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2019年-数值分析-课件-第07章非线性方程求根-PPT精选文档_图文

2019年-数值分析-课件-第07章非线性方程求根-PPT精选文档_图文

数 值 分 析
Numerical Analysis
机械与汽车工程学院
主讲人:孔胜利
kongslspu.edu

2019-09-01
数值分析
7.1

Numerical Analysis

第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法

§弦截法与抛物线法

数值分析

7.2

Numerical Analysis

7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题: 根的存在性 方程有没有根?有的话,有几个?

根的隔离

求出几个互不相交的区间,使每个区间中只有一个根。

根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上,逐步将根精确化, 直到满足预先要求的精度为止。

基本方法: 分析法

搜索法
二分法

数值分析

7.3

Numerical Analysis

求根的基本问题及分析方法
1、分析法 ?利用连续函数的性质,函数的增减性、极值等性质判定根的范围。

a )f ( b )?0 ,则a, b间至少有一个实根。 ?特别是当 f(x) 连续,且 f (
这点在判定根的范围中很重要。

?对于n次多项式方程至多有n个实根。 ?有时可以辅以图像来更直观地观察分析问题。

数值分析

7.4

Numerical Analysis

求根的基本问题及分析方法
3 2 例 对 fx () ? x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 之根进行隔离。



2 l i m fx ? ? ? , l i m fx ? ? ? ? ?? ?? f x ? 3 x ? 1 2 x ?? 90 ?? 显然,x ,由 ? ? ? x ? ? ?

1 ,x 得驻点 x 。 1? 2 ?3 ? ? ? ? 1 ? ? 6 ? 0 ,f 3 ? 6 ? 0 ? ? ?? 因 f
1 ? 30 ? ,f 3 ? ? 10 ?分别 ?? ?? 故 f

为 极大值和极小值。
? ? , 1 ,1 , 3 ,3 , ? ? ?? ?? ?内各有一个实根。 从而 ?

由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。 又显然有 f 0 ? ? 1 ? 0 ,f 4 ? 30 ? ?? ?? 因而,三个根的更好的隔离区间为
数值分析
7.5

y = f (x) 的草图

0 , 1, 1 ,3, 3 ,4 ? ?? ?? ?
Numerical Analysis

求根的基本问题及分析方法
2、搜索法 如果我们判定方程 f (x) =0 的某一个根的大致范围,则可用搜索法加以 缩小,使根进一步精确化。

)f ( b )?0 ,则可判定 x? ??a,b? 。 Cab 设 f ?x ?? ? , ? ,且 f (a
不妨设 x 0 ? a ,且 f ? x0 ? ? 0 。我们从左端开始,按预先选定的步长h ,一步一步地向右边走,每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
? x ? ?x x ? 0 , f x ? 0 ? ? ? 如果 f? ,则表明根 i? 1, x i? 。 i ? 1 i

如果精度不够,可将 ? xi ?1 , xi ?看成 [a, b]再次进行搜索,并从左端点开始 向右搜索,直到满足精度为止。 在具体实施中,步长的选择是个关键,步长较小时精度高,但搜索次数 增加。
数值分析
7.6

Numerical Analysis

求根的基本问题及分析方法
例题
3 试求方程 f? 的唯一正根,要求误差 x ? x ? 2 x ?? 50 ?

不超过0.1。

解 从 x = 0 开始,取步长 h = 1, 则有

f ( 0 ) ? 0 ,( f 1 ) ? 0 ,( f 2 ) ? 0 ,( f 3 ) ? 0
故根 x? ??2, 3?。
? ?2,2.2? 再去 h = 0.2,因 f ?2.2? ? 0 ,故根 x ?

? 从而取近似根为2.1,即 x ? 2.1 即可满足精度要求。

注意: 搜索法的实施是很灵活的,哪怕没有给出根的存在范围,也

可进行搜索。
数值分析
7.7

Numerical Analysis

求根的基本问题及分析方法
3、二分法 把搜索的步长取为含有根区间 [a, b] 的1/2,便得到二分法。
3 f x ? x ? 2 x ?? 50 ? ? 例题 用二分法将 在(2, 3)内的根精确到小

数点后第二位。 解
k 0 1 ak 2 2 bk 3 2.5 xk 2.5 2.25 f(xk)的符号 + +

2
3 4 5 6 7
数值分析

2
2 2.0625 2.09375 2.09375 2.09375

2.25
2.125 2.125 2.125 2.109375 2.1015625
7.8

2.215
2.0625 2.09375 2.109375 2.1015625 2.09765625

+
+ +
Numerical Analysis

7.2 迭代法
求解方程 f ? x ? ? 0 的问题,可将方程变形写成 x ? ? ? x ? 的形式。 显然,前者的根 x*, f x* ?0 必满足后者,即 x ?? x
*

亦然。这表明:求方程 f ? x ? ? 0 的根,可转化为求方程 x ? ? ? x ?
的根。 为此,可选定某个初值 x 0 ,按迭代格式

? ?

? ? 。反之
*

x ? x ,n ? 0 , 1 , 2 , ?? n ? 1 n

?

* ? ?
*

进行迭代运算。

* * (*)称为求方程之根的迭代格式。在 x ??? x ? 中,称 x 为

函数 ? ? x ? 的一个不动点。 的不动点。
数值分析

从而,求方程之根,即求函数 f ? x ? 的零点,又等价于求迭代函数? ? x ?

7.9

Numerical Analysis

例题1 似根。

2 求方程 9 在0.4附近的有五位有效数字的近 x ? s i n x ?? 10



将方程变形为

1 x ? 1? sin x 3
1 x 1?sinx n? 1? n 3

则迭代格式为

取初始值为0.4,可算得各次近似根为

x0 ?0.4 x 1 ?0.3929
数值分析
7.10

x4 ?0.391848 x 5 ?0.391847
Numerical Analysis

x 3 ?0.391865 x 6 ?0.391847

收敛迭代格式的建立

例题


3 x x ??? x10 ?? 求方程 f? 在1.5附近的近似值。

将方程变为 x ? ? ? x ? ,建立迭代格式
3x? x ? ,n ? 0 , 1 ,2 , n ? 1 n 1
3 x ? x ? 1 ,n ? 0 , 1 , 2 , n ? 1 n

前者是收敛的,后者是发散的。

后者与前者的最大不同点在于后者的导数 ? ? ? x ? ? 1 ,而前者的
??? x? ? 1 。

这表明:迭代格式的收敛性,与迭代函数的导数 ? ? ? x ? 的大小有关。
数值分析
7.11

Numerical Analysis

定理
1 C ,? ?x ?? ?ab 设迭代函数 ? ,且满足

, ? (1)任给 x ? ? a, b ? ,总有 ??x?? ?ab
? qx , ? a , b ?x ?? ? ? (2)存在正数q <1,使 ?

? ? ? 则对于任意初值 x0 ??a,b? ,当 x 时,迭代格式
x ? ? x , n ? 0 , 1 , 2 , ? ? n ? 1 n
所得的数列 ? x n ? 收敛于[a, b]内唯一的实根
?

x

?

,并有估计式

注意:定理中在函数的整个定义区间上满足 ???x? ?q ?1 的条件是

q x? x x x n ? n? n ? 1 1 ? q

相当苛刻的,实际应用中局部收敛即可。
数值分析
7.12

Numerical Analysis

例题

3 x ? x ? 2 x ?? 50 ? 求方程 f? 的一个正根,精度为10-3。

x? ?2 .0 9 5

迭代格式的收敛速度

迭代加速公式

数值分析

7.13

Numerical Analysis

7.3 Newton法
Newton迭代法的基本思想

将曲线的问题转化为直线来解决,即将非线性方程转化为线性方程来 求解。

Newton迭代格式

f ? xn ? xn?1 ? xn ? f ?? xn ?
由于它是基于切线方程而得到的,因而也叫切线法。

数值分析

7.14

Numerical Analysis

例题

用Newton法求方程 x?e
? x

?x

?0在0.5附近的根。
? x



? ? x ? e ,f x ? 1 ? e,故迭代格式为 因为 fx ? ? ? ?
?x n x ? e n x ? x ? n ? 1 n 1?exn

取初值 x 0 ? 0.5 ,经迭代演算,得到前四次的近似根为

x1 ? 0 .5 7 1 0 2 x 2 ? 0 .5 6 7 1 6 x 3 ? 0 .5 6 7 1 4 x 4 ? 0 .5 6 7 1 4
数值分析
7.15

Numerical Analysis

Newton法的应用

对于给定的正数C,应用Newton法解二次方程
因为 f ?? x? ? 2x

x2 ?C ? 0

故得求 C 的近似值的迭代格式
2 ? ? x C 1 C n? x x ? ?x n ? 1? n? n? ? 2 x 2 x n n? ?

例题 计算

115

解 凡是迭代算法,初值的选取都会影响到收敛速度。 取 x 0 ? 1 1 ,利用上面的迭代格式计算4次的结果为

x ? 1 0 . 7 2 6 8 ; x ? 1 0 . 7 2 3 7 ; x ? x ? 1 0 . 7 2 3 8 1 2 3 4
数值分析
7.16

Numerical Analysis

3 习题 应用牛顿法于方程 x ? a ? 0 ,导出求立方根 3 a 的迭代公式。

数值分析

7.17

Numerical Analysis

简化Newton法

迭代公式为

f ?xk ? xk?1 ? xk ? f ??x0 ?
Newton下山法 迭代公式为

f? x ? k x ? x ? k ? 0 , 1 , ? k ? 1 k? f? x ? ? k
数值分析
7.18

?
Numerical Analysis

7.4 弦割法与抛物线法
Newton法具有收敛快的优点,但也有要计算导数 f ? ? x ? 的缺点,这对

求导比较麻烦的函数,牛顿迭代格式用起来是不方便的。

, fx 和 x , fx ? ? ?? 为避开计算导数,取2个初值点 x 0 和 x 1 ,过 x 0 0 1 1
作割线,则得到割线的斜率为

?

??

?

f ?xn ? ? f ?xn?1? 一般地,用割线的斜率代替牛顿法中切线的斜率,即用 xn ?xn?1
则得新的迭代格式

f ? x1 ? ? f ? x0 ? x1 ? x0

f x ? ? x n x ? x ? ? x ? ?n ? ?? n ? 1 n n ? 1 f x ? f x ? ? ? ? n n ? 1
用(*)式求近似根称为双点弦割法。
数值分析
7.19

Numerical Analysis

在用双点弦割法中计算 n

?1

次近似值

x n?1

时,要用到前面两点

x n , x n ?1
凡是计算

的信息,公式启动时要提供两个初值。

单步迭代法和多步迭代法

n ?1

次近似只用到前面一点 x

n

的信息的迭代法称为单步

迭代法,而要用到前面两点或两点以上的信息的迭代法则称为多步迭 代法。

x ,f? x , f ?x ? 有时为了简化双步迭代法, 可用固定的点 x ? n ? 1 n ? 1 0 0? 代替 ?
得迭代格式 如下所示,称为单点弦割法

?

?

f? x ? n x ? x ? x ? x ? ? n ? 1 n n 0 f? x ? f? x ? ? n 0
数值分析
7.20

Numerical Analysis

3 x ? x ? 3 x ?? 10 习题 用双点弦割法计算 f? 在 x 0 ? 2附近的根。根 ?

? 1 . 8 7 9 3 8 5 2 4 要求计算结果有四位有效数字。计算时 的精确值 x?

2 ,x 1 .9 。 取x 0? 1?

数值分析

7.21

Numerical Analysis

抛物线法

设已知方程 f ? x ? ? 0的三个近似根 x ,我们以这三点为节点 k, x k? 1, x k? 2
构造二次插值多项式 p 2 ? x ? ,并适当选取 p 2 ? x ? 的一个零点 x k ? 1 抛物线 y ? p2 ? x? 与x轴的交点 x k ? 1 作为所求根的近似值。 作为新的近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线法。基本思想是用

数值分析

7.22

Numerical Analysis

插值多项式

px ? f? x ? f? xx ,k x ? x ?? ? ? ? ? 2 k k ? 1 k ? f xx ,k , x x ? x x ? x ? ? ? ? ? ? k ? 1 k ? 2 k k ? 1
有两个零点:

x ? x ? k ? 1 k ?? ?2 ? 4 f x f xx ,k , x ? ? ? ? k k ? 1 k ? 2
式中

2 f x ? ? k

? ? f x , x ? f x , x , xx ? x ? ? ? ?? ?
k k ? 1 k k ?? 1 k 2k k ? 1

注意:根式前正负号的取舍是根式前的符号与
数值分析
7.23

?

的符号相同即可。
Numerical Analysis

习题

数值分析

7.24

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.25

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.26

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习题

数值分析

7.27

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习题

数值分析

7.28

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.29

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.30

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.31

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.32

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.33

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.34

Numerical Analysis

习题

数值分析

7.35

Numerical Analysis

习题

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7.36

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习题

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7.37

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习题

数值分析

7.38

Numerical Analysis


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