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8,多元函数的微分学-习题课_图文

8,多元函数的微分学-习题课_图文

《微积分》A
-理学院工科数学教学中心-

哈 尔 滨 工 程 大 学
微 积 分
- -理 理学 学院 院工工科科数数学学教教学学中中心心--

第八章 多 元 函 数 微 分 学

教学内容和基本要求
理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。 理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念,并掌 握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的 概念,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法 求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,会 解一些简单应用题。

重点与难点
重点:多元函数的概念,偏导数与全微分的概 念,多元复合函数的求导法则,用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题,方向 导数与梯度。
难点:全微分的概念,多元复合函数的求导法则。













第八章 多元函数微分学









习题课

-理学院工科数学教学中心-

主要内容





滨 工

平面点集 和区域

多元函数概念







极限运算

多元函数 的极限



积 分

多元连续函

多元函数

数的性质

连续的概念

-理学院工科数学教学中心-



尔 滨

方向导数





大 学

复合函数 求导法则


积 全微分形式



的不变性

全微分 概念
偏导数 概念

全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则

微分法在 几何上的应用

多元函数
的极值
-理学院工科数学教学中心-

哈 尔

练习1

设 z?x3f(x,yx y),求 ? ?y 2z2,

?2z

?x?y.f( f

二u阶偏x导数连续) v y型

滨 工 程





u?x,yv

?

y x

;

则z?x3f(u,v).

大 学

? ? ??yz?x3f(u,v)?y?

x3

?z ?y

?x3(? ?u f ??u y???fv? ?vy)



?x3(f1??x?f2??1 x)?x4f1??x2f2?.

? ? ? ? ? ? 积


?2z ?y2

?

x4f1??x2f2?

?
y

?x 4f1 ??y?x 2f2 ??y

?x4(?f1)??x2(?f2)?

?y

?y

-理学院工科数学教学中心-



??y2z2 ?x4(??fy1)??x2(??fy2)?

尔 滨 工

? x 4 (? ? f u 1 ?? ? u y ? ? ? f v 1 ?? ? v y )? x 2 (? ? f u 2 ?? ? u y ? ? ? f v 2 ?? ? v y )

程 大 学

? x 4 ( f 1 ? ??x 1 ? f 1 ? ??1 x 2 ) ? x 2 ( f 2 ? ??x 1 ? f 2 ? ??1 x 2 )

? x 5f1 ??? 1 2 x 3f1 ??? 2x f2 ??,2 f1??2? f2??1

微 积 分

?2z ?x?y

?

?2z ?y?x

???x(x4f1??x2f2?)

? ? ? ? (x 4 ) ?f1 ?? x 4 ? ? f x 1 ?? ? ?? ? ? ? (x 2 ) ?f2 ?? x 2 ? ? f x 2 ?? ? ?
-理学院工科数学教学中心-

哈 尔

?2z ?x?y

?

?2z ?y?x

? ? ? ? (x 4 ) ?f1 ?? x 4 ? ? f x 1 ?? ? ?? ? ? ? (x 2 ) ?f2 ?? x 2 ? ? f x 2 ?? ? ?

滨 工 程

? ? ? ?4 x 3f1 ?? x 4[? ? f u 1 ??? ? u x? ? ? f v 1 ??? ? x v]? ? ??





u?x,yv

?

y x

;

???2xf2??x2[? ?fu 2??? ?u x?? ?fv2??? ?x v]???

微 积 分

?? ? ?4x3f1 ??x4[f1 ???1 y?f1 ???2x y 2]? ? ??

???2xf2??x2[f2??1?y?f2??2?xy2]???
-理学院工科数学教学中心-

哈 尔

?? ? ?4x3f1 ??x4[f1 ???1 y?f1 ???2x y 2]? ? ??



工 程 大

???2xf2??x2[f2??1?y?f2??2?xy2]???



? 4 x 3 f 1 ?? x 4 y ?f 1 ??? 1 x 2 y ?f 1 ??? 2 2x f2 ??x 2y?f2 ??? 1y?f2 ??2

微 积

? 4 x 3 f 1 ?? 2 x f 2 ?? x 4 y f 1 ??? 1 y f 2 ??.2



-理学院工科数学教学中心-

练 2 设 f(x,y,z)?x2yz3,其z中 ?z(x,y)由 方 程

哈 尔

x2?y2?z2?5xy?z0确,求 定fx'(1,1,1)



工 解 对方程x2 ? y2 ? z2 ? 5xyz ? 0两边关于x 求导得:


大 学

2x ? 2z ?z ? 5 yz ? 5xy ?z ? 0.

?x

?x



把x ? 1, y ? 1, z ? 1代入上式得:

?z ?x

|(1,1,1)

?

?1.







fx'?

y2z3

? 3xy2z2

?z ?x

,

故 fx'(1,1,1) ? 1? 3?(?1) ? ?2.

-理学院工科数学教学中心-

练 3 设u = f (x, y, z), y=x3, ? (x2, lny, z) = 0 .

哈 尔

求du,其 中 f,?有 连 续 的,偏 x?0导 . 数



dx



程 大

解:



u = f (x, x3, z)
? (x2, 3lnx, z) = 0

易见 z, u均 x 的函数, 方程两边对 x 求导数.

微 积

? ? u ? x ? f 1 ??1 ? 3 x 2 f 2 ?? f 3 ??z ? x



u??x1?? ?2fx1??? ?3 2 ?x ?2 3 xf? 2 ???3 ?2 ?zx?x2? ?x1 ?0 ?? 3 ?得3?2 ?z?x??f3??2x2?x1???3? 3?2?

-理学院工科数学教学中心-

练4
哈 尔

设 ? ? ? v u ? ?g f((u u ? ,x v x ,? v2 y y ))( ,,f,g 偏导 ), 数 ? ? u x 求 ,? ? 连 x v.

滨 解 令 s?u,xt?v?y; ??u ?x , ? ?v2y.


程 大 学

则方程组为 ???vu??gf((?s,,?t)),.



f1?

?

?f ?s

,

f2?

?

?f ?t

,

g1?

?

?g
??

,

g2?

?

?g
??

.





方程组两端对 x 求偏导数:



??u ??x

?

?f ?s

?

?s ?x

?

?f ?t

? ??xt ,

???v ??x

?

?g
??

?

??
?x

?

?g
??

?

??
?x

.

-理学院工科数学教学中心-

方程组两端对 x 求偏导数:

哈 尔 滨 工 程 大 学
微 积

??u ??x

?

?f ?s

?

?s ?x

?

?f ?t

? ??xt ,

???v ??x

?

?g
??

?

??
?x

?

?g
??

?

??
?x

.

????ux? f1??(u?x??ux)?f2?? ??xv, ?????xv ?g1??(??ux?1)?g2? ?2yv??xv.

?s ?x

?

u

?

x

?u ?x

,

?t ?x

?

?v ?x

,

?? ?x

?

?u ?x

? 1,

?? ?x

?

2 yv

?v ?x

.



? ?(xf1??1)???u x?

f2? ? ??xv??uf1?,

? ? ?

g1????u x?(2yg v2 ? ?1)???xv?g1?.

-理学院工科数学教学中心-

哈 在D?xf1 g ?1 ??12yg fv2 2 ???1? ( x f 1 ?? 1 ) 2 y ( g 2 ?? v 1 ) ? f 2 ?g 1 ??0

尔 滨

的条件下,方程组有唯一解。



程 大 学

D1??gu1?f1? 2yg vf22 ???1? ? u f 1 ? ( 2 y g 2 ?? v 1 ) ? f 2 ?g 1 ?,



D2?xf1g?1??1

?uf1? g1?

? g 1 ?(x f1 ?? u f1 ?? 1 ).

积 分

? ? u x?(x ? f1 u ?? f1 ?1 (2 )y 2 (y g 2 ?v g ? 2 ?v 1 ? )1 ? )? f2 ?fg 2 ?1 ?g 1 ?,

? ? x v?(x f1 ?? g 1 1 ?( )x 2 f( 1 y ?? g u 2 ?v f ? 1 ?1 ? )1 ? )f2 ?g 1 ?,
-理学院工科数学教学中心-

练5

求 旋 转 抛 物 z ?面x2 ? y2

哈 尔

与 平 面 x? y?2z ?2之 间 的 最 短 距 离 .

滨 解 设 P(x,y,z)为抛z? 物 x2?面 y2上任 , 一


程 P到平 x?y面 ?2z?2?0的距d,离 则 为




d?1 x?y?2z?2.

6



设 u (x ,y ,z)?1 6 (x?y? 2 z? 2 )2 .





则问题就是在条件 z?x2?y2?0下,

求 u(x,y,z)?1(x?y?2z?2)2的最小值。 6

-理学院工科数学教学中心-

构造函数

哈 尔 滨

? F ( x ,y ,z ) ? 1 6 ( x ? y ? 2 z ? 2 ) 2 ? ( z ? x 2 ? y 2 ),



程 大 学

??Fx? ?

?

1 3

(

x

?

y

?

2z

?

2)

?

2?x

?

0,

(1)





??Fy? ?

?

1(x? 3

y ? 2z ? 2) ? 2?y

?

0,

( 2)

积 分

? ?Fz? ?

?

1 3

(x

?

y

?

2z

?

2)(?2)

?

?

?

0,

( 3)

??z ? x2 ? y2 ? 0,

( 4)

-理学院工科数学教学中心-

哈 尔 滨

由 (1),

(3) 得

x?

1 4

,

由 (2), (3) 得

y

?

1 4

,

代入 (4) 得

z

?

1 8

.

工 程

即得唯一可能的极 (1值 , 1点 , 1),



448



根据题意,距离的最小 值一定存在,

微 积

故必在 (1, 1, 1)处取得最小值.



448

d m? in 1 61 4?1 4?1 4? 2?47 6.
-理学院工科数学教学中心-

练6

已知曲面的方程为 z ? xsinxy ,

哈 尔

证明:曲面上任一 点处的切平面通过某一定点。



工解

设曲面上任一点为 M ( x0, y0, z0 ) .



大 学

zx ???x???xsinxy????sinxy?xycoxys,



zy

???y???xsinxy????

cos

y x

,





曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为

n? {siy 0 n ?y 0co y 0,s co y 0,s ? 1 } x 0 x 0 x 0 x 0
-理学院工科数学教学中心-

n? {six y 0 0 n ? x y 0 0co x y 0 0,s co x y 0 0,s ? 1 }

哈 切平面方程

尔 滨 工

(s x y 0 0 ? i x y 0 0 n cx y 0 0 o )x ? ( s x 0 ) ? cx y 0 0 o ( y ? y s 0 ) ? ( z ? z 0 ) ? 0

程 大 学

(s x y 0 0 ? ix y 0 0 n cx y 0 0 o ) x ? s y cx y 0 0 o ? z ? s ( z 0 ? x 0 sx y i 0 0 ) ? n 0

M ( x0, y0, z0 ) 是曲面上的点,

微 积

因此,z0?x0sinxy00 ?0.

分 切平面方程 (sx y 0 0 i? n x y 0 0co x y 0 0)x s? y co x y 0 0? s z? 0 .

因此,曲面上任一点处的切平面均通过原点 (0, 0, 0)。
-理学院工科数学教学中心-

练 7 某工厂生产两种产品甲与乙,出售单价分别为 10 元与

哈 尔

9 元,生产 x 单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是

滨 工

400 ? 2 x ? 3 y ? 0.01(3 x2 ? xy ? 3 y2 ) 元 , 求 取 得 最



大利润时,两种产品的产量各多少?





解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x 与 y 单位

时所得的总利润.因为总利润等于总收入减去总费用,

积 所以 L( x, y) ? (10x ? 9 y)
分 ? [400 ? 2x ? 3 y ? 0.01(3x2 ? xy ? 3 y2 )]

? 8x ? 6 y ? 0.01(3x2 ? xy ? 3 y2 ) ? 400,
-理学院工科数学教学中心-



由 Lx ( x, y) ? 8 ? 0.01(6x ? y) ? 0 ,

尔 滨

Ly ( x, y) ? 6 ? 0.01( x ? 6 y) ? 0 ,

工 程

得驻点(120,80).

大 学

再由 Lxx ? ?0.06 ? 0, Lxy ? ?0.01, Lyy ? ?0.06 ,

B2 ? AC ? (0.01)2 ? (?0.06)2 ? ?3.5?10?3 ? 0



积 分

所以,当 x ?120与 y ? 80时,L(120,80) ? 320是

极大值.由题意知,生产 120 单位产品甲与 80 单

位产品乙设所得利润最大.

-理学院工科数学教学中心-

练8

某工厂生产两种商品的日产量分别为 x和 y



(单位:件),总成本函数C(x, y) ? 8x2 ? xy ?12y2





(单位:元),商品的限额为 x ? y ? 42,求最小成本.



程 解 约束条件为?( x, y) ? x ? y ? 42 ? 0 .





设拉格朗日函数

F ( x, y) ? 8x2 ? xy ? 12 y2 ? ?( x ? y ? 42) ,


积 求其中对 x,y, ? ,的一阶偏导数,并使之为零,



得方程组

? ? ?

Fx ? 16 Fy ? ? x

x ?

? y ? ? ? 0, 24 y ? ? ? 0,

? ?

F? ? x ? y ? 42 ? 0,

-理学院工科数学教学中心-

哈 尔

解得 x?25件,y ?17 件,



工 程

故惟一驻点(25,17)也是最小值点,



它使成本为最小,最小成本为



C (2,1 5 )? 78 ?22? 52?1 5? 7 1?1 227 ? 80 (元)4 . 3
微 积 分

-理学院工科数学教学中心-

如何购物最满意






工 程

日常生活中,人们常常碰到如何分配定量的钱来



购买两种物品的问题.由于钱数固定,则如果购买



其中一种物品较多,那么势必要少买(甚至不再能买)

另一种物品,这样就不可能很令人满意.如何花费 微

积 给定量的钱,才能达到最满意的效果呢?经济学家



试图借助“效用函数” 来解决这一问题.

-理学院工科数学教学中心-

哈 尔

所谓效用函数,就是描述人们同时购买两

滨 工

种产品各x单位、y单位时满意程度的 量.常见

程 的形式有

大 学

U(x, y)?x?y

(目标函数)

U(x, y)?lnx?lny



积 分

而当效用函数达到最大值时,人们购物

分配的方案最佳.

-理学院工科数学教学中心-

例:

哈 尔

小孙有200元钱,他决定用来购买二种急需

滨 工

物品:计算机磁盘和录音磁带.且设他购买x

程 大

张磁盘,y盒录音磁带的效用函数为



U (x ,y)?ln x?ln y.



积 分

设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何

分配他的200元钱,才能达到最满意的效果?

-理学院工科数学教学中心-



解:这是一个条件极值问题,即求在约束

尔 滨

8x?10y?20之0下的极值点,应用拉格朗日



乘数法,定义拉格朗日函数:



大 学

? ? L ( x ,y ,)? lx n ? ly n ? ( 8 x ? 1 y ? 0 2)00

微 积 分

? ? ?? ? ?

Lx ( x,

y, ? )

?

1 x

?

8?

?

0

L y ( x,

y, ? )

?

1 y

? 10?

?

0

?L? ( x, y, ? ) ? 8x ? 10 y ? 200 ? 0

??

-理学院工科数学教学中心-

哈 尔

解得



x0?1.5 2 y0?10



程 大

(x0, y0)为最大值点.

学 根据 ( x, y)的实际含义,取



x0 ? ?1,2y0 ? ?1,0



即如果买方12张磁盘和10盒磁带的话,小



孙最满意.

-理学院工科数学教学中心-

哈 尔 滨 工 程 大 学
微 积 分
-理学院工科数学教学中心-


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