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上海市曹杨中学等四校2015-2016学年高一上学期期中联考数学试卷

上海市曹杨中学等四校2015-2016学年高一上学期期中联考数学试卷


上海市 2015 学年度第一学期高一期中数学四校联考试卷 命题人:曹杨中学 王桂杰 一、填空题(每小题 4 分,满分 48 分) 1、不等式 x ? 3 ? 1的解集是 。 (??, ?4) ? (?2, ??)

? 2、已知 A ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z ,则 Z ? A 的真子集的个数是__________个。7

?

?

3、如果集合 P ? 则 P ?Q ?

?? x, y ? | y ? x , x ? R? ,集合 Q ? ?? x, y ? | y ? ? x
2

2

? 2, x ? R? ,

。 ?1,1? , ? ?1,1?

?

?
。 ?0,2? ? ? 2,3? 命题(填“真”或“假” )假

3x ? x 2 4、函数 f ( x) ? 的定义域为 x?2

5、命题“若 a ? 1 且 b ? 1 ,则 a ? b ? 2 ”的否命题是

y ? 0 ,且 6、若 x、

1 2 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为___________。9 x y
1 , 则不等式 ax ? b 的解为 2
。x ? ?1

7、 若不等式 (a ? b) x ? a ? 2b ? 0 的解是 x ?

2 2 2 2 8、 有四个命题: (1) 若a ? b, 则 ac ? bc ; (2) 若a ? b ? 0 , 则a ? b ; (3) 若

1 ? 1, a

则 a ?1 ; (4) 1? a ? 2 且 0 ? b ? 3 ,则 ?2 ? a ?b ? 2 。其中真命题的序号是 (4) 。 9、有一圆柱形的无盖杯子,它的内表面积是 400 (cm2 ) ,则杯子的容积 V (cm3 ) 表示成杯 子 底 面 内 半 径 r (cm) 的 函 数 解 析 式 为 。

V ?

400r ? ? r 3 20 ? , r ? (0, ) 2 ?

A B C

U

10、请在图中用阴影部分表示下面一个集合:

B? ?? A ? B ? ? ? A ? C ?? ? ?痧
u
A B C U

u

C? :

11、已知 a > 0 ,若不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 在实数集 R 上的解集不是空集,则 a 的取值 范围是 。 1, ??

?

?
2

12、 对于实数 x, 若 n ? x ? n ? 1, 规定 ? x? ? n,(n ? Z ), 则不等式 4 ? x ? ? 20 ? x ? ? 21 ? 0 的解

集是

? 2, 4?

二、 选择题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13、若集合 A ? 1, m 2 , B ? ? 2, 4 ? ,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? ? 4 ? ”的 ( (A) 充分不必要条件. (C) 充要条件. 答案:A (B) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.

?

?



14 、有四组函数① f ( x) ? 1 与 g ( x) ? x 0 ;② f ( x) ? 3 x 3 与 g ( x) ? x ;③ f ( x) ? x 与

g ( x) ? ( x ) 2 ;④ f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 其中是同一函数的组数
A.4 个 答案:D B.3 个 C.2 个 D.1 个

(

)

2 15、命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是???????????( 2 (A)若 x ? 1 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ; 2 (C)若 x ? ?1 或 x ? 1 ,则 x ? 1 ; 2 (B)若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1 ; 2 (D)若 x ? ?1 或 x ? 1 ,则 x ? 1 。



答案:D

ax ? 1 ? 0 的解集为 S, ,4 ? S , 且 3? S 则实数 a 的取值范围为 ( ) x2 ? a 1 1 1 1 A. (??, ? 3) ? ( , 3) B. (??, ) ? (16, ??) C. [ , ) ? (9,16] D.不能确定 3 4 4 3
16、 设关于 x 的不等式 答案:C 三、 解答题: (8+10+ 17、 (本题满分 8 分)已知集合 A ? x | x 2 ? mx ? m 2 ? 19 ? 0 , B ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,

?

?

?

?

C ? ?2, ?4? ,若 A ? B ? ?, A ? C ? ? ,求实数 m 的值.
解:将 x ? 3 代入集合 A 得 m ? 2m ? 10 ? 0 ,故 m ? 5 或 m ? ?2 ,经检验, m ? ?2 .
2

没有舍掉 m ? 5 的扣 3 分.

18、 (本题满分 10 分)

已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} , B ? {x | x2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0}. (1)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 解: A ? (?2, 4) ???..2 分

4? x

B ? ?x | ( x ? a)( x ? 2a) ? 0, a ? R? (1) a ?[?1, 2] ???..4 分 (2) a ? 4或a ? -2或a ? 0 ???..4 分
19、 (本题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆。当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出;当每辆车的月 租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)设每辆车的月租金定为 x 元时,租赁公司的月收益为 f ( x ) 元,求当 x 为何值时,最 大月收益是多少?

3600 ? 3000 ? 88 辆; 50 (2)设每辆车的月租金定为 x 元, x ? 3000 x ? 3000 ) ? ( x ? 150) ? ? 50 ,即 则租赁公司的月收益为 f ( x) ? (100 ? 50 50 1 1 f ( x) ? ? x 2 ? 162 x ? 21000 ? ? ( x ? 4050) 2 ? 307050 (3000 ? x ? 8000) , 50 50
18. (1) 100 ? 当 x ? 4050 时, f ( x)max ? f (4050) ? 307050 ,答略 20、 (本题满分 12 分)已知集合 M = {x | x2 - 4x + 3 < 0}, N = {x | x - 3| ? 1} 。 (1)求出集合 M,N; (2)试定义一种新集合运算 D ,使 M D N = {x |1 < x < 2}; (3)若有 P= 镲 x 睚

禳 镲 镲 镲 铪

x - 3.5 x - 3.5 ,按(2)的运算,求出 ( ND M )D P ? x - 2.5 x - 2.5

解: (1)集合 M = {x 1 < x < 3}, N = {x 2 #x

4}(3 分)

M , 但x (2) M D N = {x | x 蜗
(3)P= 镲 x 睚

M ? N} (6 分)

禳 镲 镲 镲 铪

x - 3.5 x - 3.5 ? x - 2.5 x - 2.5

{x

x ? 2.5}(8 分)

而: ND M = [3, 4](10 分) ,所以 ( ND M )D P = ? (12 分) 21、 (本题满分 14 分)

若实数 x, y , m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 接近 m 。 (1)若 4 比 x ? 3 x 接近 0 ,求 x 的取值范围;
2

(2)对于任意的两个不等正数 a , b ,求证: a ? b 比 (3)若对于任意的非零实数 x ,实数 a 比 x ? 解:(1)由题意得: | x2 ? 3x |? 4 则 x ? 3x ? 4 或 x ? 3x ? ?4
2
2

b2 a 2 ? 接近 2 ab ; a b

4 接近 ?1 ,求 a 的取值范围。 x
1分 3分

2

由 x ? 3x ? 4 得 x ? 4 或 x ? ?1 由 x ? 3x ? ?4 得 x 无解 所以 x 取值范围为 (??, ?1) ? (4, ??)
2

4分
2 2

b a ? ? 2 ab 5分 a b b2 a 2 b2 a 2 ? ? 2 ab | ? | a ? b ? 2 ab |? ( ? ? 2 ab ) ? (a ? b ? 2 ab ) 所以 | a b a b 2 2 2 b a (a ? b)(a ? b) ? ? ( a ? b) ? ?0 = a b ab b2 a 2 ? ? 2 ab | ? | a ? b ? 2 ab |? 0 则| 8分 a b b2 a 2 ? 即a ?b 比 接近 2 ab 。 9分 a b 4 (3)由题意: | a ? 1|?| x ? ? 1| 对于 x ? R, x ? 0 恒成立 10 分 x 4 4 当 x ? 0 时, x ? ? 1 ? 2 x ? ? 1 ? 5 ,当 x ? 2 时等号成立 11 分 x x
(2)因为 a, b ? 0 且 a ? b ,所以 a ? b ? 2 ab 且 当 x ? 0 时,则 ? x ? 0 , (? x) ?

4 4 ? 2 (? x) ? ? 4 ,当 x ? ?2 时等号成立,所以 ?x ?x

x?

4 4 ? ?4 ,则 x ? ? 1 ? ?3 x x 4 综上 | x ? ? 1|min ? 3 x 由 | a ? 1|? 3 得 ?4 ? a ? 2 ,即 a 取值范围为 (?4, 2) 。

13 分 14 分


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