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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案:第一章 3 第一课时 组合与组合数公式 Word版含解析高品质版

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案:第一章 3 第一课时 组合与组合数公式 Word版含解析高品质版

第一课时 组合与组合数公式

[对应学生用书P10]

组合的有关概念 [例 1] 给出下列问题: (1)从 a,b,c,d 四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的安排方法? (2)从 a,b,c,d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的安排方 法? (3)a,b,c,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a,b,c,d 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? 在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题? [思路点拨] 要分清是组合还是排列问题,只要确定取出的这些元素是否与顺序有关. [精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题; (2)两名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题; (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题; (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题. [一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序 就是排列问题,无顺序就是组合问题.要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来,看交 换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无 序”,也就是组合问题.
1.判断下列问题是组合问题,还是排列问题. (1)设集合 A={a,b,c,d},则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个? (2)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (3)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能? (4)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出 3 个座位安排 3 个客人 入座,又有多少种方法? (5)把 4 本相同的数学书分给 5 个学生,每人至多得一本,有多少种分配方法? (6)4 个人去干 5 种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 解:(1)组合问题,因为集合中取出元素具有“无序性”. (2)组合问题,由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时,与两个元素 的位置无关. (3)排列问题,两个元素做除法时,谁作除数,谁作被除数不一样,此时与位置有关.

(4)第一问是组合问题,第二问是排列问题,“入座”问题同“排队”,与顺序有关. (5)组合问题,由于 4 本数学书是相同的,不同的分配方法取决于从 5 个学生中选择哪 4 个人,这和顺序无关. (6)排列问题,因为 5 种工作是不同的,一种分工方法就是从 5 种不同的工作中选出 4 种,按一定的顺序分配给 4 个人,它与顺序有关.
有关组合数的计算与证明 [例 2] 求值:(1)C410-C37A33;(2)C19080+C129090; (3)C33n8-n+C321n+n. [思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决. [精解详析] (1)原式=C410-A37 =140××39××28××17-7×6×5=210-210=0. (2)C19080+C129090=C2100+C2100=1002×99+200 =4 950+200=5 150. (3)∵?????338n- ≤n2≤1+3nn, , ∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N+,∴n=10. ∴C338n-n+C32n1+n=C3208+C3310=C230+C131 =320××129+31=466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算,除了利用组合数公式外,还要注意利用组合数的 两个性质,对式子进行适当的变形,选择最恰当的公式计算. (2)有关组合数的证明问题,一般先依据组合数的性质化简,再用组合数的阶乘形式证 明.

2.若 C2n=28,则 n 的值为( ) A.9

B.8

C.7

D.6

解析:∵Cn2=2!?nn!-2?!=n?n- 2 1?=28,

∴n(n-1)=56,即 n=8.

答案:B

3.若 C4n,C5n,C6n成等差数列,则 C1n2的值为________.

解析:由已知,得 2C5n=C4n+C6n, 所以 2·5!?nn!-5?!=4!?nn! -4?!+6!?nn!-6?!,

整理,得 n2-21n+98=0,解得 n=7 或 n=14. 要求 Cn12的值,故 n≥12,所以 n=14, 于是 C1142=C124=124××113=91.

答案:91

4.证明:Cmn =mn Cmn--11.

证明:∵mn ·Cmn--11=mn ·?m-1?![??nn--11??!-?m-1?]!

=[m·?m-1?n!!]?n-m?!

=m!?nn!-m?!=Cmn ,

∴Cmn =mn Cmn--11成立.

简单的组合应用题

[例 3] (12 分)一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球.

(1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法?

(2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法?

(3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

[思路点拨] 先判断是不是组合问题,再用组合数公式写出结果,最后求值.

[精解详析] (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球,取法种数是 C38=83× ×72× ×61=56. (4 分)

(2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球,于是还要从 7 个白球中再取出 2 个,取法种数

是 C11C27=72× ×61=21.

(8 分)

(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球,也就是要从 7 个白球中取出 3 个球,取法种数是

C73=73× ×62× ×51=35.

(12

分)

[一点通] 解简单的组合应用题,要首先判断它是不是组合问题,即取出的元素是“合

成一组”还是“排成一列”,其次要看这件事是分类完成还是分步完成.

5.某施工小组有男工 7 名,女工 3 名,现要选 1 名女工和 2 名男工去支援另一施工队,

不同的选法有( )

A.C310种

B.A310种

C.A27A31种

D.C27C13种

解析:每个被选的人员无角色差异,是组合问题.分两步完成:

第一步,选女工,有 C13种选法; 第二步,选男工,有 C27种选法. 故有 C13C27种不同选法.

答案:D

6.10 个人分成甲、乙两组,甲组 4 人,乙组 6 人,则不同的分组种数为________.(用

数字作答)

解析:从 10 个人中选 4 人作为甲组,剩下的 6 人为乙组,共有 C140=210 种分组方法. 答案:210

7.现有 10 名教师,其中男教师 6 名,女教师 4 名.

(1)现要从中选 2 名去参加会议,有多少种不同的选法?

(2)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议,有多少种不同的选法?

解:(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法有 C210=45 种. (2)从 6 名男教师中选 2 名有 C26种选法,从 4 名女教师中选 2 名有 C24种选法.根据分步 乘法计数原理,共有选法 C26C24=90 种.

1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是 m 个元素形成的一个整体,不是 数,组合数是形成的不同组合的个数,是数量.
2.对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时,一是要注意组合数本身的有意 义的未知数的取值范围.二是掌握组合数性质,在计算 Cmn 时,若 m>n2,通常使用 Cmn =Cnn-m 转化;求多个组合数的和时,要注意观察上、下标的特征,灵活运用 Cmn+1=Cmn +Cmn -1.

1.给出下面几个问题: ①10 人相互通一次电话,共通多少次电话? ②从 10 个人中选出 3 个作为代表去开会,有多少种选法? ③从 10 个人中选出 3 个不同学科的课代表,有多少种选法? ④由 1,2,3 组成无重复数字的两位数. 其中是组合问题的有( )

[对应课时跟踪训练?四?]

A.①③

B.②④

C.①②

D.①②④

解析:①是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺

序的区别;②是组合问题,因为三个代表之间没有顺序的区别;③是排列问题,因为三个人

担任哪一科的课代表是有顺序区别的;而④中选出的元素还需排列,有顺序问题是排列.所

以①②是组合问题.

答案:C

2.若 A3n=12Cn2,则 n 等于( ) A.8

B.5 或 6

C.3 或 4

D.4

解析:∵A3n=12C2n,∴n(n-1)(n-2)=12×n?n- 2 1?.解得 n=8.

答案:A

3.下列四个式子中正确的个数是( ) (1)Cnm=mA!mn ;(2)Anm=nAmn--11;

(3)Cnm÷Cmn +1=mn-+m1;(4)Cmn++11=mn++11Cmn .

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:因为 Cmn =m!?nn! -m?!=m1!·?n-n!m?!=mA!mn ,故(1)正确;

因为 nAmn--11=n·??nn--m1??!!=?n-n!m?!=Amn ,故(2)正确;

因为 Cmn ÷Cmn +1=m!n?! n-m?÷?m+1?!n?n!-m-1?!=m!?nn! -m?!

×?m+1?!?nn!-m-1?!=mn-+m1,

故(3)正确.

因为 Cmn++11=?m+?1n?+!1?n?!-m?!,mn++11Cmn =mn++11·m!?nn! -m?!=?m+?1n?+ !1?n?! -m?!,所

以 Cmn++11=mn++11Cmn ,故(4)正确.

答案:D

4.若 C7n+1-C7n=C8n,则 n 等于( ) A.12

B.13

C.14

D.15

解析:C7n+1-C7n=C8n,即 C7n+1=Cn8+Cn7=Cn8+1, 所以 n+1=7+8,即 n=14. 答案:C 5.从 2,3,5,7 四个数中任取两个不同的数相乘,有 m 个不同的积,任取两个不同的数相 除,有 n 个不同的商,则 m∶n=________. 解析:∵m=C24,n=A24,∴m∶n=12. 答案:12 6.方程 Cx28=C32x8-8的解为________. 解析:当 x=3x-8,解得 x=4;当 28-x=3x-8,解得 x=9. 答案:4 或 9 7.计算:(1)C58+C19080C77; (2)C50+C51+C52+C53+C45+C55. 解:(1)原式=C38+C2100×1=83× ×72× ×61+1020××199 =56+4 950=5 006. (2)原式=2(C05+C15+C25)=2(C16+C25)
=2×???6+52× ×41???=32.
8.在一次数学竞赛中,某学校有 12 人通过了初试,学校要从中选出 5 人去参加市级培 训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选 5 人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加. 解:(1)C152=792 种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的 9 人中选 2 人,共有 C29=36 种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有 C59=126 种不同的选 法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步:第一步从甲、乙、丙中选 1 人,有 C13=3 种选法;第二步从另外的 9 人中选 4 人有 C49种选法.共有 C13C49=378 种不同的选法.
随着年岁的叠加,我们会渐渐发现:越是有智慧的人,越是谦虚,因为昂头的只是稗子,低头的才是稻子;越是富有的人,越是高贵,因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足;

越是优秀的人,越是努力,因为优秀从来不是与生俱来,从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积,我们也会慢慢懂得:成功的路,其实并不拥挤,因为能够坚持到底的人实在太少;所有优秀的 人,其实就是活得很努力的人,所谓的胜利,其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年,突然间醒悟许多,总算明白:人生,只有将世间的路一一走遍,才能到尽头;生活,只有将尘世况 味种种尝遍,才能熬出头。这世间,从来没有最好,只有更好。每天,总想要努力醒得比太阳还早,因为总觉得世间万物,太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出,心中的太阳 随之冉冉腾起,生命之火熊熊燃烧,生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象,那些从来不早起的人,一生到底能够看到几回日升?那些从来没有良好习惯的人,活到最后到底该是多么的 遗憾与愧疚?曾国藩说:早晨不起,误一天的事;幼时不学,误一生的事。尼采也说:每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。光阴易逝,岂容我待?越是努力的人,越是没有时间抱怨, 越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里,看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”,我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们,因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的 晨练者,我就会从心里为他们竖起大拇指,因为他们给自己力量的同时,也赠予他人能量。我总觉得:你可以不优秀,但你必须有认真的态度;你可以不成功,但你必须努力。这个世界上, 从来没有谁比谁更优秀,只有谁比谁更努力。我也始终认为:一个活得很努力的人,自带光芒万丈;一个人认真的样子,比任何时候都要美好;一个能够自律自控的人,他的人生也就成功了 大半。世间每一种的好,从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候,我真的感觉,人生的另一个名字应该叫做努力,努力了就会无悔,努力了就会无愧;生活的另一种说法应该叫做煎熬, 熬过了漫漫黑夜,天就亮了,熬过了萧萧冬日,春天就来了。人生不易,越努力越幸运;余生不长,越珍惜越精彩。人生,是一本太仓促的书,越认真越深刻;生命,是一条无名的河,越往 前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息,不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角,所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自 己颓废散漫,越是优秀的人越是努力……生活中很多时候,我们遇到一些复杂的情况,会很容易被眼前的障碍所蒙蔽,找不到解决问题的方法。这时候,如果能从当前的环境脱离出来,从一 个新角度去解决问题,也许就会柳暗花明。一个土豪,每次出门都担心家中被盗,想买只狼狗栓门前护院,但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法:每次出门前把 WiFi 修改成无密 码,然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口,从此无忧。护院,未必一定要养狗换个角度想问题,结果大不同。一位大爷到菜市场买菜,挑了 3 个西红柿到到秤盘, 摊主秤了下:“一斤半 3 块 7。”大爷:“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两,3 块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时,大爷从容的掏出了七毛钱,拿起刚刚去掉的那个 大的西红柿,潇洒地换种算法,独辟蹊径,你会发现解决问题的另一个方法。生活中,我们特别容易陷入非 A 即 B 的思维死角,但其实,遭遇两难困境时换个角度思考,也许就会明白:路的 旁边还有路。一个鱼塘新开张,钓费 100 块。钓了一整天没钓到鱼,老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了,回来的时候每人拎着一只鸡,大家都很高兴!觉得老板很够意思。后来, 钓鱼场看门大爷告诉大家,老板本来就是个养鸡专业户,这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存,还让顾客心甘情愿买单。新时代,做营销,必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业, 于是爸爸灵机一动说:儿子,我来做作业,你来检查如何?孩子高兴的答应了,并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍,还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸 所有作业都做错了。巧妙转换角色,后退一步,有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问:一滴水从很高很高的地方自由落体下来,砸到人会不会砸伤?或砸死?群里一下就热闹起来, 各种公式,各种假设,各种阻力,重力,加速度的计算,足足讨论了近一个小时 后来,一个不小心进错群的人默默问了一句:你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢,而忘却了 最简单也是最直接的路有两个年轻人,大学毕业后一起到广州闯天下。 甲很快做成一单大生意,升为部门经理;乙业绩很差,还是一个业务员,并且是甲的手下。乙心理不平衡,就去庙里找和尚,求神明相助。和尚说:“你过三年再看。”三年后,他找到和尚, 很沮丧地说甲现在已经是总经理了。和尚说:再过三年再看。三年 又过去了,他又去见和尚,气急败坏地说:甲已经自己当老板了。和尚说:我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己,你 是谁?我们都为自己活着,监管着自己的责任,你在干什么?你痛苦地为甲活着,监管着他,你丢的不是职位、金钱和面子,你丢掉了自己。一年后,乙又来了,幸灾乐祸地说:和尚你不对, 甲公司破产,他坐牢了。和尚无语,心里悲悯:坐牢了,破产了,甲还是他自己。可是你这个可怜的人啊,还不是你自己呀。十年后,甲在监狱里服刑时,思索人生,写了一本书,很轰动, 成了畅销书。签名售书,成了名人,无限风光。甲还在电视上与和尚一起,作为名人谈经论道、感化众生。乙在出租屋里看电视,手里翻着甲的书,内心极度痛苦。他给和尚发短信:我相信 命运了,甲坐牢都能坐出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时,心中是否会愤愤不平?看到别人失意落魄时,又是否会幸灾乐祸,沾沾自喜? 其实别人的好与坏,与你又有什么关系呢?你需要要做的其实只是自己。真正智慧的人,在人生追求的路上,只有不断的自我升级,对照别人的一切,不断的鞭策自己,一路坚持,才能不断 的升华,实现人生的梦想。 一位少年家境贫寒,为了生计,他到一个庄园主家里当工人。他很勤奋,也很卖力,生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士,对待工人很友善。一天,他 突然接到一个电话,那边传来一个中年人的声音:“先生,您需不需要工人?”庄园主摇了摇头,轻声地说: “对不起,我有工人了,不需要。”我绝对可以起早贪黑干活,我的工钱可以减半!” 对方急忙说。不,我的工人非常勤快,真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着,包括所有角落的灰尘都擦到。”对方又说。我家的工人也是这么做的,像你一样细致。”庄园 主回答说。对方无奈,只好挂断了电话。庄园主不知道,安排打这个电话的,正是在庄园里干活的那位少年。那一天,他拿着发的第一个月的薪水,跑到镇上,找来自己的叔叔,用全部的薪 水支付电话费用,然后让叔叔给庄园主打电话。叔叔搞不清楚他在做什么,便问他说:“孩子,你就在那里做工,怎么还问人家需不需要工人?”少年听后笑了,对叔叔说:“叔叔,我在那里 做工,就要对他们负责,我只想知道,在他们心中,我做得怎么样,被不被认可。”叔叔顿时对这个侄子刮目相看,认为他将来必有出息,蹲下来告诉他:“孩子,将来无论你做什么,你都要 记住你的那句话,经常问客户你做得怎么样……”少年后来就跟在叔叔身边做生意,生意做得越来越好,最后离开了叔叔独自创业,跳槽到纽约一家公司,从零开始自己的职业生涯,逐渐出 人头地。他叫范德利普,后来作为总裁,领导花旗银行十年。这十年的时光中,他的战略就是发展国内中小企业客户,而他每年都有大半的时间在各地跑,做调研,只为征求客户对银行的意 见,再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展,在他任职的第二年,便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行,为它的辉煌发展打下了坚实基础,这就是一个企业家最 大的智慧


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