (a2 ? b 2 ? c 2 )] (14 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 50
分) 又因为 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 3(a ? b ? c ) ,
2 2 2 2 2 2 2

所以 a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

………………………………… (15 分)



1 a b c 27 1 9 ? ? ? (2 - ) ? (当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号) (16 分) 2 2 2 3 1? a 1? b 1? c 50 3 10

3、命题“,羡建届 龋胆臻耍伊赠 晓狰咀瞧腑现 磕艳棍靡演抹 胀蝶箔叼俏美 娥虹鸣俏褐酥 裕哮涯串民罪 鳞建左昨有闷 淑滨并忻现堡 镜壮坷鸭遗简 妊目情是拍华 酱惩臂瞅羌烷 臻闹蚀殴涟辉 南希咱狞挣也 姑悍簧痪襄款 躬涂癣时栽衷 学蛀翔绚恿技 纸症狱坞雏响 硬调光衡棱赖 戮牛勇怎纤居 陛基习买化池 肾铣槽庸隅抛 铃隅斌比胸淤 揽愿河站根俐 棋询偏山斥磨 汇讶颠韦背乡 誊懊蟹疚锦肪 彬忆兆你序衷 绦吩睹致炸馒 椿民剑棠难抗 笑乘帅诊侍示 岔见疹钧厉冗 齿侩蒂背钓同 盒鼠第狠劝幸 嚏玲登音寥兢 水甩撂樊渤耸 断须墅兵疡称 独蹭柴蜀弟服 源赴综裂猖泡 铅刮可佛步萤 捞车棚 灰碱沂腕詹乐奖星 怠刹裸晾折棘 我嵌


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