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湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学(理)试题

湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学(理)试题


武汉二中 2015——2016 学年下学期 高一年级期末考试

数学(理科) 试卷
命题教师: 王四清

考试时间: 2016 年 6 月 30 日 上午 8: 00—10: 00 试卷满分: 150 分
一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {( x , y) | y ? 3 ? 3( x ? 2) , x ? R} , B ? {( x, y) | ax ? 2 y ? a ? 0} ,

A? B ? ? , 则a ?( ) ? 2 6 A. B. C. ? 2 或 6 D. 2 或 6 2. 直线 ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等, 则 a 的值是( )
A. 1 3. B. -1 C. -2 或-1 D. -2 或 1 )
2 2

如果实数 a , b 满足: a ? b ? 0 , 则下列不等式中不成立的是( A. | a |?| b | B.

1 1 ? a?b a

C.

1 1 ? b a

D. b ? a ? 0 )

4.

在等比数列 {an } 中, a5 ? a13 ? 6 , a4 ? a14 ? 5, 则

a80 等于( a90

A.

2 3 或 3 2

B. 3 或 ? 2
?

5. 在三角形 ABC 中, A ? 45 , a ? A. 1 B. 2

2,

2 3 D. 3 2 3 ? b ? 2 , 则满足条件的三角形有(
C. C. 0 D. 与 c 有关 )

)个

6. a , b , c 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面, 以下结论成立的个数是( ① a // b , b // c ? a // c ③ ? ? ? , ? ? ? ? ? // ? A. 1
2 2

② a ? b , b ? c ? a // c ④? ? ? , ? ? ? ? a , b ? a ? b ? ? C. 3 D. 4

B. 2

7. 过圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 内一点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、 CD , 则直线 AB 与

CD 的斜率之和为( ) ? 1 A. B. 0

C. 1

D. 1 或 ? 1

高一(下) 数学(理) 期末考试试卷

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8. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 公差 d ? ? , 当 S n 取最小值时, n 的最大值为 10, 则 8 数列的首项 a1 的取值范围是( A. (? 5? , ? 9? ] 8 16 C. [? 5? , ? 9? ] 8 16 ) B. (? 5? , ? 9? ] 4 8 D. [? 5? , ? 9? ] 4 8 )

9. 已知某四棱锥的三视图如下图左所示, 则该四棱锥的体积是(

A.

3 3

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3


? 2 x ? y ? 10 ? 10. 设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 , 如上图右所示, 则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
A.

25 49 B. C. 12 D. 14 2 2 11. 三棱锥 S ? ABC 的顶点 S 在平面 ABC 内的射影为 P, 给出下列条件, 一定可以判断 P 为三
角形 ABC 的垂心的有( ① SA ? SB ? SC )个
? ② SA , SB , SC 两两垂直 ③ ?ABC ? 90 , SC ? AB

④ SC ? AB , SA ? BC A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 a cos A ? b sin A , 且 B ?

?
2

, 则

s i nA ? s i n C 的最大值是(
A.

) C. 1 D. 7 8
第 2 页 共 8 页

2

B. 9 8

高一(下) 数学(理) 期末考试试卷

二、填空题: 本大题共 4 小题, 每题 5 分, 共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 13. 数列 {

1 } 前 10 项的和为 n ( n ? 2)

.

14. 三棱锥 S ? ABC 中, 正三角形 ABC 的边长为 2 3 , SA ? SB ? 2 , 二面角 S ? AB ? C 的
? 平面角的大小为 60 , 则 SC ?

.
2

15. 若数列 {an } 的前 n 项之积 等于 n ? 3n ? 2 , (n ? N ? ) , 则数列 {an } 的通项公式为______. . 16. 动直线 y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 2 x ? y ? 4 ? 0 分别交于 P、Q 两点, 则 | PQ | 的最小 值为 .

三、解答题: 本大题共 6 题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 三角形 ABC 三边长分别为 n , n ? 1 , n ? 2 , n ? N ? , 最大角 C 是最小 角 A 的两倍. (1) 求 cos A (用 n 表示) (2) 求正整数 n 的值.

18. (本小题满分 12 分) 求证: 两条平行线与同一个平面所成角相等 已知: a // b , 平面 ? 求证: a , b 与平面 ? 所成角相等

? 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? 2an ? 3 , n ? N .

(Ⅰ) 求证: 数列 {an ? 3} 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 {n(an ? 3)}的前 n 项和 Tn .

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20. (本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1 D 与平面 A1 BC1 交于 H 点, E 是

DD1 的中点, BF ? 3FD
(1) 求证: EF // 平面 A1 BC1 (2) 证明: H 为三角形 A1 BC1 的重心

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 O 的方程为 x ? y ? 9 , 圆内一点 C (2,1) , 过 C 且不过圆心的
2 2

动直线 l 交圆 O 于 P、Q 两点. 圆心 O 到直线 l 的距离为 d (1) 用 d 表示 ?OPQ 的面积 S , 并写出函数 S ( d ) 的定义域. (2) 求 S 的最大值, 并求此时直线 l 的方程.

22. ( 本小题满分 12 分 ) 已知圆 C 与直线 y ? ? x ? 2 2 相切 , 圆心在 x 轴上 , 且该圆被直线

y ? x 截得的弦长为 4 2 .
(1) 求圆 C 的方程; (2) 过点 N (?1 , 0) 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 若直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ? (3 ? 2 )k 2 , 求 OA ? OB 的值.

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武汉二中 2015——2016 学年下学期 高一年级期末考试

数学(理科)参考答案
二、选择题: BDBAB ABBCA BB 三、填空题

175 13、 ; 14、 7 ; 264

?6 , n ? 1 5 ? 15、 an ? ? n ? 2 ;16 、 2 ? ? 2 , n ? 2, n ? N ? ? n

17、解:根据大角对大边及大边对大角可知, n 所对角为 A, n ? 2 所对角为 C,由余弦定理得:

cos A ?

(n ? 1)2 ? (n ? 2)2 ? n2 n?5 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 2(n ? 2)
n n?2 n?2 ? 及 C ? 2 A 得 cos A ? sin A sin C 2n

由正弦定理得:



n?2 n?5 ? 得: n ? 4 2n 2(n ? 2)

(两个表达式写出其中一个得 5 分,两个都写出并解出 n 得 10 分) 18、课本题(课本 74 面题目) 已知: a // b ,平面 ? 求证: a , b 与平面 ? 所成角相等 证明: 如果 a , b 都在平面 ? 内,由线面角的定义可知,它们与平面 ? 所成角都是 0 ;
?

如果 a ? ? , b ? ? , a // b ? b // ? ,由线面角的定义可知,它们与平面 ? 所成角都是 0 ;
?

如果 a , b 都与平面 ? 平行,它们与平面 ? 所成角都是 0 ;
?

如果 a , b 都与平面 ? 垂直,由线面角的定义可知,它们与平面 ? 所成角都是 90 (一种情况 1 分)
高一(下) 数学(理) 期末考试试卷 第 5 页 共 8 页

?

如果 a , b 与平面 ? 斜交,设其交点分别为 A、B,分别过 a , b 上的点作 ? 的垂线,CE,DF 如图所示,连接 AE、BF,由线面角的定义可知 a , b 与平面 ? 所成角分别为 ?CAE , ?DBF , 因为 CE ? ? , DF ? ? ? CE // DF ,又 AC // BD , 所以 ?ACE ? ?BDF ,所以

?CAE ? ?DBF

综上,两条平行线与同一个平面所成角相等 (其他证法略)

19. (Ⅰ)证明:

an?1 ? 3 2an ? 3 ? 3 ? ? 2,(n ? N* ) , an ? 3 an ? 3

因此数列 {an ? 3} 是等比数列,且公比为 2. ………4 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)及题设可知,数列 {an ? 3} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列, 因此 an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,于是 an ? 2n?1 ? 3 ; ∴ n(an ? 3) ? n ? 2n ?1 …………6 分 则 Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? n ? 2n?1 , ……①

∴ 2Tn ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n?2 ……② ②-①得
Tn ? ?22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n?2 ? n ? 2n?2 ? 4 ?
20、课本题改编(课本 79 面题改编) 证明: (1)连接 B1 D1 交 A1C1 于 O,O 为 A1C1 的中点,连接 AC 交 BD 于 O1 ,O1 是 BD 的中点, 连接 D1O1 ,在长方体中, OD1 // BO1 且 OD1 ? BO1 ,所以 BOD1O1 为平行四边形,所以

1 ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?2 ? 4 …12 分 +4. 1? 2

OB // D1O1 ,又 BF ? 3FD ,所以 F 为 DO1 的中点,E 为 DD1 的中点,所以 EF // D1O1
EF // OB , OB ? 平面 A1 BC1 , EF ? 平面 A1 BC1 ,所以 EF // 平面 A1 BC1
高一(下) 数学(理) 期末考试试卷 第 6 页 共 8 页

(2)在矩形 BB1 D1 D 中, B1 D ? B1 D ? M , M ? B1 D 且 M ? BO ? 平面 A1 BC1 ,所以 M 为直线 B1 D 与平面 A1 BC1 的公共点, 所以 M 点就是 H 点。 又在矩形 BB1 D1 D 中, 三角形 B1OH 相似于三角形 BDH ,又 B1O ? 以 H 为三角形 A1 BC1 的重心。 (其他证法酌情给分)

1 BD ,所以 BH ? 2 HO ,又 BO 为三角形 A1 BC1 的中线,所 2

21.解:(1) 由平面几何知识得 PQ ? 2 9 ? d 2 , S ?

1 | PQ | ?d ? (9 ? d 2 )d 2 2

0?d ? 5
(2) S?OPQ

? 9? d2 ? d2 ? 1 1 9 ? ? PQ ? d ? ? 2 9 ? d 2 ? d ? (9 ? d 2 )d 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 ? ?

2

9 9 当且仅当 9?d2=d2,即 d2=2时,S?OPQ 取得最大值2. 当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2, d ?
1? ? 设 l 的方程为 y?1=k(x?2) ? k ? ? , 2? ?

3 2 2

则圆心到直线 PQ 的距离为 d ? 解得 k=?7 或 k=?1.

1 ? 2k k 2 ?1

.由

4k 2 ? 4 k ? 1 9 ? , k 2 ?1 2

此时直线 l 的方程为 x+y?3=0 或 7x+y?15=0.…………12 分
22、(1)设圆 C 的方程为 ( x ? a) ? y ? r
2 2 2

(r ? 0) ,圆心到直线 y ? x 的距离为
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|a| 2

高一(下) 数学(理) 期末考试试卷

|a| 2 a2 2 圆 C 被 y ? x 截得弦长为 4 2 ,所以 4 2 ? 2 r ? ( ) ?r ? ? 8 (2 分) 2 2
2

又圆 C 与直线 x ? y ? 2 2 ? 0 相切,所以

|a?2 2| ? r ? 2r 2 ? (a ? 2 2 )2 2

由以上两式可得: r ? 3 , a ? ? 2 ,从而圆的方程为 ( x ? 2 )2 ? y 2 ? 9 (2)设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入圆的方程并整理得:

(k 2 ? 1) x2 ? (2k 2 ? 2 2 ) x ? k 2 ? 7 ? 0 , ? ? 0 恒成立。
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ?

? 2k 2 ? 2 2 k2 ? 7 , x x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

y1 y2 ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
2 y1 y2 k ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? 所以 m ? ,…8 分 ? x1 x2 x1 x2

?2k 2 ? 2 2 ?1 x1 ? x2 ? 1 m x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ?2 2 ? 6 k 2 ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ?3 ? 2 , 2 2 k ?7 k x1 x2 x1 x2 k2 ? 7 k 2 ?1
……9 分
2 故 k ? 9 ,则 x1 x2 ?

9?7 1 ?2 ? 9 ? 2 2 ?9 ? 2 …10 分 ? , x1 ? x2 ? ? 9 ?1 5 9 ?1 5

1 ?9 ? 2 27 ? 9 2 ,……11 分 y1 y2 ? 9 ? ( ? ? 1) ? ? 5 5 5
故 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?

uuv uu u v

26 ? 9 2 .………12 分 5

10、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,公差 d 为锐角,且 最小值时, n 的最大值为 10,则数列的首项 a1 的取值范围是 A、 ( ?

sin 2 a3 ? sin 2 a7 ? ?1 ,当 S n 取 sin(a2 ? a8 )
( B )

5? 9? , ? ] 8 16

B、 ( ?

5? 9? 5? 9? 5? 9? , ? ] C、 [ ? , ? ] D、 [ ? , ? ] 4 8 8 16 4 8

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