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函数与极限习题讲解_图文

函数与极限习题讲解_图文

函数与极限习题讲解

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? 习题2-1 7 1. 已知 lim x n ? a,证明lim | x n |?| a | 。
n? ? n? ?

证明的关键是:n ? | a ||?| x n ? a | || x
? limx n ? a ?
n? ?

?? ? 0, ?N ? 0, 使n ? N时, 恒 有 x n ? a ? ? .

但:x n ? | a ||?| x n ? a |? ? ||
? lim | x n |?| a | 。
n? ?
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?习题2-3 3
1 ? 2x 4 当x应 满 足 什 么 条 件 , 函 数 ? y 能 使 y ? 10 ? x 1 1 ? 2x 1 ? ? ?2? M ? 0? x ? x x M?2

则M ? 10 时,
4

1 当0 ? x ? 4 时,有 10 ? 2

y ? 10

4
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? 习题2-3 4 y=xsinx在(0,+∞)无界? x->∞时是无穷大? ? 考察当x取:

1. xn ? 2n? ?

?
2

f ( x n ) ? 2n? ?

?
2

2.

xn ? 2n?

f ( xn ) ? 0
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所以, xsinx在(0,+∞)无界, 但x->∞时不是无穷大.

? 习题2-5 1(9)
解 : 原 式 ? limt tan
t ?0

l im(1 ? x ) tan
x ?0

?x
2

? (1 ? t )

2 ?t ? ? limt cot t ?0 2

2 cos ?t ? lim ?t ? 2 t ? 0 sin 2 2

?

t

?

2

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?

? 习题2-5 3(2)
n

A ? a1 ? ......? a m ? mA
n n n n n

n

且 limn m ? 1
n??

由夹逼准则知其收敛于A
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? 习题2-5 3(4)
x n?1 1 1 ? ( xn ? ) 2 xn

x n ?1

1 1 ? ( ? xn )2 ? 1 ? 1 2 xn

1 1 x n ?1 ? x n ? ( ? x n ) ? 0 2 xn

所以 x n }单调有界,故收敛。 {
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? 习题2-6 3(1)

原式?

lim x ?0 (1 ? cos x )( 1 ? x tan x ? 1)

1 ? x tan x ? 1 lim x ?0 1 ? cos x x tan x

tan x / x 1 ? lim x ?0 (1 ? cos x ) / x 2 ( 1 ? x tan x ? 1)

1 ? 2? ? 1 2
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? 习题2-7 7

总习题二 10(2)同理
x?0

n ? x ? x 2e x ? li m n ? n? ? ? 1? ex f ( x) ? ? n ? ? e x x ? x2 ?li m n ? n? ? ex ?1 ?

x?0

?x ?? 2 ?x

x?0 x?0

且 lim f ( x ) ? 0
x?0

? x ? 0是可去间断点。
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定义

f(0) ? lim f ( x ) ? 0, 则f(x)为连续函数。
x ?0

? 习题2-8 8
m f(c)? n f(d) 即证明 ? ) ? f( x ? [a , b ] m?n
注意到f(x)是[a ,b]上的连续函数

m fmin ? n fmin m f(c)? n f(d) m fmax ? n fmax ? ? m?n m?n m?n f min m f(c)? n f(d) ? ? f max m?n
故而命题成立。
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