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2015年高三数学一模汇编——函数【学生版】

2015年高三数学一模汇编——函数【学生版】

2015 年高三一模汇编——函数
一、填空题

? 3 4?8 x ? ? ? 2 1.(2015 奉贤一模理 12 文 12)定义函数 f ( x) ? ? ? 1 f ( x) ? ? 2 2
有零点的和为 . 2.(2015 黄浦一模理 2)函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 x2 ?1 3.(2015 黄浦一模理 6) 若函数 f ( x) ? 2
x 2 ? ax ?1?3 a

1? x ? 2 x?2

,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 ?1,8?内的所



是定义域为 R 的偶函数, 则函数 f ( x) 的单调递减区间是



4.(2015 黄浦一模理 11)已知 m、n、?、? ? R,m ? n, ? ? ? ,若 ?、? 是函数 f ( x) ? 2( x ? m)( x ? n) ? 7 的零点, 则 m、n、?、? 四个数按从小到大的顺序是 . (用符号 连接起来) . “?”

5. (2015 黄浦一模文 13) 已知 x ? R , 定义:A( x ) 表示不小于 x 的最小整数. 如 A( 3) ? 2, A( ?0.4) ? 0, A( ?1.1) ? ?1 . 若 A(2 x ? 1) ? 3 ,则实数 x 的取值范围是 .

6. (2015 黄浦一模理 13) 已知 x ? R , 定义:A( x ) 表示不小于 x 的最小整数. 如 A( 3) ? 2, A( ?0.4) ? 0, A( ?1.1) ? ?1 . 若 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则正实数 x 的取值范围是 7.(2015 嘉定一模理 2 文 2)函数 y ? lg( x ? 1) ? .

1 的定义域是________________. 2? x

8. (2015 嘉定一模理 13 文 13) 若函数 f ( x) 满足: ① 在定义域 D 内是单调函数; ② 存在 [ a , b] ? D( a ? b ) , 使 f ( x) 在 [ a , b] 上的值域为 [ ?b , ? a ] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数.现有 f ( x) ? 1 ? x ? k 是对称函数,则实数 k 的取 值范围是_______________. 9.(2015 静安一模理 7)已知 f ( x) ? x x ? 1 ? 1 , f (2 x ) ?

5 (其中 x ? 0) ,则 x ? 4 y?2 的取值范围是 x

. . .

10.(2015 静安一模理 12 文 13)已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1 ,则 11.(2015 浦东一模理 8 文 8)已知 y ? f
?1

( x) 是函数 f ( x) ? x 3 ? a 的反函数,且 f ?1 (2) ? 1 ,则实数 a ?

12.(2015 浦东一模理 10 文 10)定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) ,在 [0,??) 上单调递增,则不等式 f ( 2 x ? 1) ? f (3) 的 解是 .

13.(2015 普陀一模文 3)若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? 14.(2015 普陀一模理 3)若 x ? 1 ,则函数 y ?

1 的最小值为 x ?1

.

x2 ? x ? 1 的最小值为 x ?1
1

.

15.(2015 普陀一模文 8)函数 f ( x) ? 1 ?

x ? 1 ( x ? 2 )的反函数是

.

16.(2015 普陀一模理 8)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ( x ? 0 )的反函数是
2

.

17.(2015 普陀一模文 13)设 a 为大于 1 的常数,函数 f ( x) ? ? 有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是 .

?log a x x ? 0
x ?a x ? 0

,若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? f ( x) ? 0 恰
2

18.(2015 普陀一模理 13)设 a 为大于 1 的常数,函数 f ( x) ? ? 有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是

?log a x x ? 0
x ?1 x?0 ?a

,若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? f ( x) ? 0 恰
2

.

19.(2015 青浦一模理 7 文 7)函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f 函数 y ? f
?1

?1

? x ? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像过点 ? 2, ?2 ? ,那么

? ?2 x ? ? 1 的图像一定过点

.

20. (2015 青浦一模理 8 文 8) 已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) , 且当 x ≥ 0 时,f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 . 若 f ( x) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 .

21.(2015 青浦一模理 13 文 13)设函数 ,则称函数 .

在 为

上有定义,对于任意给定正数

,定义函数 , ,则

的“孪生函数” ,若给定函数

22.(2015 青浦一模理 14 文 14)当 x 和 y 取遍所有实数时, f ( x, y ) ? ( x ? 5 ? cos y ) ? ( x ? sin y ) ? m 恒成立,则
2 2

m 的最小值为

.

23.(2015 松江一模理 2 文 2)已知 f ( x) ? log a x( a ? 0, a ? 1) ,且 f

?1

(?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x) ?



24.(2015 松江一模理 12 文 12)某同学为研究函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ?
2

2

? 0 ? x ? 1? 的性质,构造了如图所

示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP ? x ,则 f ? x ? ? AP ? PF .此 时 f max ( x) ? f min ( x) = .

2

25.(2015 松江一模理 13 文 13)设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当

?1? x ? ?? 2,0? 时, f ( x) ? ? ? ? 1 .若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? 恰有 3 个不同的零点, ?2?
则 a 的取值范围是 .

x

2 26.(2015 杨浦一模理 5 文 5)函数 f ?x ? ? x ? 1?x ? 0? 的反函数 f

?1

?x ? ?



27.(2015 杨浦一模文 14) 如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两点 A, B 和函数 y ? log 2 x 上的点 C,线段 AC 平行于 y 轴,三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为

? p, q ? ,则实数 p 的值为________.

28.(2015 杨浦一模理 14)如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两点 A、 B 和函数 y ? log 2 x 上的点 C,线段 AC 平行于 y 轴,三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为

? p, q ? ,则

p 2 ? 2q 的值为________.

29.(2015 闸北一模文 2)若 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? log2 (2 ? x) ,则 f ( 2) ?



30.(2015 闸北一模理 2)若 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f ( 2) ?

.

31.(2015 闸北一模文 3)设动点 P 在函数 y ?

2 图像上,若 O 为坐标原点,则 PO 的最小值为________. x x?2 ( x ? 0) 图像上,则 PA 的最小值为 x


32.(2015 闸北一模理 3)设定点 A(0,1) ,若动点 P 在函数 y ?

33.(2015 闸北一模文 7)设函数 f ( x ) ? 2 sin(?x ) ,若存在 x 0 ? R ,使得对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x 0 ) 成立.则 关于 m 的不等式 m ? m ? f ( x 0 ) ? 0 的解为
2



34.(2015 闸北一模理 7)设函数 f ( x ) ?

15 sin( ?x ) ,若存在 x0 ? (?1,1) 同时满足以下条件:①对任意的 x ? R ,都 2


有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立;② x0 2 ? [ f ( x0 )]2 ? m 2 ,则 m 的取值范围是

35.(2015 长宁一模理 7 文 7)已知函数 f ( x) ? 1 ? log a x , y ? f ?1 ( x) 是函数 y ? f ( x) 的反函数,若 y ? f ?1 ( x) 的图象 过点 (2, 4) ,则 a 的值为 _________ .

3

36.(2015 长宁一模理 14)已知 ? x ?
2

? ?

1 ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,且当 x ? [0,1] 5 x3 ?


5

时, f ( x) ? x ,若在区间 [ ?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是

37.(2015 崇明一模理 2 文 2)函数 f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是



? 1≤ x ? 0 , ?ax ? 1 , ? 38. (2015 崇明一模理 11 文 11) 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 ? ?1, 1? 上, f ( x) ? ? bx ? 2 , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
?1? ?3? b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 其中 a , ?2? ?2?


0 ? x ? ?, ? 2sin x, 39.(2015 虹口一模理 7 文 7)若 f ? x ? ? ? 2 则方程 f ? x ? ? 1 的所有解之和等于 x ? 0, ?x ,

.

40.(2015 徐汇一模理 4 文 4)函数 f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 的反函数 f
2

?1

( x) ?



41.(2015 徐汇一模理 13)在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ? x ? 的图像上不重合的两点 A, B ,若 A, B 关于原点 对称,则称点对 ? A, B ? 是函数 y ? f ? x ? 的一组“奇点对” (规定 ? A, B ? 与 ? B, A ? 是相同的“奇点对” ) .函数

1 ? lg ? x ? 0? ? ? x 的“奇点对”的组数是 f ? x? ? ? 1 ?sin x ? x ? 0 ? ? ? 2



42.(2015 徐汇一模文 13)在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ? x ? 的图像上不重合的两点 A, B ,若 A, B 关于原点 对称,则称点对 ? A, B ? 是函数 y ? f ? x ? 的一组“奇点对” (规定 ? A, B ? 与 ? B, A ? 是相同的“奇点对” ) .函数

? ? x ? 4 ? x ? 0? ? 的“奇点对”的组数是 f ? x? ? ?1 2 x ? 2x ? x ? 0? ? ?2
二、选择题



1.(2015 奉贤一模理 15 文 15)与函数 y ? x 有相同图像的一个函数是( A. y ?

) D. y ? log a a ( a ? 0且a ? 1)
x

x

B. y ? a

log a x

(a ? 0且a ? 1)

C. y ?

x2 x

2.(2015 奉贤一模理 16 文 16)下列函数是在 (0,1) 上为减函数的是( A. y ? cos x B. y ? 2
x

) D. y ? tan x

C. y ? sin x
4

3. (2015 奉贤一模理 18 文 18) 设 P ( a, b) 是函数 f ( x) ? x 图像上任意一点, 则下列各点中一定 在该图像上的是 ( ..
3



A. P 1 ( a,?b)

B. P2 ( ? a,?b)

C. P3 ( ? a , b)

D. P4 ( a ,?b)

4. ( 2015 嘉定一模理 17 文 17 )定义在区间 [1 , ? ?) 上的函数 f ( x) 满足:① f ( 2 x) ? 2 f ( x) ;②当 2 ? x ? 4 时,

f ( x) ? 1? | x ? 3 | ,则集合 S ? {x f ( x) ? f (34)} 中的最小元素是(
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8



5.(2015 嘉定一模理 18 文 18)如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则

y = f ( x ) 在 [0 , ? ] 上的图像大致为(
y 1 O y 1


y 1 y 1

π x
A.

O

π x
B.

O

πx
C.

O

π x
D.

6.(2015 金山一模理 17 文 17)设 k>1,f(x)=k(x–1) (x?R),在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A 点,它的反函数 y=f –1(x)的图像与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的图像相交于 P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3,则实数 k 等于( (A) 3 (B) ).

3 2

(C)

4 3

(D)

6 5
)

7.(2015 静安一模理 15 文 15)在下列幂函数中,是偶函数且在 (0,??) 上是增函数的是 ( A. y ? x ?2 ; B. y ? x
? 1 2 1 2



C. y ? x 3 ;

D. y ? x 3

? 1 ?x ? , x ? 0 8.(2015 浦东一模理 19 文 19)函数 f ( x)= ? 的零点个数为( x ? ??2 ? ln x, x >0
( A) 0 ( B) 1 (C ) 2 ( D) 3



9.(2015 浦东一模理 20 文 20)某股民购买一公司股票 10 万元,在连续十个交易日内,前五个交易日,平均每天上涨 5%, 后五个交易日内,平均每天下跌 4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本,精确到元) ( )

( A) 赚 723 元

( B ) 赚 145 元

(C ) 亏 145 元

( D) 亏 723 元

10.(2015 浦东一模理 22 文 22)如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ?

f ( x) 在区间 I 上是减函数,那 x 1 2 3 x ? x ? 是区间 I 上“缓 2 2

么称函数 y ? f ( x) 是区间 I 上 “缓增函数” , 区间 I 叫做 “缓增区间” . 若函数 f ( x) ? 增函数” ,则“缓增区间” I 为 ( )

( A) [1, ? ?)

( B ) [ 0, 3 ]

(C ) [ 0,1]
5

( D) [1, 3 ]

11.(2015 青浦一模理 18 文 18)设函数 实数根的个数是( ( A) 1 个 ). (B) 2 个 (C) 3 个
x ?b

,函数

,则方程

(D) 4 )

12.(2015 长宁一模理 16 文 17)函数 y ? a

, ? 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 0 ? 的图象为(

A

B

C

13.(2015 崇明一模理 16 文 16)已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 及以下三个函数:① f ( x) ? x3 ;② f ( x) ? x cos x ;③ f ( x) ? tan x .其 中图像能等分圆的面积的函数个数为( A.3 B.2 ) C. 1 D. 0

14.(2015 崇明一模理 17 文 17)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数.若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当

? ?? x ? ?0, ? 时, f ( x) ? sin x ,则 ? 2?
A. ?

? 5? f? ? 3

? ? 的值为( ?
C. ?



1 2

B.

1 2

3 2

D.

3 2

15.(2015 崇明一模理 18 文 18)如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按 ??? ? ? 逆时针方向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1, 0) 方向的投影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是(
3 2


3 2

y

y

y A B O C x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

A.
y
2? 3

B.
y
2? 3

3 2

3 2

O
3 ? 2

4? 3

2? x

O
3 ? 2

4? 3

2? x

C.
?

D.

16.(2015 宝山一模理 14 文 14)已知函数 y ? x ? b ,x∈(0,+∞)是增函数,则( A、α>0,b 是任意实数 B、α<0,b 是任意实数 C、b>0,α是任意实数

) D、b<0,α是任意实数

17.(2015 宝山一模理 16 文 16)若 log a 3 ? log b 3 ? 0 ,则( A、0<a<b<1 B、0<b<a<1 C、a>b>1
6



D、b>a>1

18.(2015 宝山一模理 23 文 23)函数 y ? A、 y ? C、 y ?

x 2 ? 1 ? 1( x ? 0) 的反函数是(
2



x 2 ? 2 x ( x ? 0) x 2 ? 2 x ( x ? 2)

B、 y ? ? x ? 2 x ( x ? 0) D、 y ? ? x ? 2 x ( x ? 2)
2

19. (2015 虹口一模理 18 文 18) 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? A. ? ? , 0,

1 1 ? x ? 有四个不同交点, 则实数 k 的取值范围是 ( x x

) .

? 1 ? 8

1? ? 8?

B. ? ? ,

? 1 ? 8

1? ? 8?

C. ? ? ,

? 1 ? 8

1? 8? ?

D. ? ? ,

? 1 ? 8

1? ? 8?
x

20.(2015 徐汇一模文 17)若函数 f ( x) ? log a ( x ? b) 的图象如左下图所示(其中 a, b 为常数) ,则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象是( )

y

y

y

y

y

1 ?1 o 1 ?1
x

1 ?1 o 1 ?1
x

?1

1

o ?1

1

?1
x

1

o ?1

1

x

?1 ?1

o

1 1
x

(A) 三、解答题

( B)

(C)

(D)

1.(2015 奉贤一模理 25 文 25)判断函数 f ( x) ? lg

1? x 的奇偶性. 1? x

2.(2015 奉贤一模理 31 文 31)设 f ( x) 是定义在 D 上的函数,若对任何实数 ? ? (0,1) 以及 D 中的任意两数 x1 、 x2 , 恒有 f

?? x1 ? (1 ? ? ) x2 ? ? ? f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) ,则称 f ( x) 为定义在 D 上的 C 函数.
2

(1)证明函数 f1 ( x) ? x 是定义域上的 C 函数; (2)判断函数 f 2 ( x) ?

1 ( x ? 0) 是否为定义域上的 C 函数,请说明理由; x

(3)若 f ( x) 是定义域为 R 的函数,且最小正周期为 T ,试证明 f ( x) 不是 R 上的 C 函数.

7

3.(2015 黄浦一模文 21)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
x 已知函数 g ( x) ? 10 ? 1 , x ? R ,函数 y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的反函数. x 10 ? 1

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D ; (2)设函数 h( x) ?

1 ? f ( x) ,试判断函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上的单调性,并说明你的理由. x

4.(2015 黄浦一模理 21)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 g ( x) ? 10 x ? 1 , x ? R ,函数 y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的反函数. 10 ? 1
x

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D ; (2)设 h( x ) ?

1 ? f ( x ) ,若函数 y ? h( x) 在区间 (0,1) 内的图像是不间断的光滑曲线, x

求证:函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 内必有唯一的零点(假设为 t ),且 ?1 ? t ? ? 1 . 2

8

5.(2015 嘉定一模理 22 文 22) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 ( x ? R ) .
x ?x

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 k ? 0 ,问函数 f ( x) 的图像是否关于某直线 x ? m 成轴对称图形,如果是,求出 m 的值;如果不是,请说明 理由; (可利用真命题: “函数 g ( x ) 的图像关于某直线 x ? m 成轴对称图形”的充要条件为“函数 g (m ? x) 是偶函 数” ) (3)设 k ? ?1 ,函数 h( x) ? a ? 2 ? 2
x 1? x

4 ? a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图像有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范 3

围.

6.(2015 金山一模理 23 文 23)(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设函数 f(x)=2kax+(k–3)a–x (a>0 且 a?1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f(2)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2–x)+f(tx+4)<0 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f(2)=3,且 g(x)=2x+2 –x – 2mf(x)在 [ 2,+∞ ) 上的最小值为–2,求 m 的值.

9

7.(2015 静安一模理 20 文 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 某地的出租车价格规定:起步费 a 元,可行 3 公里,3 公里以后按每公里 b 元计算,可再行 7 公里;超过 10 公里按 每公里 c 元计算(这里 a 、 b 、 c 规定为正的常数,且 c ? b ) ,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考 虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定. (1)若取 a ? 14 , b ? 2.4 , c ? 3.6 ,小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付出租车费多少元? (本小题只需要回答最后结果) (2)求车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y ? f ( x) .

8.(2015 静安一模理 22 文 22)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ). (1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

( x) ;

(3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G ( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上是分 离的. 试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f 若不分离,请说明理由.
?1

求出实数 a 的取值范围; ( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1,2] 上是否分离?若分离,

10

9.(2015 静安一模理 22)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满 分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ). (1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)判断

f ( m) ? f ( n ) (其中 m, n ? R 且 m ? n ? 0 )的正负号,并说明理由; m?n

(3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G ( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上是分 离的. 试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f 若不分离,请说明理由.
?1

求出实数 a 的取值范围; ( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1,2] 上是否分离?若分离,

10.(2015 浦东一模理 31 文 31)(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 设函数 f ( x) ?

sin x ? ( 0 ? x ? ). x 2

(1)设 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ?

?
2

,试比较 f ( x ? y ) 与 f ( x) 的大小;

(2)现给出如下 3 个结论,请你分别指出其正确性,并说明理由. ① 对任意 x ? (0,

?
2

] 都有 cos x ? f ( x) ? 1 成立;

② 对任意 x ? ? 0,

x 2 x 4 x 6 x8 x10 ? ?? 都有 成立; f ( x ) ? 1 ? ? ? ? ? ? 3! 5! 7! 9! 11! ? 3?

③ 若关于 x 的不等式 f ( x) ? k 在 (0,

?
2

2 ] 有解,则 k 的取值范围是 ( ,??) .

?

11

11.(2015 普陀一模文 23) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f ( ? x 0 ) ? ? f ( x 0 ) 成立,则称 x0 为函数 f ( x) 的局部对称点. (1)若 a ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax ? x ? a 必有局部对称点;
2

(2)若函数 f ( x) ? 2 ? b 在区间 [ ?1,2] 内有局部对称点,求实数 b 的取值范围;
x

(3)若函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

x ?1

? m 2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.

12.(2015 普陀一模理 23) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8分 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f ( ? x 0 ) ? ? f ( x 0 ) 成立,则称 x0 为函数 f ( x) 的局部对称点. (1)若 a 、 b ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax ? bx ? a 必有局部对称点;
2

(2)若函数 f ( x) ? 2 ? c 在区间 [ ?1,2] 内有局部对称点,求实数 c 的取值范围;
x

(3)若函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

x ?1

? m 2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.

12

13.(2015 青浦一模理 23 文 23)(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分. 已知函数

f ( x) ?| x ? f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? |. x x 1 1 | ? | x ? | 的基本性质(结论不要求证明)并作出函数 f ( x) 的图像; x x
2

(1)指出

(2)关于 x 的不等式 kf ( x) ? 2kf ( x) ? 6( k ? 7) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)关于 x 的方程

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解,求 n 的取值范围.

14.(2015 松江一模理 20 文 20) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知函数 f ( x) ? a
x ?b

(a ? 0, a ? 1, b ? R ) .

(1)若 f ( x) 为偶函数,求 b 的值; (2)若 f ( x) 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数,试求 a 、 b 应满足的条件.

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15.(2015 杨浦一模文 21) (本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分. 已知函数 f ? x ? ? (1)求实数 c 的值; (2)若 a, b ? N ,且 f ?1? ? 2, f ? 2 ? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式;
*

ax 2 ? 1 是奇函数( a, b, c 为常数) bx ? c

(3)对于(2)中的 f ? x ? ,若 f ? x ? ? m 有正数解,求实数 m 的取值范围。

16.(2015 杨浦一模理 21) (本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分. 已知函数 f ? x ? ? (1)求实数 c 的值; (2)若 a, b ? Z ,且 f ?1? ? 2, f ? 2 ? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式; (3)对于(2)中的 f ? x ? ,若 f ? x ? ? m ? 2 x 对 x ? ? 0, ?? ? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

ax 2 ? 1 是奇函数, a, b, c 为常数 bx ? c

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17.(2015 闸北一模理 13 文 13) (本题满分 18 分,第(1)小题 9 分,第(2)小题 9 分) 请仔细阅读以下材料: 已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数. 求证:命题“设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则 f ( a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题. 证明:因为 a, b ? R ,由 ab ? 1 得 a ? 于是有 f ( a ) ? f ( ) .
? ?

1 a

1 b

1 ? 0 . 又因为 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数, b
同理有 f (b) ? f ( ) .

1 b



1 a



由① + ②得 f ( a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) . 故,命题“设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则 f ( a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题. 请针对以上阅读材料中的 f ( x) ,解答以下问题: (1)试用命题的等价性证明:“设 a, b ? R ,若 f (a) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ,则: ab ? 1 ”是真命题;
? ?

1 a

1 b

1 a

1 b

1 a

1 b

(2)解关于 x 的不等式 f ( a

x ?1

. ) ? f (2 x ) ? f (a1? x ) ? f (2? x ) (其中 a ? 0 )

15

18.(2015 长宁一模文 22) (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ?| 2
x ?1

? 1| , ( x ? R ) .

(1)证明:函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 上为增函数,并指出函数 f ( x) 在区间 ? ?? ,1? 上的单调性. (2)若函数 f ( x) 的图像与直线 y ? t 有两个不同的交点 A( m, t ) , B ( n, t ) ,其中 m ? n ,求 mn 关于 t 的函数关系式. (3)求 mn 的取值范围.

19.(2015 长宁一模理 22) (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
2

1 x ? c (a 、c? R) ,满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立. 2

(1)求 a 、 c 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 [ m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 ?若存在,请求出 m 的值;若不 存在,请说明理由.

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20.(2015 崇明一模理 21 文 21) (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为 60 ,整治后前四个月的污染度如下表; 月 数 1 60 2 31 3 13 4 0 …… ……

污染度

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始 工厂的污染模式: f ( x) ? 20 x ? 4 ( x ≥ 1) , g ( x) ?
x 表示月数, ?an ? 分别表示污染度.

20 ( x ? 4) 2 ( x ≥ 1) , h( x) ? 30 log 2 x ? 2 ( x ≥ 1) ,其中 3

(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过 60.

21.(2015 宝山一模理 28 文 28) (本题满分 10 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 已知函数 f(x)=

x?a (x∈R). x2 ? 2 2 图像的下方,若存在,求 a 的取值范围; x

(1)写出函数 y=f(x)的奇偶性; (2)当 x>0 时,是否存在实数 a,使 y=f(x)的图像在函数 g(x)= 若不存在,说明理由.

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22.(2015 宝山一模理 30 文 30) (本题满分 8 分) 有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为 1∶2,问怎样利用木料,才能使光线通 过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计).

23.(2015 虹口一模理 21 文 21) (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图像关于原点对称,且 f ( x) ? x 2 ? x (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若 h( x) ? g ( x) ? m ? f ( x) ? 3 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

24.(2015 徐汇一模理 20 文 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 ( k ? R ) .
x ?x

(1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 k 的值; (2)若函数 f ( x) 在 ? ??, 2? 上为减函数,求 k 的取值范围.

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