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解三角形期末复习最新

解三角形期末复习最新

高一下期末复习之解三角形专题
【知识梳理】
(一)正弦定理: (其中 R 表示 )

适用情况: (1)已知两角和一边,求其他边或其他角; (2)已知两边和对角,求其他边或其他角。 变形:① ② ③

(二)余弦定理:

(求边) ,

(求角)

适用情况: (1)已知三边,求角; (2)已知两边和一角,求其他边或其他角。 (三)三角形的面积:① (四)△ABC 射影定理: (五)三角边角关系: (1)在 ? ABC 中, A ? B ? C ? ;② ,… ;

? ; sin( A ? B) ?
; sin

; cos( A ? B) ?

cos

A? B ? 2

A? B C ? cos 2 2

(2)边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)大边对大角: a ? b ? A ? B (六)三角形形状判别 (1)角判别:

(2)边判别:

1

【考点剖析】
一、正余弦定理混合使用
例1、 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 cos A ?

c ? ______

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 5 13

例2、 (

已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则
o

) B.4+ 2 3 C.4— 2 3 D. 6 ? 2

A.2

例3、

ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B .
0

(I)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .

例4、

在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C, b ? 4, a ? c ? 8 ,求 a、c 的长.

2

变式 1、在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a , b, c ,已知 b 2 ? ac, 且a 2 ? c 2 ? ac ? bc , (1)求∠A的大小; (2)求

b sin B 的值 c

变式 2、在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值 , cos B ? 3 6

、 c, 且 变 式 3 、 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b

sin A?

5 10 , sB in ? 5 10
(II)若 a ? b ?

(I)求 A ? B 的值;

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

3

二、正余弦定理在向量与面积上的运用
例5、 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大?

2 2 变式 4、△ABC 中的三 a , b, c 和面积S满足S= c ? (a ? b) ,且 a ? b ? 2 ,求面积S的最大值。

例6、

在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,4 sin 2 (2)求△ABC 的面积.

A? B 7 ? cos 2C ? , a ? b ? 5, c ? 7 . 2 2

(1)求角 C 的大小;

4

变式 5、已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形AB CD的面积

例7、 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

变式 6、已知向量 m ? (a ? c, b) , n ? (a ? c, b ? a) ,且 m ? n ? 0 ,其中 A, B, C 是△ABC 的内角,

a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边.
(1) 求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围.

5

三、三角形形状的判断
例8、 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为 12,最 小角的正弦值为

1 。 3

(1) 判断△ABC 的形状; (2) 求△ABC 的面积。

变式 7、在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断△ABC 的形状; (2)在上述△ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围。

例9、

在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断△ABC 的形状。
2

B a+c 变式 8、在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

6

变式9、△ABC中,若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状。

四、实际应用:求角度、求距离、求高度
例10、 有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 A. 1 公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里

例11、 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D ,测得 ?BCD ? 75 ,
?

?BDC ? 60? , CD ? 60 米,并在点 C 测得塔顶 A 的
仰角为 60 ,则塔高 AB =
?





7

课后专练
1. 在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于 A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 ( ) D. 1: 3 : 2 ) D. 5 <x<5 C. 2 : 3 :1

2.

已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是 ( A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5

C.2<x< 5

3.

在 ?ABC 中, ?A ? 60 , a ? A. 无解

6 , b ? 3 ,则 ?ABC 解的情况 (
C. 有两解

) D. 不能确定

B. 有一解

4.

在△ ABC 中,A 为锐角,lgb+lg( A. 等腰三角形

1 )=lgsinA=-lg 2 , 则△ ABC 为( c
C. 直角三角形

) D. 等腰直角三角形

B. 等边三角形

5.

π 在△ABC 中,B= ,AB=8,BC=5,则△ABC 外接圆的面积为( 3 49π A. 3 B.16π 47 C. π 3 D.15π

)

6.

在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A 与 B 的大小关系为( A.A>B C.A≥B B.A<B

)

D.A,B 的大小关系不能确 定

7.

3 3 在△ABC 中,角 A,B 满足 sin A=sin B,则三边 a,b,c 必满足( 2 2 A.a=b B.a=b=c C.a+b=2[来源:学*科*网] D.(a-b)(a2+b2-ab-c2)=0

)

8.

在△ABC 中,已知△ABC 的面积为 S=a2-(b-c)2,则有( A.sinA-4cosA=4 C.cosA-4sinA=4

)

B.sinA+4cosA=4 D.cosA+4sinA=4

8

9.

a+b+c 在△ABC 中,A=60° ,b=1,△ABC 的面积为 3,则 =________. sinA+sinB+sinC

10.

→ → → → 在△ABC 中,OA=(2c osα,2sinα),OB=(5cosβ,5sinβ),若OA· OB=-5,则 S△OAB=________.

11.

在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |=____

__;

12. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (I)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

13.

π 在△ABC 中,已知内角 A= ,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长为 y. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

9

14.

已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3;求 b,c.

10


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