9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用讲义 新人教A_图文

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用讲义 新人教A_图文

章 圆与方程

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用

[学习目标] 1.了解圆与圆的位置关系. 2.理解圆 与圆位置关系的判定方法,能根据给定圆的方程,判断圆 与圆的位置关系(重点). 3.了解直线与圆的方程的应用, 坐标法的应用;能用直线和圆的方程解决实际问题及有关 平面几何问题和其他综合问题(难点).

1.圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系,分别是外离、外切、相交、 内切、内含.

2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1、r2,两圆的圆心 距为 d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

图示

d 与 r1、r2 的关系

d>r1+r2

d= r1+r2

|r1-r2|<d d= 0≤d< <r1+r2 |r1-r2| |r1-r2|

(2)代数法 联立两圆的方程组成方程组.则方程组解的个数与 两圆的位置关系如下:

方程组解的个数 2 组 1 组

0组

两圆的公共点个数 2 个 1 个

0个

两圆的位置关系 相交 内切或外切 内含或外离

温馨提示 利用代数法判断两圆的位置关系时,注意 条件的不等价性,即两圆外离 Δ<0,应是两圆外离?Δ <0,Δ<0?两圆外离或内含.同理,两圆外切或内切? Δ=0,两圆相交?Δ>0.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 两 圆 方 程 联 立 , 若 方 程 组 有 两 个 解 , 则 两 圆 相 交.( ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之 也成立.( ) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( )

解析:(1)由两圆相交的概念知(1)正确. (2)两个圆没有公共点,可能外离也可能内含,故(2) 不正确. (3)两圆只有一个公共点,两圆可能外切也可能内切, 故(3)不正确. (4)由两圆的位置关系知(4)正确. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√

2.设 r>0,两圆(x-1)2+(y+3)2=r2 与 x2+y2=16

的位置关系不可能是( )

A.相切

B.相交

C.内切和内含

D.外切和外离

解析:由题意得两圆圆心距为 10,又圆 x2+y2=16

的半径为 4,r>0,所以 4+r> 10,所以不可能外切和外

离.

答案:D

3.两圆 x2+y2=r2,(x-3)2+(y+1)2=r2 外切,则正

实数 r 的值是( )

A. 10 C. 5

10 B. 2 D.5

解析:圆心距为 10,由相外切得:r+r= 10,所

以 r= 210.

答案:B

4.已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交 于 A,B 两点,则直线 AB 的方程是__________________.
解析:圆的方程(x-1)2+(y-3)2=20 可化为 x2+y2 -2x-6y=10,又 x2+y2=10,
两式相减得 2x+6y=0,即 x+3y=0. 答案:x+3y=0

5.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公 共弦长为 2 3,则 a=________.
解析:将两圆的方程相减得相交弦所在直线的方程 为 y=1a,圆心(0,0)到直线 y=1a的距离为 d=1a=
22-( 3)2=1,所以 a=1. 答案:1

类型 1 判断两圆的位置关系(自主研析) [典例 1] 已知圆 C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0, 圆 C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0),试求 a 为何值时, 两圆 C1,C2 分别满足下列结论: ①相切;②相交;③外离;④内含.

[自主解答] 对圆 C1,C2 的方程,经配方后可得: C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心 C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, 所以|C1C2|= (a-2a)2+(1-1)2=a. ①当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切.

②当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交. ③当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆外离. ④当|C1C2|<3,即 0<a<3 时,两圆内含.

归纳提升 1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参 数的取值范围有以下几个步骤: (1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径; (2)计算两圆圆心的距离 d; (3)通过 d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置 关系或求参数的范围,必要时可借助于图形,数形结合. 2.应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的 范围时,要理清圆心距与两圆半径的关系.

[变式训练] 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5 =0,圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m 为何值时:
(1)圆 C1 与圆 C2 相外切? (2)圆 C1 与圆 C2 内含? 解:对于圆 C1,圆 C2 的方程,经配方后
C1:(x-m)2+(y+2)2=9,
C2:(x+1)2+(y-m)2=4.

(1)如果 C1 与 C2 外切,则有 (m+1)2+(m+2)2=3+2,
所以 m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 2. (2)如果 C1 与 C2 内含,则有
(m+1)2+(m+2)2<3-2, (m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,

得-2<m<-1, 所以当 m=-5 时,或 m=2 时,C1 与 C2 外切;当 -2<m<-1 时,C1 与 C2 内含.

类型 2 与两圆相交有关的问题

[典例 2] 已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2: x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.

解:设两圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 则有

??x2+y2+2x-6y+1=0,



?

??x2+y2-4x+2y-11=0.



由①-②,得 3x-4y+6=0. 因为 A,B 两点坐标都满足此方程, 所以 3x-4y+6=0 为两圆公共弦所在直线的方 程.易知圆 C1 的圆心坐标为(-1,3),半径 r=3, 则圆心 C1 到公共弦的距离为: 所以|AB|=2 r2-d2=2 32-???95???2=254,

即两圆的公共弦长为254,公共弦所在的直线方程为 3x-4y+6=0.

归纳升华 1.圆系方程. 一般地,过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆的方程可设为:x2+y2 +D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1), 然后再由其他条件求出 λ,即可得圆的方程.

2.两圆相交时,公共弦所在的直线方程. 若圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2 +D2x+E2y+F2=0 相交,则两圆公共弦所在直线的方程 为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.

3.公共弦长的求法. (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利 用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的 半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理 求解.

[变式训练] 求圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2- 2x-2y+1=0 的公共弦所在直线被圆 C3:(x-1)2+(y- 1)2=245所截得的弦长.
解:由题意将两圆的方程相减,可得圆 C1 和圆 C2 公

共弦所在的直线 l 的方程为 x+y-1=0.圆 C3 的圆心为(1,

1),其到直线

l

的距离为

|1×1+1×1-1|

d=



12+12

22,

由条件知,r2-d2=245-12=243, 所以弦长为 2× 223= 23.

类型 3 与两圆相切的有关问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)求半径为 4,与圆 x2+ y2-4x-2y-4=0 相切,且和直线 y=0 相切的圆的方程. [审题指导]设出圆的方程→根据两圆内切或外切列 等式→根据和直线 y=0 相切求圆心横坐标→得出结论.

[规范解答]由题意,设所求圆 C 的方程为(x-a)2+(y -b)2=16.因为圆 C 与直线 y=0 相切,且半径为 4,故 b =±4,所以圆心坐标为 C(a,4)或 C(a,-4).又已知圆 的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9,其圆心坐标为 A(2, 1),半径为 3,若两圆相切,则|CA|=4+3=7 或|CA|=4 -3=1.(4 分)

失分警示:若只考虑外切|CA|=4+3=7,遗漏了|CA| =4-3=1 的情况,将失去内切一种情况,扣除 1 分.
(1)当取 C(a,4)时, 失分警示:求解中只考虑 C(a,4),即只考虑圆在 x 轴上方的情况而导致出错,将扣去 3 分. (a-2)2+(4-1)2=72 或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),

故 a=2±2 10,此时圆的方程为(x-2-2 10)2+(y -4)2=16 或(x-2+2 10)2+(y-4)2=16.(7 分)
(2)当取 C(a,-4)时, 失分警示:求解中只考虑 C(a,-4),即只考虑圆在 x 轴下方的情况而导致出错,将扣去 3 分.

(a-2)2+(-4-1)2=72 或(a-2)2+(-4-1)2=12(无 解),故 a=2±2 6,此时圆的方程为(x-2-2 6)2+(y+ 4)2=16 或(x-2+2 6)2+(y+4)2=16.(10 分)
综上,所求圆的方程为(x-2-2 10)2+(y-4)2=16, (x-2+2 10)2+(y-4)2=16,(x-2-2 6)2+(y+4)2=16 或(x-2+2 6)2+(y+4)2=16.(12 分)
失分警示:若缺少总结将扣除2分.

归纳升华 处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性:即必须准确把握是内切还是外切,若只是 告诉相切,则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论;
(2)转化:即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距 等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外 切时)的问题.

[变式训练] 已知以 C(4,-3)为圆心的圆与圆 O: x2+y2=1 相切,则圆 C 的方程是__________________.
解析:若圆 C 与圆 O 外切,则 rC+1=5,所以 rC= 4.若圆 C 与圆 O 内切,因为点 C 在圆 O 外,所以 rC-1 =5,所以 rC=6.所以圆 C 方程是(x-4)2+(y+3)2=16 或 (x-4)2+(y+3)2=36.
答案:(x-4)2+(y+3)2=16 或(x-4)2+(y+3)2=36


推荐相关:

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....ppt

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 新人教A版必_水产渔业_农林牧渔_专业资料。第四章 圆与方程 ...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 ....doc

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆_数学_高中教育_教育专区。4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....doc

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用检测 新人教A_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。给哥哥发 发发飒 ...


...2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、....doc

【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用_其它课程_高中教育_教育专区。推荐精选 K12 资料 ...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....ppt

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用讲义 新人教A_数学_高中教育_教育专区。章 圆与方程 4.2 直线...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....ppt

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用优质新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第四章 圆与方程 4.2 ...


...2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、....doc

精品学习2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直_数学_高中教育_教育专区。学习 K12 教育 word 版本 4.2.3 直线与圆的...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....doc

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的_数学_高中教育_教育专区。4.2.1 直线与圆的位置关系 A 级 基础巩固 一...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 ....doc

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用练习 新人教A_六年级语文_语文_小学教育_教育专区。爱爱爱大 ...


...2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.....doc

【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用_其它课程_高中教育_教育专区。推荐精选 K12 资料 ...


2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位....doc

2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用检测新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。。。 4.2.3 直线与圆的...


2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置....doc

2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程_高三数学_数学_高中教育_教育专区。4.2.3 直线与圆的方程的应用 [A 级 ...


精品学习2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2....doc

精品学习2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。学习 K12 教育 word 版本 4.2.2 圆与圆的位置...


2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆....doc

2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2....


2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....doc

2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用检测 新人教A_数学_高中教育_教育专区。4.2.3 直线与圆的方程...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....ppt

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 新人教A版必修2_水产渔业_农林牧渔_专业资料。第四章 圆与方程...


...四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的....doc

2017_2018学年高中数学第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用_数学_高中教育_教育专区。4.2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与...


2017-2018学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....doc

2017-2018学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.2-4.2.3_数学_高中教育_教育专区。4.2.2-4.2.3 直线与圆的方程的应用 [课时作业] [...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....doc

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系检测 新人教A版_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。给哥哥发 发发飒 ...


2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆....doc

2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系检测 新人教A版_初三语文_语文_初中教育_教育专区。规划很好 卡卡...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com