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2016年全国普通高考重庆适应性测试(第三次)数学(理)试题汇总

2016年全国普通高考重庆适应性测试(第三次)数学(理)试题汇总

2016 年全国普通高考适应性测试(第三次) 理科数学试题
(满分 150 分 考试时间 120 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 M={x|y= 3-2x},N={y|y=3-2x}, 则图中阴影部分表示的集合是( 3 A.{x| <x≤3} 2 3 B.{x| <x<3} 2 ) 3 C.{x| ≤x<2} 2 3 D.{x| <x<2} 2 )
第 1 题图

2i 2.已知复数 z=1+ ,则 1+z+z2+…+z2 016 为( 1-i A.1+i B.1-i C .i D.1

开始 p=1,n=1 n=n+1

3.若 (1 ? 3x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 , 则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? | a4 | ? | a5 | 的值等于( A.1024 B. 243 C. 32 ) D.46 ) p=p+2n?1 D. 24 p>2016?
是 否

4.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是( A. 4 3 B. 44 C.45

5.给出下列四个结论:①“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题; ②若 x,y∈R,则“x≥2 或 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件; ③函数 y=loga(x+1)+1(a>0 且 a≠0)的图象必过点(0,1); ④已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ2),且 P(-2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确的结论是( A.①② B.①③ ) C.②③ D.③④

输出 n 结束
第 4 题图

6.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则其侧视图的面积是( 1 A. 2 B. 3 2 C.1 D. 3 )

第 6 题图

x-2y+1≥0 ? ? 7. 已知实数 x、 y 满足: ?x<2 , z=|2x-2y-1|, 则 z 的取值范围是 ( ? ?x+y-1≥0 5 A.[ ,5] 3 B.[0,5] C. [0,5) 5 D. [ ,5) 3



8.某中学学生社团活动迅猛发展,高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社” 、 “科技社” 、 “十年 国学社” 、 “围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能 参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑” ,则不同的参加方法的种数为( A.72 B.108 C.180 D.216 )

9.若 sin 2α= 7π A. 4

π ? 3π 5 10 ,π ,β∈?π, ?,则 α+β 的值是( ,sin (β-α)= ,且 α∈? 4 2? ? ? ? 5 10 9π B. 4 1 B. 2 5π 7π C. 或 4 4 5 2 2 2 5π 9π D. 或 4 4



10. 设直线 x=t 与函数 f(x)=x2, g(x)=lnx 的图像分别交于点 M, N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为 ( A.1 C. D.



x2 y2 11.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 O 为坐标原点,点 P 在双曲线右支上, a b △ PF1F2 内切圆的圆心为 Q, 圆 Q 与 x 轴相切于点 A, 过 F2 作直线 PQ 的垂线, 垂足为 B, 则|OA|与|OB| 的长度依次为( A.a,a ) a 3a C. , 2 2 a D. ,a 2

B.a, a2+b2

12.设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 f(x0)=-x0,则称 x0 是 f(x)的一个“次不动 5 点”, 也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”, 若函数 f(x)=ax2-3x-a+ 在区间[1,4]上存在“次不动点”, 2 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) 1? B.? ?0,2? ) 1 ? C.? ?2,+∞? 1? D.? ?-∞,2?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题线上.

OA ? 3 ,则 OA ? OB = 13.已知向量 OA ? AB,
14.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? a3 ?

.

?

1 S (2 x ? ) dx ,则 9 = ____________. 0 2 S5
2

15.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数 据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x2 i =720. 家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方
i=1 i=1 i=1 i=1 10 10 10 10

程为 y=bx+a,若该居民区某家庭的月储蓄为 2 千元,预测该家庭的月收入为_________千元.

i=1

?xiyi-n x
x2 i -n i=1

n

y ,a= y -b x .) x
2

(附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

?

n

16.已知 P 点为圆 O1 与圆 O2 的公共点, O1 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 , O2 : ( x ? c)2 ? ( y ? d )2 ? d 2 ,若

a c ? ,则点 P 与直线 l : 3x ? 4 y ? 25 ? 0 上任意一点 M 之间的距离 的最小值为 b d 三、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) ac ? 9,
在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I)求 sin B 的值;
b 2 3 ? , A ? 3C ? p . c 3



(II)若 b ? 3 3 ,求△ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 某市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对 2015 年 1 月-2015 年 12 月(一年)内空气质量指数 API 进行监测,下表是在这一年随机抽取的 100 天的统计结果: 指数 API 空气质 量 天数 4 13 [0,50] 优 (50,100] 良 (100,150] 轻微污 染 18 (150,200] 轻度污 染 30 (200,250] 中度污 染 9 (250,300] 中重度污 染 11 15 >300 重度污染

(I)若某市某 企业每天由空气污染造成的经济损失 P (单位:元)与空气质量指数 API (记为 t )的关

?0, 0 ? t ? 100 ? 系为: P ? ? 4t ? 400,100 ? t ? 300 ,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济损失 P ? ? 200,600? 元的 ?1500, t ? 300 ?
概率; (II)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节,其中有 8 天为重度污染,完成 2? 2 列联表,并判断 是否有 95% 的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 供暖季 非供暖季节 合计 下面临界值表供参考. 100 重度污染 合计

P( K 2 ? k )
k
参考公式: K ?
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , PD ? DC ,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (I)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (II)设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ? PC , 试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 60 . 20. (本小题满分 12 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 e ? , 直 线 2 2 a b

l : x ? my ? 1 ? 0(m ? R) 过椭圆 C 的右焦点 F ,且交椭圆 C 于 A , B 两点.

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1 ,设直线 l1 与定直线 l2:x ? 4 交于点 P ,试探索当 m 变化时,直线 BP 是否过定点? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex , g ( x) ? mx ? n . (I)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值;

[来源:学科网 ZXXK]

② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围; (II)设函数 r ( x) ?

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x)

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,C ,F 为⊙ O 上的点,CA 是∠ BAF 的角平 分线,过点 C 作 CD ⊥ AF 交 AF 的延长线于 D 点,作 CM ⊥ AB ,垂足为 点 M. 求证: (Ⅰ)DC 是⊙ O 的切线; (Ⅱ) AM ·MB =DF ·DA . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐 标系与参数方程

? ?x ? 1? ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xoy 2 t 2

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? . (I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (1,1) ,求|PA|+|PB|的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-4|+|x+5|. (I)试求使等式 f(x)=|2x+1|成立的 x 的取值范围; (II)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.

2016 年全国普通高考适应性测试(第三次) 理科数学参考答案
(满分 150 分 考试时间 120 分钟) 一、选择题:BDACC BCCAD AD 11.如图,由题意知,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=|PC|+|CF1|,|PF2|=|PD|+ |DF2|, 又|CF1|=|F1A|, |DF2|=|F2A|, ∴|PF1|-|PF2|=|F1A|-|F2A|=|OF1|+|OA| -(|OF2|-|OA|)=2|OA|=2a,∴|OA|=a,延长 F2B 交 F1P 于 E,可得 |PF2|=|PE|,在△EF1F2 中由中位线定理可求得|OB|=a. 5 12.设 g(x)=f(x)+x,依题意,存在 x∈[1,4],使 g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+ =0. 2 1 当 x=1 时,g(1)= ≠0; 2

4x ? 5 5 当 x≠1 时,由 ax2-2x-a+ =0,得 a= . 2 2( x 2 ? 1) 4x ? 5 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 1 记 h(x)= (1<x≤4),则由 h′(x)= =0 得 x=2 或 x= (舍去). 2 2 2 2 2( x ? 1) ( x ? 1)
当 x∈(1,2)时,h′(x)>0; 当 x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数 h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数, 1 1 -∞, ?. 因此当 x=2 时,h(x)取得最大值,最大值是 h(2)= ,故满足题意的实数 a 的取值范围是? 2? ? 2 故选 D. 二、填空题: 13.9 16.设 14.9 15.8 16. 2

a c ? ? k 则圆 O1 : ( x ? a)2 ? ( y ? ka)2 ? k 2 a 2 , a2 ? 2( x ? 2ky)a ? ( x2 ? y 2 ) ? 0 b d
[来源:学.科.网]

圆 O2 : ( x ? c)2 ? ( y ? kc)2 ? k 2c2 , c2 ? 2( x ? 2ky)c ? ( x2 ? y 2 ) ? 0 故 a, c 是关于 m 的方程 m2 ? 2( x ? 2ky)m ? ( x2 ? y 2 ) ? 0 的两根

因此由韦达定理得 ac ? x2 ? y 2 ? 9 ,所以点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 9 上,其到直线 l 距离就是点 P 与直线 l 上任意 一点 M 之间的距离的最小值,为 d ?

| 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 25 | ? 3 ? 2. 5

17. (I)因为 A ? B ? C ? p , A ? 3C ? p ,所以 B ? 2C . 又由正弦定理,得 化简得, cos C ?

b c b sin B 2 3 2sin C cos C ? ? , ? , , sin B sin C c sin C 3 sin C

1 6 3 .因为 C ? ? 0, p ? ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ? . 3 3 3

所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ?

6 3 2 2 ? ? . 3 3 3

………………………6 分

1 1 2 (II)因为 B ? 2C ,所以 cos B ? cos 2C ? 2cos C ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 3 3
因为 A ? B ? C ? p ,所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 因为
2 2 3 1 6 6 ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 3 9

9 b 2 3 ? , b ? 3 3 ,所以 c ? . 2 c 3

1 1 9 6 9 2 ? 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 3 ? ? . ………………………12 分 2 2 2 9 4 18. (I)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 P∈(200,6 00]元”为事件 A

由 200<4t﹣400≤600,得 150<t≤250,频数为 39,∴ P ( A) ? (II)根据以上数据得到如表:

39 .………5 分 100

非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计
2
2

22 63
[来源:学科网 ZXXK]

8 7 15

30 70 100

85

100(63 ? 8 ? 22 ? 7) 2 K 的观测值 K ? ≈4.575>3.841. 85 ?15 ? 30 ? 70
所以有 95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.………12 分 19. (I)∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC , DC ? 平面 PDC ,∴ AD ? PD , AD ? DC ,
? 在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH ? CD 于 H ,在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1 ? ?BCH ? 45 , ? 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1 ? ?ADB ? 45 , ? ? ∴ ?BDC ? 45 ? ?DBC ? 90 ? BC ? BD ,①

∵ PD ? AD , PD ? DC , AD ∴ PD ? 平面 ABCD ,

DC ? D , AD ? 平面 ABCD , DC ? 平面 ABCD ,

∵ BC ? 平面 ABCD ,∴ PD ? BC ,② 由①②, ∵ BD 平面 PBD ,

[来源:学科网 ZXXK]

PD ? D , ∴ BC ? BD ? 平面 PBD , PD ? 平面 PBD ,

∵ BC ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PBD ;………6 分 (II)以 D 为原点, DA , DC , DP 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直 角坐标系(如图)

则 P(0, 0,1) , C (0, 2, 0) , A(1, 0, 0) , B(1,1, 0) , 令 Q( x0 , y0 , z0 ) ,则 PQ ? ( x0 , y0 , z0 ?1) , PC ? (0, 2, ?1) , ∵ PQ ? ? PC ,∴ ( x0 ,y0 , z0 ?1) ? ? (0, 2, ?1) ,∴ Q ? (0, 2? ,1 ? ? ) , ∵ BC ? 平面 PBD ,∴ n ? (?1,1,0) 是平面 PBD 的一个法向量,

?x ? ? y ? ?x ? y ? 0 ?m ? DB ? 0 ? 设平面 QBD 的法向量为 m ? ( x,y,z ) ,则 ? ,即 ? 即 ? 2? , 2 ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 z ? y m ? DQ ? 0 ? ? ? ? ? ?1 ?
不妨令 y ? 1 ,得 m ? ( ?1,1,

2? ), ? ?1

? ∵二面角 Q ? BD ? P 为 60 ,∴ cos( m, n) ?

m?n m n

?

2 2? 2?( 2? 2 ) ? ?1

?

1 ,解得 ? ? 3 ? 6 , 2

∵ Q 在棱 PC 上,∴ 0 ? ? ? ? ,故 ? ? ?? 6 为所求.………12 分

? c ? 1, ? c ? 1, ? 20. (I)由题设,得 ? c 1 解得 ? 从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , a ? 2, ? , ? ? ?a 2

x2 y 2 ………………………4 分 ? ?1. 4 3 3 3 3 3 (II)令 m ? 0 ,则 A(1, ) , B(1,? ) 或者 A(1,? ) , B(1, ) . 2 2 2 2 3 3 3 5 当 A(1, ) , B(1,? ) 时, P(4, ) ;直线 BP : y ? x ? 2 2 2 2
所以椭圆 C 的标准方程为

3 3 3 5 当 A(1,? ) , B(1, ) 时, P(4,? ) ,直线 BP : y ? ? x ? 2 2 2 2
5 所以,满足题意的定点只能是 ( , 0) . 设为 D 点 .下面证明 P,B,D 三点共线. 2
设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) , 由于 PA 垂直于 y 轴, 所以点 P 的纵坐标为 y1 , 从而只要证明 P(4 ,y1 ) 在直线 BD 上.

? x ? my ? 1 ? 0 , ? 由 ? x2 y 2 得 (4 ? 3m2 ) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ? 1, ? ? 3 ?4
D ? 144(1 ? m2 ) ? 0 ,? y1 ? y2 ?

?6m ?9 , y1 y2 ? .① 4 ? 3m2 4 ? 3m2

∵ kDB ? kDP

2 3 3 y ? y1 (my2 ? ) y1 +y2 ? my1 y2 y2 ? 0 y1 ? 0 y2 y1 2 2 3 2 ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 5 3 3 3 my2 ? x2 ? 4? my2 ? 1 ? (my2 ? ) 2 2 2 2 2 2 2

①式代入上式,得 kDB ? kDP ? 0 , 所以 k DB =k DP .

5 ∴点 P(4 ,y1 ) 恒在直线 BD 上,从而 P,B,D 三点共线.即直线 BP 恒过定点 ( ,0) . 2
21. (I)①由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e x ? mx ? n)? ? e x ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 . ②当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (ex ? mx)? ? ex ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ?
x

………………12 分

…………… 3 分

1 , e

1 时, h?( x) ? e x ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 1 1 所以只需 h( ?1) ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,从而 ? ? m ? . e e e e 1 2)当 m ? 时,由 h?( x) ? e x ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e
1)当 m ? 当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增. 所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m , 令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 综上所述, m ? [ ? , e) .

1 ?m?e. e
…………… 6 分
[来源:学科网 ZXXK]

1 e

n x 1 nx 1 1 4x m r ( x ) ? ? ? ? ? x? (II)由题意, , x n f ( x) g ( x) e e x?4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e x?4
令 F ( x) ? e x (3x ? 4) ? x ? 4 , 则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e x (3x ?1) ? 1 , F ?(0) ? 0 , 令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? e x (3x ? 2) , 因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . ……………12 分

22. (Ⅰ)连结 OC ,则∠OAC=∠OCA.

又∠OAC=∠FAC ,所以∠FAC=∠OCA ,所以 OC∥AD ,因为

CD⊥AD,所以 CD⊥OC,即 CD 是⊙O 的切线. (Ⅱ)连结 BC . 在 Rt△ ACB 中, CM 2 = AM · MB . 因为 CD 是⊙O 的切线,所以 CD 2 = DF · DA . 又 Rt △ AMC ≌ Rt△ ADC ,所以 C M = CD , 所以 AM ·MB = DF ·DA . 23. (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x ..???4 分

? ?x ? 1? ? (Ⅱ)将 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 带入 y 2 ? 4x 得 t 2 ? 6 2t ? 6 ? 0 , 2 t 2
(t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? 4 6 .???10 分

所以 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t 2 |?| t1 ? t 2 |?

-2x-1,x≤-5, ? ? 24.(I)f(x)=|x-4|+|x+5|=?9,-5<x<4, ? ?2x+1,x≥4.

?-2x-1,x≤-2, 又|2x+1|=? 1 ?2x+1,x>2,
所以若 f(x)=|2x+1|,则 x 的取值范围是(-∞,-5]∪[4,+∞)..???5 分 (II)因为 f(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9,∴f(x)min=9. 所 以若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集非空,则 a>f(x)min=9, 即 a 的取值范围是(9,+∞)..???10 分

1


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