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广东省梅州市梅县高级中学2014-2015学年高一上学期模块数学试卷(必修1和必修4) Word版含解析

广东省梅州市梅县高级中学2014-2015学年高一上学期模块数学试卷(必修1和必修4) Word版含解析


广东省梅州市梅县高级中学 2014-2015 学年高一上学期模块数学 试卷(必修 1 和必修 4)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)集合 P={x|0≤x<3},M={x|x ≤9},则 P∩M=() A.{x|0<x<3} B.{x|0≤x<3} C.{x|0<x≤3} D.{x|0≤x≤3} 2. (5 分)函数 f(x)= ﹣x 的图象关于()对称. A.y 轴 B. x 轴 C.坐标原点 D.直线 y=x

3. (5 分)在区间(0,1)上单调递减的函数是() A.y= B.y=log2(x+1) C.y=2
x+ 1

D.y=|x﹣1|

4. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是,则函数 A. B. D.

的定义域是() (0,1)

5. (5 分)要得到函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

)的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

6. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)

x

D.(1,2)

7. (5 分)设 a=log A.a<c<b

2,b=log B.a<b<c

,c=( ) ,则() C.b<c<a D.b<a<c 对称; ③在

0.3

8. (5 分) 同时具有性质“①最小正周期是 π, ②图象关于直线 上是增函数”的一个函数是()

A. D.

B.

C.

9. (5 分)已知函数 是() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围

2

B.(﹣1,2)

C. (﹣2,1)

D.

10. (5 分)定义 是坐标原点,则 A.5

* *

=|a|×|b|sinθ,θ 为 等于() B.13



的夹角,已知点 A(﹣3,2) ,点 B(2,3) ,O

C. 0

D.﹣2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分)2log510+log50.25=.

12. (5 分)已知函数

若 f(f(0) )=4a,则实数 a=.

13. (5 分)在 Rt△ ABC 中,C=90°,AC=4,则

?

等于.
2

14. (5 分)已知 f( x)在 R 上是奇函数,且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=.

三、解答题. (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (12 分) (1)已知 tanα=2,计算 的值;

(2)化简:

(3)已知一扇形的圆心角是 72°,半径等于 20cm,求扇形的面积. 16. (12 分)已知 集合 A={x||x﹣a|<4},B={x|x ﹣4x﹣5>0}且 A∪B=R,求实数 a 的取值范 围.
2

17. (14 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) , (ω>0) ,f(x)图象相邻最高点和最低点的横坐 标相差 ,初相为 .

(Ⅰ)求 f(x)的表达式; (Ⅱ)求函数 f(x)在 上的值域.

18. (14 分)已知函数 f(x ﹣1)=logm (1)求 f(x)的解析式并判断 f(x)的奇偶性; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0. 19. (14 分)设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足 f(xy)=f(x)+f (y) , .

2

(1)求 f(1)的值; (2)若存在实数 m,使得 f(m)=2,求 m 的值; (3)如果 f(x)+f(2﹣x)<2,求 x 的取值范围. 20. (14 分)已知向量 k,t 为实数. (Ⅰ)当 k=﹣2 时,求使 (Ⅱ)若 成立的实数 t 值; , , , ,

,求 k 的取值范围.

广东省梅州市梅县高级中学 2014-2015 学年高一上学期模 块数学试卷(必修 1 和必修 4)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)集合 P={x|0≤x<3},M={x|x ≤9},则 P∩M=() A.{x|0<x<3} B.{x|0≤x<3} C.{x|0<x≤3} D.{x|0≤x≤3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合.

分析: 根据集合的基本运算进行求解. 解答: 解:M={x|x ≤9}={x|﹣3≤x≤3}, 则 P∩M={x|0≤x<3}, 故选:B. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.
2

2. (5 分)函数 f(x)= ﹣x 的图象关于()对称. A.y 轴 B. x 轴 C.坐标原点 D.直线 y=x

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数为奇函数,再根据奇函数的性质即可得到答案 解答: 解:因为 f(x)= ﹣x 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 且 f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) , 所以 f(x)为奇函数, 所以函数 f(x)的图象关于坐标原点对称, 故选:C 点评: 本题考查了奇函数的性质,属于基础题 3. (5 分)在区间(0,1)上单调递减的函数是() A.y= 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 题. B.y=log2(x+1) C.y=2
x+1

D.y=|x﹣1|

函数单调性的判断与证明. 计算题;函数的性质及应用. 运用常见函数的单调性,即可得到在区间(0,1)上单调递减的函数. 解:对于 A.函数 y 在 本题考查函数的单调性的判断 ,考查常见函数的单调性,考查判断能力,属于基础

4. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是,则函数 A. B. D.

的定义域是() (0,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 根据 f(2x)中的 2x 和 f(x)中的 x 的取值范围一样得到:0≤2x≤2,又分式中分母 不能是 0,即:x﹣1≠0,解出 x 的取值范围,得到答案. 解答: 解:因为 f(x)的定义域为,所以对 g(x) ,0≤2x≤2 且 x≠1,故 x∈,即为 y=sin(2x ﹣ )的图象.

故选 D.

点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,掌握平移方向与平移单位是关键. 6. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为答案. 解答: 解:因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上, 故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解.

7. (5 分)设 a=log A.a<c<b 考点: 专题: 分析: 解答:

2,b=log B.a<b<c

,c=( ) ,则() C.b<c<a D.b<a<c

0.3

对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 利用对数的性质和运算法则求解. 解:a=log 2<log 1=0,

b=log



=1,

0<c=( ) <( ) =1, ∴a<c<b. 故选:A. 点评: 本题考查对数值大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数 函数的性质的合理运用.

0.3

0

8. (5 分) 同时具有性质“①最小正周期是 π, ②图象关于直线 上是增函数”的一个函数是() A. D. B.

对称; ③在

C.

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 首先此类题目考虑用排除法,根据周期可以排除 A,根据对称性可排除 B,根据对称 轴取最值排除 D.即可得到答案 C 正确. 解答: 解:首先由最小正周期是 π,可以排除 A; 又因为 B 中,当 x∈ ,不是最值,可以排除排除 D; 时,0≤2x+ ≤π,单调递减,所以排除 B;

因此 C 正确. 故选 C. 点评: 此题主要考查函数的周期性,对称轴,单调区间的应用,在三角函数的学习中,对 于三角函数的性质非常重要,要注意记忆和理解,在应用中也极其广泛,值得注意.

9. (5 分)已知函数 () A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围是

2

B.(﹣1,2)

C. (﹣2,1) D.

考点: 函数单调性的性质;其他不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题义知分段函数求值应分段处理,利用函数的单调性求解不等式. 解答: 解: 由 f(x)的解析式可知,f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递增函数,在由 f(2﹣a )>f(a) , 2 得 2﹣a >a 2 即 a +a﹣2<0,解得﹣2< a<1. 故选 C 点评: 此题重点考查了分段函数的求值,还考查了利用函数的单调性求解不等式,同时一 元二次不等式求解也要过关.
2

10. (5 分)定义 是坐标原点,则 A.5

* *

=|a|×|b|sinθ,θ 为 等于() B.13



的夹角,已知点 A(﹣3,2) ,点 B(2,3) ,O

C. 0

D.﹣2

考点: 平面向量数量积的运算;进行简单的合情推理. 专题: 新定义;平面向量及应用. 分析: 运用向量的坐标运算和向量的数量积的定义和坐标表示和向量的模,可得向量的夹 角,再由新定义,计算即可得到所求值. 解答: 解:由点 A(﹣3,2) ,点 B(2,3) ,O 是坐标原点, 则 =(﹣3,2) , =(2,3) ,

| 由

|=

= =| |?|

,|

|=

= , cos<

, >, , >,

|cos< ×

即有﹣3×2+2×3= 即 cos< 由 0≤< 则 sin< 即有 * , , , =|

>=0, >≤π, >=1, |?| |sin< , >

= × 故选 B.

×1=13.

点评: 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示,主要考查新定义 用同角的平方关系是解题的关键. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分)2log510+log50.25=2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题.

*

的理解和运用,运

分析: 根据对数运算法则 nlogab=logab 和 logaM+logaN=loga(MN)进行求解可直接得到答 案. 解答: 解:∵2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 故答案为:2. 点评: 本题主要考查对数的运算法则,解题的关键是对对数运算法则的熟练程度,属于基 础题.

n

12. (5 分)已知函数

若 f(f(0) )=4a,则实数 a=2.

考点: 专题: 分析: 可解. 解答:

函数与方程的综合运用. 计算题. 给出的是分段函数,根据所给变量的范围确定选用具体的解析式,从而得方程,故 解:由题意,f(0)=2 +1=2,
0

∴f(2)=4+2a=4a,∴a=2 故答案为 2. 点评: 本题的考点是函数与方程的综合运用,主要考查分段函数的定义,考查求函数值, 有一定的综合性

13. (5 分)在 Rt△ ABC 中,C=90°,AC=4,则 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 ? =| |?| |?cosA=|

?

等于 16.

|?|

|,由此可得结果.

解答: 解:Rt△ ABC 中,C=90°,AC=4, 则 ? =| |?| |?cosA=| |?| |= =16,

故答案为 16.

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,一个向量在另一个向量上的投影,属于中 档题. 14. (5 分)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x+4)=f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=﹣2. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数周期是 4 且为奇函数易于解决. 解答: 解:因为 f(x+4)=f(x) ,所以 4 为 函数 f(x)的一个周期, 所以 f(7)=f(3)=f(﹣1) , 又 f(x)在 R 上是奇函数, 2 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2×1 =﹣2,即 f(7)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数的奇偶性与周期性的应用,属基础题. 三、解答题. (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (12 分) (1)已知 tanα=2,计算 的值;
2

(2)化简:

(3)已知一扇形的圆心角是 72°,半径等于 20cm,求扇形的面积. 考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)将所求的关系式中的“弦”化“切”,代入计算即可; (2)利用诱导公式化简即可; (3)利用扇形的面积公式 S= lr 计算即可. 解答: 解: (1)∵tanα=2,∴原式= (2)原式= (3)设扇形的弧长为 l,因为 所以 ,所以 = …. (4 分)

=﹣tanα…. (8 分) , …. (12 分)

点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用,考查运用诱导公式化简求值及扇形的面积 公式的应用,属于中档题. 16. (12 分)已知集合 A={x||x﹣a|<4},B={x|x ﹣4x﹣5>0}且 A∪B=R,求实数 a 的取值范 围. 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

并集及其运算. 集合. 先求出集合 A,B,并集的定义,求出 a 的范围 解:A={x||x﹣a|<4}={x|a﹣4<x<a+4}…. (3 分)

B={x|x ﹣4x﹣5>0}={x|x>5 或 x<﹣1}…. (6 分) , 由 A∪B=R 知: ,…. (10 分) ,

解上不等式组得:1<a<3, 故实数 a 的取值范围为{a|1<a<3}…. (12 分) 点评: 本题主要考查了不等式的求解,集合之间并集的基本运算,属于基础试题 17. (14 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) , (ω>0) ,f(x)图象相邻最高点和最低点的横坐 标相差 ,初相为 .

(Ⅰ)求 f(x)的表达式; (Ⅱ)求函数 f(x)在 上的值域.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)依题意,可求得数 f(x)的周期为 π,从而可求得 ω,初相 φ= f(x)的表达式; (Ⅱ)由 x∈,可得 ≤2x+ ≤ ,利用正弦函数的单调性即可求得函数的值域. ,从而可得

解答: 解: (I)依题意函数 f(x)的周期为 π, ∴ω= ∴φ= =2,又初相为 ;…(4 分) ) ,…(6 分) ≤2x+ ≤ ,…(9 分) ,

从而 f(x)=sin(2x+ (II)因为 x∈,所以 ∴﹣ ≤sin(2x+

)≤1; )的值域为…(12 分)

∴函数 f(x)=sin(2x+

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查复合三角函数的单调性 与最值,属于中档题.

18. (14 分)已知函数 f(x ﹣1)=logm (1)求 f(x)的解析式并判断 f(x)的奇偶性; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0. 考点: 函数奇偶性的判断;指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求 f(x)的解析式并判断 f(x)的奇偶 性; (2)利用对数函数的性质即可解不等式 f(x)≥0. 解答: 解: (1)设 x ﹣1=t(t≥﹣1) ,则 x =t+1, ∴ 设 x∈(﹣1,1) ,则﹣x∈(﹣1,1) , ∴ ∴f(x)为奇函数…(6 分) , …(3 分)
2 2

2



(2)由 当 m>1 时, (*)可化为 当 0<m<1 时, (*)可化为

可知 ,化简得: , ,解得:0≤x<1;…(9 分)

此不等式等价于不等式组



解此不等式组得

,∴﹣1<x≤0…(13 分)

∴当 m>1 时,不等式组的解集为{ x|0≤x<1} 当 0<m<1 时,不等式组的解集为{x|﹣1<x≤0}…(14 分) 点评: 本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断,根据对数函数的性质是解 决本题的关键. 19. (14 分)设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足 f(xy)=f(x)+f (y) , .

(1)求 f(1)的值; (2)若存在实数 m,使得 f(m)=2,求 m 的值; (3)如果 f(x)+f(2﹣x)<2,求 x 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 综合题;新定义;转化思想. 分析: (1)对于任意的 x,y∈(0,+∞) ,f(x?y)=f(x)+f(y) ,令 x=y=1,即可求得 f (1)的值; (2)根据题意, ,令 x=y= ,f(xy)=f(x)+f(y)=2;有可求得 m 的值;

(3)f(x)+f(2﹣x)=f,根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式,解不等 式即可求得结果. 解答: 解: (1)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1) ,∴f(1)=0 (2)∵ ∴ ∴m= (3)∴f(x)+f(2﹣x)=f< , ,

又由 y=f(x)是定义在 R 上的减函数,得:

+

解之得:

. 点评: 考查函数的单调性,及根据函数的单调性转化不等 式,求抽象函数的有关命题,常 采用赋值法求解,体现了转化的思想方法,属中档题.

20. (14 分)已知向量 k,t 为实数. (Ⅰ)当 k=﹣2 时,求使 (Ⅱ)若









成立的实数 t 值;

,求 k 的取值范围.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 综合题. 分析: 先求出 , (Ⅰ)利用向量共线的条件建立方程,可求实数 t 值;

(Ⅱ)利用向量垂直的条件建立方程,可得 k 的函数,进而可求 k 的取值范围. 解答: 解:∵ ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) (Ⅰ)当 时, .﹣﹣﹣﹣ , =( ) .﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 化简,得 ∴t=1, 使 (Ⅱ)若 即 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 整理,得 . ,当 k=﹣2 时,即 t +t﹣2=0. 成立. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (6 分) ,则 , . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
3

t≠0 时,

,∴



(12 分)

点评: 本题考查向量知识的运用,考查向量共线、垂直的条件,考查基本不等式的运用, 属于中档题.


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