9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> >>

高等数学(2017高教五版)课件曲线积分习题课(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件曲线积分习题课(工科类)_图文

第四讲 曲线积分习题课

曲线积分习题课
一 、内容小结

二 、题型练习

曲线积分习题课
一 、内容小结

二 、题型练习

对弧长的曲线积分
?定义 曲线型构件质量:? L ? ds

对坐标的曲线积分

?

L

f ( x , y )d s ? lim ? f (? i , ? i ) ? s i
? ?0
i ?1

n

??? ? 变力沿曲线作功:? F ?d r
L

?

L

P ( x , y )dx +Q (x ,y )dy
n

? lim ? ? P (? i ,? i )?x i ? Q (? i ,? i )?yi ?
? ?0
i ?1

线性

可加性 与方向有关 ? L

?性质 ?计算

物理意义 ? L d s ? s 直接计算

?? ? ?? ? Fdr ? ? ? ? Fdr
L

变量参数化、一小二起下
三变一注意 格林公式 路径无关

?联系

? ? P cos ? ? Q cos ? ? d s ? ?
L

L

Pdx ? Q dy

曲线积分习题课
一 、内容小结

二 、题型练习

曲线积分习题课
一 、内容小结

二 、题型练习

二 题型练习 (一) 对弧长的曲线积分的计算
(二) 对坐标的曲线积分的计算

二 题型练习 (一) 对弧长的曲线积分的计算
(二) 对坐标的曲线积分的计算

?计算公式

? x ? ? ( t ), (1) L的参数方程 ? ? y ? ? ( t ),

(? ? t ? ? )
(? ? ? )

?

L

f ( x , y )d s ? ? f ?? (t ),? (t ) ? ? ?2 (t ) ? ? ?2 (t )d t
?

?

(2) L:y ? ? ( x ) ( x 0 ? x ? X )

?L ?L

f ( x , y )d s ? ?x f [ x , ? ( x )] 1 ? ? ? 2 ( x )d x ( x 0 ? X )
0

X

(3) L:x ? ? ( y ) ( y 0 ? x ? Y )

f ( x , y )d s ? ? y f [? ( y ), y ] 1 ? ? ? 2 ( y )d x ( y 0 ? Y )
0

Y

?对弧长的曲线积分解题思路

明确L的方程

明确 选择 确定

参数方程 y ? ? (x)
x ? ? ( y)

参数范围

?
化为定积分

L

f ( x , y )d s
三 变 、 一 注 意

[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f (? ( t ),? ( t )) 弧长元素 ds ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )d t 一点注意 下限一定小于上限

??
计算定积分

?

f ?? ( t ),? ( t ) ? ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )d t

2 3 2 2 2 ( x ? y ) d s x ? y ? R . 其中 L 为 ?例1 计算 ?L

?注 (1) 利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算. L关于x轴对称 L关于y轴对称 L关于y=x对称

类似

y ( x, y )

L1

o
( x, ? y )

x

2 3 2 2 2 ( x ? y ) d s , x ? y ? R . 其中 L 为 ?例1 计算 ?L

?注 (1) 利用对称性简化计算.

f ( x, ? y ) ? ? f ( x, y )
L关于x轴对称 L关于y轴对称 L关于y=x对称

?L f ( x , y )d s ? 0
?L f ( x , y )d s ? 2 ?L1 f ( x , y )d s y ( x, y )

f ( x, ? y ) ? f ( x, y )
类似

?L f ( x , y )d s ? ?L f ( y , x )d s

( y, x)

(2) 可将L的方程代入被积函数简化计算.
2 2 ?补1 计算 ?L ( 2 xy ? 3 x ? 4 y )d s , 其中L为

o

x

x2 y2 ? ? 1 周长为a. 4 3

?例2 计算 ?L ( x ? y )d s , 其中L为x ? y ? a .
?注 L的方程的确定是计算曲线积分的难点之一.
2 2 2
2 2 2

4 3

4 3

2 3

2 3

2 3

9 ?例3 计算 ?? ? x ? y ? z ?d s , 其中Γ为球面 x ? y ? z ? 2 与平面 x ? z ? 1 的交线.
?例4 计算 ?? x 2 d s , 其中Γ为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 与平面

x ? y ? z ? 0 的交线.

二 题型练习 (一) 对弧长的曲线积分的计算
(二) 对坐标的曲线积分的计算

二 题型练习 (一) 对弧长的曲线积分的计算
(二) 对坐标的曲线积分的计算

?计算方法 直接计算、格林公式、 特殊路径 ?思路


L封闭



?Q ?P ? ?x ?y

?Q ?P ? ?x ?y

0

简 单

复 杂

复 杂

简 单

0

0

格林公式

直接计算
?Q ?P ? ?x ?y

添加曲线 简单否

特殊路径

?选择原则 积分路径封闭否

?例5 将 ?L f ( x , y )d y 表示成定积分
其中L为以A(1,2)、B(1,-1)、C(2,0) 为顶点的三角形,取逆时针方向. ?补2 计算 ?L y d x ? x d y , 其中L为以A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0) 为顶点的三角形的正向边界. ?例6 计算 ?? y d x ? z d y ? x d z , 其中Γ为

y

2

A
C

o
?1

1

2 x

B

?x ? y ? 2 ? 2 2 2 x ? y ? z ? 2( x ? y ) ? 的逆时针方向.

2 2 2 2 ( x ? y ) d x ? ( y ? x )d y , ?例7 计算 ?L

其中L 是由y=0,x=1,y=x所组成的闭曲线的正向. y2 ?例8 计算? L d x ? (4 x ? 2 y ln( x ? R 2 ? x 2 ))d y , R2 ? x2 y 其中L为圆周 x 2 ? y 2 ? R 2

由点A(R,0)依逆时针到
B(-R,0)的半圆.

B ?R

o

A Rx

?补3 计算 ?L ? y ? 2 xy ? d x ? ( x 2 ? 2 x ? y 2 )d y , 其中L为圆周 x 2 ? y 2 ? 4 x 由点A(4,0)依逆时针到O(0,0)的半圆(2π).

3 x 2 x ( x y ? 3 x e )dx ? ( ? y sin y )d y , ?例9 计算 ?L ? x ? t ? sin t 3 其中L为 ? ? y ? 1 ? cos t 从O(0,0)到A(π,2)的弧.

y 2
A

o

? x

B

?例10 计算 ?

x d y ? yd x ,其中L为 L x2 ? y2 ? x ? a ( t ? sin t ) ? aπ (a ? 0) ? ? y ? a (1 ? cos t )

y

t 从0到2π的一段弧. x? y x? y ?补4 计算 ? 2 dx ? 2 d y , 其中L为从A(-a,0) 2 L x ? y2 x ?y

? a?

o

a?

x

x2 y2 经上半椭圆 2 ? 2 ? 1 到点B(a,0)的一段弧. a b

?例11 计算

?

L

x d y ? yd x . 2 2 4x ? y

y

其中L为以A(1,0)为圆心

o

1

x

R(R≠1)为半径的圆周的正向.

? yd x ? x d y 2 , ?补5 计算 ?L y ? x ? 1 ( ? 1 ? x ? 2) 其中L为抛物线 2 2 x ?y 和连接两点A(-1,0)与B(2,3)的线段所组成的闭曲线的正向.


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 大学生考试网
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com