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2018版高中数学北师大版选修1-1课件:第四章 1.2 函数的极值_图文

2018版高中数学北师大版选修1-1课件:第四章 1.2 函数的极值_图文

第四章 §1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值 学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与 导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数极值的概念 函数y=f(x)的图像如图所示. 思考1 函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系? 答案 函数在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近的其他点的函数值 都小. 思考2 f′(a)为多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律? 答案 f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0. 思考3 函数在x=b点处的情况呢? 答案 函数在点 x = b 的函数值 f(b) 比它在点 x = b 附近其他点的函数值 都 大 , f′(b) = 0 , 且 在 点 x = b 附 近 的 左 侧 f′(x)>0 , 右 侧 f′(x)<0. 梳理 (1)如图 1 ,在包含 x 0 的一个区间 ( a , b ) 内,函数 y = f ( x ) 在任何一点的 函数值都小于或等于 x0 点的函数值,称点 x0 为函数 y= f(x) 的极大值点, 其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)如图2,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值 都大于或等于 x0 点的函数值,称点x0 为函数 y=f(x) 的极小值点,其函数 值f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 知识点二 1.求出导数f′(x). 2.解方程f′(x)=0. 求函数y=f(x)的极值的步骤 3. 对于方程 f′(x) = 0 的每一个解 x0 ,分析 f′(x) 在 x0 左、右两侧的符号 (即f(x)的单调性),确定极值点: (1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”,则x0为极大值点; (2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”,则x0为极小值点; (3)若f′(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点. 题型探究 类型一 判断与求解极值(点) 例1 判断下列函数有无极值,如果有极值,请求出极值;如果无极值, 请说明理由. 1 3 (1)f(x)=3x +4; 解答 1 3 2 (2)f(x)=3x +x +4x. 解答 因为f′(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3>0, 所以函数f(x)在R上为增函数,无极值. 反思与感悟 (1)导数值为0的点不一定是函数的极值点,函数在某点的导数值为0是 取得极值的必要条件,而不是充分条件. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义域,求导数f′(x); ②求f(x)的拐点,即求方程f′(x)=0的根; ③利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变 化情况求极值. 特别提醒:在判断 f′(x) 的符号时,借助图像也可判断 f′(x) 各因式的 符号,还可用特殊值法判断. 跟踪训练1 求下列函数的极值: (1)f(x)=2x3+3x2-12x+1; 解答 3 (2)f(x)=x +3ln x. 解答 3 3 3 3?x-1? 函数 f(x)=x +3ln x 的定义域为(0,+∞),f′(x)=-x2+x = x2 , 令f′(x)=0,得x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - ↘ 1 0 极小值3 (1,+∞) + ↗ 因此当x=1时,f(x)有极小值3,无极大值. 类型二 已知函数极值求参数 例2 2 , 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a=___ 9 b=___. 答案 解析 引申探究 1.本例的其他条件不变,如果直线y=k与函数图像有三个交点,求k的 取值范围. 解答 由例2知f(x)极小值=f(-1)=0, f(x)极大值=f(-3)=4, 由图像可知当0<k<4时, 直线y=k与函数图像有三个交点. 2.若本例的条件改为“x=-3,x=-1是f(x)=x3+3ax2+bx+a2的两个 极值点”,求常数a,b的值. 解答 f′(x)=3x2+6ax+b=0的两根为-3和-1, ?-3+?-1?=-2a, ? 则? b ?-3×?-1?= , 3 ? ? ?a=2, 解得? ? ?b=9. 反思与感悟 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下 两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法 求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定 系数法求解后必须验证根的合理性. 跟踪训练2 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; 2 解答 a 因为 f(x)=aln x+bx +x,所以 f′(x)=x +2bx+1. ?a+2b+1=0, ? 依题意得 f′(1)=f′(2)=0,即?a ? +4b+1=0, ?2 2 1 解方程组得 a=-3,b=-6. (2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解答 2 1 2 由(1)知 f(x)=-3ln x-6x +x(x>0), -?x-1??x-2? 2 1 故 f′(x)=-3x-3x+1= . 3x 当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 5 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值6, 4 2 在 x=2 处函数 f(x)取得极大值3-3ln 2. 所以x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大

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