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2013-2014学年高二数学同步课件1.3.1《组合与组合数公式》(苏教版选修2-3)_图文

2013-2014学年高二数学同步课件1.3.1《组合与组合数公式》(苏教版选修2-3)_图文

1.3
第1课时

组合

组合与组合数公式

【课标要求】 1.正确理解组合与组合数的概念. 2.能利用组合数的两个性质进行简单运算. 3.能利用组合解决一些简单的应用问题. 【核心扫描】 1.组合的概念及组合与组合数的区别.(重点) 2.组合数公式的推导与应用.(难点)

自学导引 1.组合的定义 一般地,从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组 ,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数的定义 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表 示.

3.组合数公式
m n?n-1??n-2?…?n-m+1? n! A n m Cn =Am= = m! m!?n-m?! m

规定:C0 n=1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式.
m A n m m m 提示 Cm · A = A ,即: C = . m n m n n Am

想一想 组合数公式Cm n 中,m、n的范围有什么要求?
* 提示 Cm n 中,m≤n且m、n∈N .

名师点睛 1.正确理解组合的含义 (1)组合要求n个元素是不同的,被取的m个元素 也是不同的,即从n个不同元素中进行m次不放 回地取出. (2) 取出的 m个元素不讲究顺序,也就是说元素 没有位置的要求,无序性是组合的特点. (3)据组合的定义,只要两个组合中的元素完全 相同,则不论元素的顺序如何,都是相同的组 合.只有当两个组合中的元素不完全相同时, 才是不同的组合.

2.排列与组合问题的异同 组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元 素中任取m个元素”;不同点是前者是“不管 顺序合成一组”,而排列是要“按照一定顺序 排成一列”.

题型一 组合的概念 【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? (2)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问 候,共需握手多少次? (3)10名同学分成人数相同的两个学习小组,共 有多少种分法? (4)10 个三好学生名额分给 5 个班,每班至少一 个,有多少种分法?

[思路探索] 属于组合与排列的区分问题,看问题 有无次序要求. 解 (1)集合中的元素具有无序性,顺序无关是组 合问题. (2)两人握手与顺序无关是组合问题. (3)学习小组的人与顺序无关是组合问题. (4) 将名额分给 5 个班,只与每班分得名额个数有 关,属组合问题.

规律方法 区分排列还是组合问题的关键是看取 出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起,区 分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果解出 来,然后交换这个结果的任意两个元素的位置, 看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有 顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序, 是组合问题.

【变式1】 有8盆不同的花, (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆; (2)从中选出2盆放在教室里. 以上问题中,哪一个是组合问题?哪一个是排列问题? 解 (1)从8盆花中,选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关,故属排列问题. (2)从8盆花中,选出2盆放在教室的放法与顺序无关,故属组 合问题.

题型二

组合数公式

1 1 7 【例2】 (1)求下式中的x: x - x = . C5 C6 10Cx 7
1 m (2)解不等式Cm > 3C 8 8.


(3)证明Cm n=

n Cm - . n-m n 1

[思路探索] 利用组合数公式,并注意有关限制条件.

x!?5-x?! x!?6-x?! (1)解 原式可化为: - 5! 6! 7· x!?7-x?! = ,∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0, 10· 7! ∴x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解. 8! 3×8! (2)解 由 > ?m-1?!?9-m?! m!?8-m?! 1 3 得 > ,∴m>27-3m, 9-m m 27 1 ∴m> 4 =7-4,

又∵0≤m-1≤8,且0≤m≤8,m∈N, 即7≤m≤8,∴m=7或8. (3)证明 ?n-1?! n n m C-= · n-m n 1 n-m m!?n-1-m?!

n! = =C m n. m!?n-m?! 规律方法 求解与组合数有关的方程,不等式及证明问题时,要

应用组合数的公式,并注意其成立的条件.

n 3n 【变式2】 (1)求C38 3n +C21+n的值;


m-k m k (2)证明:Ck · C = C Cm. - n n k n·

(1)解

?19 ? ? 2 ≤n≤38, ?0≤38-n≤3n, ? 即? ? ?0≤3n≤21+n, ?0≤n≤21. 2 ?

19 21 ∴ 2 ≤n≤ 2 ,∵n∈N*,∴n=10,
-n 3n 28 30 2 1 ∴C38 + C = C + C = C + C + 3n 21 n 30 31 30 31

30×29 = +31=466. 2×1

(2)证明

m-k ∵Ck · C n n-k =

n! ?n-k?! · k!?n-k?! ?m-k?!?n-m?!

n! = . k!?m-k?!?n-m?!
k Cm · C n m=

n! m! · m!?n-m?! k!?m-k?!

n! = , k!?n-m?!?m-k?!
m-k m k ∴Ck · C = C C m. n n -k n·

题型三 简单组合问题 【例3】 (14分)一个口袋里装有7个白球和1个红球, 从口袋中任取5个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法? 本题考察组合的概念及组合数的应用, 用两个计数原理进行分类,分步计算.

解题流程

[规范解答] (1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法的种数是 8×7×6 5 3 C8=C8= =56.(4分) 3×2×1

(2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两 步完成: 第一步,从7个白球中任取4个白球,有C4 7种取法; 第二步,把1个红球取出,有C1 1种取法.
1 4 3 故不同取法的种数是C4 · C = C = C 7 1 7 7=35.(8分)

(3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球中任取5 7×6 5 2 个白球即可,不同取法的种数是C7=C7= =21.(14分) 2×1

【题后反思】 解简单的组合应用题时,要先判断 它是不是组合问题,取出无素只是组成一组,与 顺序无关则是组合问题;取出元素排成一列,与 顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组 合模型时,才能运用组合数公式求出其种数.在 解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和 分步时,注意有无重复或遗漏.

【变式3】 在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中 选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,第3题的2 个小题中选做1个小题,有________种不同的选法. 解析 答案 分三步完成这件事,即共有C3 C2 C1 4· 3· 2=24(种). 24

方法技巧 用排除法求组合数 解决排列组合问题的基本方法有两种,即直接法 和排除法,排除法是先不管其中某些限制条件求 出其方法数,再剔除不合题意的方法数即可,基 本依据是“正难则反”的思想.

【示例】 从7名男生和5名女生中,选出5人,求至少一名男生和 一名女生的选法种数. 解
5 选出5人的总的选法有C 5 ,全是男生的选法有 C 12 7 种,全 5 5

是女生的选法有C

种,则至少一名男生和一名女生的选法有

5 5 C5 12-C7-C5=792-21-1=770(种).


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