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3.2.2复数代数形式的乘除运算_图文

3.2.2复数代数形式的乘除运算_图文

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

知识回顾
两个复数相加(减)就是把实部与实部、

虚部与虚部分别相加(减),即

(a ? bi ) ? (c ? di ) ? (a ? c ) ? (b ? d )i
y Z2(c,d)

Z : z1 ? z2

y

Z2(c,d)

z1 ? z2
Z1(a,b) O
Z1(a,b) O

x

x Z

复数与平面向量的性质类比
性质


平面向量

复数

向量(a,b)的 模为 a 2 ? b2

复 数z ? a ? bi 的模为 a 2 ? b 2
不能比较大小 模可以比较大小

不能比较大小 大小的比较 模可以比较大小

几何意义
加法运算 减法运算

与坐标平面 的点一一对应

与复平面的 点一一对应

(a,b)? (c,d) (a ? bi)? (c ? di) ? (a ? c,b ? d) ? (a ? c)? ( b ? d)i (a,b)?(c,d) (a ? bi)?(c ? di) ? (a ? c,b ? d) ? (a ? c)? ( b ? d)i

复数的乘法、除法法则
复数的乘法规定按照以下的法则进行: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di 是任意两个复数,那么它们的积

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i .
2

两个复数的积仍然是一个复数. 复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律,即对任何 z1 , z2 , z3 ? C , 有 z ?z ? z ?z
1 2 2 1

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3

例1.

另解:

? (1 ? 2i )(?10 ? 5i )

例2.

求 (a ? bi )(a ? bi ) .

解:(a ? bi)(a ? bi) ? a 2 ? (bi)2? a 2 ? b 2 i 2 ? a 2 ? b 2 说明: 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭 复数也叫做共轭虚数。

设复数z ? a ? bi ,则 z ? a ? bi ,

z ? z ? (a ? bi)(a ? bi) ? a ? b .
2 2

即 z ? z ? | z | ?| z | . 其中| z | 叫做复数 z的模 .
2 2

| z | ? | a ? bi | ? a 2 ? b 2 .

规定复数的除法是乘法的逆运算, 即把满足

(c ? di)( x ? yi ) ? a ? bi (c ? di ? 0) 的复数 x ? yi ,叫做复数 a ? bi 除以复数 c ? di 的商, a ? bi 记作: (a ? bi) ? (c ? di) 或 . c ? di
? (c ? di)( x ? yi ) ? (cx ? dy) ? (dx ? cy)i , ? (cx ? dy) ? (dx ? cy)i ? a ? bi ,

?cx ? dy ? a, 由此得 ? ?dx ? cy ? b .

解得

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

ac ? bd , 2 2 c ?d bc ? ad . 2 2 c ?d

ac ? bd bc ? ad (a ? bi) ? (c ? di) ? 2 ? 2 i (c ? di ? 0). 2 2 c ?d c ?d a ? bi 的形式, 再把分子与分母都乘分母的共轭复数 写成 c ? di (c ? di) , 化简后,得出上面的结果.
通常先把 在进行复数除法运算时,

(a ? bi) ? (c ? di)

例3.

2008 1 ? i ( ) 例4. 计算: 1? i

解:( 1 ? i )2008 ? [

1? i

(1 ? i ) 2008 2008 ? 2 i ] ?( ) (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 1004 2008 ? (?i ) ? (i ) ? 1.
2
2008
2 1004

另解:

( ?2i ) [(1 ? i ) ] 2008 (1 ? i ) 1 ? i ( ) ? ? 1. ? ? 1004 2008 2 1004 1? i (1 ? i ) [(1 ? i ) ] (2i )
1004

说明:要熟记 (1 ? i ) ? ?2i ,(1 ? i ) ? 2i ,
2 2

1? i ? i, 1? i

1 ? i ? ?i . 1? i

?2 3?i 2 2010 例5. 计算: ?( ) 1? i 1 ? 2 3i 解: (?2 3 ? i )i 2 2 1005 原式 ? ? [( ) ] 1? i (1 ? 2 3i )i

( ?2 3 ? i )i 1 1005 ? ?( ) ?i ?2 3?i

?i?i 2 502 ? i ? (i ) ? i ? i ? i ? 2i .
1005

?i?i

2?502 ?1

例6. 已知复数 z 满足 z ? | z | ? 2 ? 8i , 求复数 z .

解: 设 z ? a ? bi (a , b ? R) ,则 | z | ? a ? b ,
2 2

? z ? | z | ? 2 ? 8i ,

? a ? bi ? a 2 ? b 2 ? 2 ? 8i ,
? (a ? a 2 ? b2 ) ? bi ? 2 ? 8i ,
? ?a ? a 2 ? b 2 ? 2 ? ?a ? ?15 ? ? ? b ? 8 ? ? b ? 8 ?

? z ? ?15 ? 8i .

例7. 求 7 ? 24 i 的平方根 . 解:设 7 ? 24 i 的平方根为: a ? bi (a , b ? R) ,


(a ? bi)2 ? 7 ? 24i ,

即 a 2 ? b2 ? 2abi ? 7 ? 24i ,

?a 2 ? b 2 ? 7 ?a ? 4 ?a ? ?4 ? ? ? ? 或? ? 2ab ? 24 ?b ? 3 ?b ? ?3 .
故 7 ? 24 i 的平方根为:4 ? 3i 或 ? 4 ? 3i .

复数的乘方:
对任何 z, z1 , z2 ? C 及 m , n ? N ? ,有

z ?z ? z
m n
m n

m?n

(z ) ? z n n n ( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2 2 特殊的有: i 1 ? i i ? ?1 3 2 i ? i ? i ? ?i i 4 ? i 3 ? i ? ?i ? i ? 1
mn

一般地,如果 n ? N ? ,有

i 4 n ? 1,  i 4 n?1 ? i ,  i 4 n? 2 ? ?1,  i 4 n? 3 ? ? i

课后作业
《乐学》3.2.2


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