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人教A版数学必修课件:空间向量的正交分解及其坐标表示

人教A版数学必修课件:空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.理解空间向量基本定理,并能用基 重点: 掌握空间向量的基本 本定理解决一些几何问题. 定理, 并能用空间向量基本 2.理解基底、基向量及向量的线性组 定理解决一些简单问题. 合的概念. 难点: 掌握空间向量的坐标 3.掌握空间向量的坐标表示,能在适 表示, 能在适当的坐标系中 当的坐标系中写出向量的坐标. 写出向量的坐标. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、空间向量基本定理 定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对于空间任一向量 p,存在有序实数 组{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc . 其中{a,b,c} 叫作空间的一个基底, a,b,c 都叫作基向量. 二、空间向量的正交分解及其坐标表示 1.单位正交基底 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 e1,e2,e3 称为单位正交基底. 2.空间直角坐标系 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为 原点 ,分别 以 e1,e2,e3 的方向为 x 轴,y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 3.空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它 平移 ,使它的起点与原点 O 重合,得 到向量 OP=p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组 {x,y,z},使得 p = xe1+ye2+ze3 .把 x,y,z 称作向量 p 的单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标, 记作 p=(x,y,z) . → [双基自测] 1.已知 A(3,2,-3),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( A.(-3,-2,3) C.(-3,2,3) B.(-3,2,-3) D.(-3,-2,-3) ) 解析:结合空间直角坐标系知选 C. 答案:C → → → 2.O,A,B,C 为空间四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底, 则( ) → → B.OA, OB共线 → → → A.OA,OB,OC共线 → → C.OB,OC共线 D.O,A,B,C 四点共面 → → → → → → 解析:由OA,OB,OC不能构成基底知OA,OB,OC三向量共面,所以,O,A, B,C 四点共面. 答案:D 3.设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,a=4e1-8e2+3e3,b=-2e1 -3e2+7e3,则 a,b 的坐标分别为________. 解析:由于{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,所以 a=(4,-8,3),b =(-2,-3,7). 答案:a=(4,-8,3),b=(-2,-3,7) 探究一 [典例 1] 基底的判断 → =e +2e -e ,OB → =-3e +e 已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA 1 2 3 1 2 → → → → +2e3,OC=e1+e2-e3,能否以OA,OB,OC作为空间的一个基底? [解析] → ,OB → ,OC → 共面, 假设OA → =xOB → +yOC →, 根据向量共面的充分必要条件有:OA 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ?-3x+y=1, ? ∴?x+y=2, ?2x-y=-1. ? 此方程组无解. → ,OB → ,OC → 不共面,

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