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高中数学人教版选修2-1教学课件::3.1《空间向量坐标》课件(1)

高中数学人教版选修2-1教学课件::3.1《空间向量坐标》课件(1)


一 二 三 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 向量的模与方向余弦的坐标表示式 一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴 u,AB 是轴 u 上的有向线段 . A B u 如果数 l 满足 l = AB ,且当 AB 与 u 轴同 向时 l 是正的,当 AB 与 u 轴反向时 l 是负的, 那末数 l 叫做轴 u 上有向线段 AB ,即 l = AB . AB 的值,记作 ? ? ? ? a ? 0, b ? 0, ? ? 向量 a 与向量b 的夹角 ? ? ? ? ? = (a , b ) = (b , a ) (0 ? ? ? ? ) ? ? ? ? 或者记作 ? = (a , b ) = (b , a ) 空间两向量的夹角的概念: ? b ? ? a 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与 ? 之间任意取值. 空间一点在轴上的投影 ? A 过 A 作轴 u 的垂直 平面,交点 A? 即为 A? u A 在 u 上的投影. 空间一向量在轴上的投影 B A A? B? u 已知向量的起点 A和终点 B 在轴 u上的投影分别 为 A?, B? , 那么轴 u上的有向线段 A?B? 的值,称 为向量在轴 u上的投影 . 向量 AB在 u 轴上的投影记为 Pr ju AB = A? B?. 关于向量的投影定理(1) 向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向 量 的夹角的余弦: Pr ju AB =| AB | cos ? 证明 A A? ? Pr ju AB = Pr ju? AB B?? B u? =| AB | cos ? B? u 定理1的说明: ? (1) 0 ? ? ? , 投影为正; 2 ( 2) ? ? ? ?, 投影为负; 2 ? ( 3) ? = , 投影为零; 2 ? c ? b ? ? a u (4) 相等向量在同一轴上投影相等; 关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 (可推广到有限多个) 在该轴上的投影之和. ? ? ? ? Pr j (a1 ? a2 ) = Pr ja1 ? Pr ja2 . A A? C ? a1 B B? ? a2 C? u A A? C 证明 u 如图所示,由向量加 ? a1 B B? ? a2 C? 法的三角形法则可知 AC = AB ? BC = a1 ? a 2. Pr jAB = A? B ? , Pr jBC = B ?C ? , Pr jAC = A? C ?. 由于 A?B? ? B?C ? = A?C ? 所以 Pr jAB ? Pr jBC = Pr jAC 即 Pr ja1 ? Pr ja 2 = Pr j (a1 ? a 2 ). 二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 ? 设 a = M 1 M 2 为一向量, u 为一条数轴. 点 M 1 , M 2 在轴 u 上的投影分别为点P1 , P2. 又设 P1 , P2 在轴 u 上的坐标依次为u1 , u2. 记 Pr ju M 1 M 2 = au , ? P P = OP ? OP = u2 ? u1 , 1 2 2 1 M1 M2 o P1 P2 u ? au = u2 ? u1 . ? 如果e 是与u 轴正向一致的单位向量, ? 设 a

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