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01级理科数理统计考试答

01级理科数理统计考试答

2001 级理科专业(数学、信息、统计)

数理统计考试办法 数理统计考试办法
考试形式:平时成绩、论文、开卷试题综合评定。 平时成绩:占 20% 根据作业情况判定 论 文:占 40% 将你本学期学习学习内容,知识体系按章归纳总结。 开卷题目:占 40% 开卷题目如下: 1. 分)设随机变量 X ~ t ( n)( n > 1) ,则 Y = (5 解 由题设知, X =

1 服从何分布。 X2

U V n

,其中 U ~ N (0,1), V ~

χ 2 (n) ,于是

Y=

V V 1 1 = n = 2n , 这里 U 2 ~ χ 2 (1) , 根据 F 分布的定义知 Y = 2 ~ F ( n,1). 2 2 X U U X 1
2

2. 分) (5 对方差 σ 已知的正态总体,需要抽取容量 n 为多大的样本,才能使总体均值 ? 的置信度为 1 ? α 的置信区间的长度不大于 L ? 解 方差 σ 已知正态总体均值 ? 的置信度为 1 ? α 的置信区间为
2

[X ?U

1?

α
2

σ
n

, X +U

1?

α
2

σ
n

]

其区间长度

l = 2U

1?

α
2

σ
n

欲使 l = 2U

1?

α
2

σ
n

≤L

? 2σu1? α 2 须n ≥ ? ? L ?

? ? ? ?

2

3. 分)设 X 1 , X 2 , L , X n 是来自均匀分布 U ( a, b) ( a, b 未知)的一个样本,求 a, b 的 (5 矩法估计量。 解 由均匀分布的均值、方差知:

1

a+b ? ? ?1 = EX = 2 ? 2 ?ν 2 = VarX = (b ? a) ? 2
(2)解得

?a = ?1 ? 3ν 2 ? ? ?b = ?1 + 3ν 2 ?
(3)由 K.Pearson 的替换原则得 a, b 的矩法估计量

?a = A1 ? 3B2 ?? ? ?b = A1 + 3B2 ?

即?

?a = X ? 3S 2 ?? n
2 ?b = X + 3S n ?

4. 分)设总体 X 服从指数分布,其密度为 φ ( x) = ? (5

?λe ? λx x ≥ 0 x<0 ? 0

( λ > 0 ,未知) ,

X 1 , X 2 , L , X n 是来自总体 X 的样本,求 λ 极大似然估计量。
解 (1)构造对数似然函数

ln L = n ln λ ? λ ∑ xi
i =1

n

(2)令

n d ln L n 1 = ? ∑ xi = 0 得 λ = dλ λ i =1 x

? (3) λ 的最大似然估计量: λ =

1 。 X

5.(5 分)从某厂要出口一批灯泡,现从这批灯泡中随机抽取 5 只作寿命试验,测得寿命 (单位:小时)如下: 1050, 1100, 1120, 1250, 1280 设灯泡寿命服从正态分布。求灯泡寿命均值 ? 的置信水平为 0.95 的单侧置信区间。 解 这是关心下限的问题。

统计量 T =

X ?? S n

~ t (n ? 1)

P (T ≤ t1?α (n ? 1)) = 1 ? α P( X ?? S n

≤ t1?α (n ? 1)) = 1 ? α
2

? 的单侧置信区间 [ X ? t1?α (n ? 1)
这里 α = 0.05

S n

,+∞)

n = 5 ,查表得 t1?α = 2.1318
2

计算得 X = 1160, S = 9950 从而 ? 的单侧置信区间为 [1065,+∞) 6. 分) (5 机器包装食盐, 假定每袋盐的净重服从正态分布, 规定每袋标准重量 500g, 标准差不能超过 10g。某天开工后,为检验其包装机工作是否正常,从已装好的食盐中随 机抽取 9 袋,测其净重(单位:g)为 497,507,510,475,484,488,524,491,515 算得 x = 499 , S = 16.03 。问这天包装机工作是否正常?(显著性水平 α = 0.05 )
2 2

解(1)检验假设 H 0 : ? = 500 选择统计量 T = 计算 t = ?0.187 可见 t < t1? α (8)
2

X ?? S n

~ t (n ? 1)

查表 t1? α (8) = 2.306
2

故接受 H 0 。

′ (2)检验假设 H 0 : σ ? 选择统计量 χ =
2

2

≤ 10 2

(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 ≤ χ2 = 10 2 σ2

? H 0 拒绝域: χ 2 ≥ χ 12?α (n ? 1) ? 计算 χ 2 ≈ 20.56
2 2

查表 χ 1?α ( n ? 1) = 15.5
2

? 可见 χ ≥ χ 1?α ( n ? 1) ′ 故拒绝 H 0 。
3

这天包装机虽然没有系统偏差,但是包装不够稳定。因此包装机工作不够正常。 7. 分) (5 .从随机抽取的 467 名男性中有 8 人是色盲,而 433 名女性中发现 1 人色盲。 在α=0.05 水平上,能否认为女性色盲的比例比男性低。 (指出:原假设 H 0 ;选用何统计量统计量,说明理由;给出拒绝区域;由统计量的观测 值作出判断) 解 令 Xi = ?

?1 男性色盲 否则 ?0

?1 女性色盲 Yj = ? 否则 ?0

原假设 H 0 : (3) H 0 : p1 ≥ p 2 大样本情况 选择统计量 U =

~

近似 X ?Y ~ N (0,1) 1 1 ? ? ( + ) p (1 ? p ) n m

? 其中 p =

∑ X + ∑Y
i =1 i i =1

n

m

i

n+m

拒绝区域 u ≥ u1?α = 1.65 统计量的观测值 u = 2.23 ≥ u1?α = 1.65 拒绝原假设,可以认为女性色盲的比例比男性低 8. 分)为了研究一类企业产量 x 和生产费用 y 的关系,在这类企业中我们随机调查 (5 了 10 个企业,取得数据如下:
企业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量 x (吨) 5.1 3.5 7.1 6.2 8.8 7.8 4.5 5.6 8.0 6.4 生产费用

y (元)

1907 1287 2693 2373 3260 3000 1947 2273 3113 2493

从散点图看,点 ( xi , y i ) i = 1,2 L ,10 大致在一条直线附近。

4

已经算得 x = 6.3 , y = 2434.6 , L xy =
10

∑ (x
i =1 n

10

i

? x )( y i ? y ) = 9119.758 ,

L xx = ∑ ( xi ? x ) 2 = 25.06 , L yy = ∑ ( y i ? y ) 2 = 3393025 ,
i =1 i =1

(1)试求回归直线方程; (2)用相关系数 R 检验法对回归直线方程作显著性检验(显著性水平 α = 0.01 ) ; 解 (1)先求回归系数

? β1 =

L xy Lxx

= 363.92

? ? β 0 = y ? β 1 x = 2434.6 ? 6.3 × 363.92 = 141.90
? 故所求的回归直线方程为 y = 141.90 + 363.92 x
(2) R =

L xy L xx L yy

=

9119.758 25.06 × 3393025

= 0.9890

查表得 r1? α (8) = 0.7646
2

可见 R ≥ r1? α (8)
2

故回归直线方程有意义。

数学与应用数学教研室
2003 年 6 月

5


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