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浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二学案新人教A版必修2

浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二学案新人教A版必修2

1.4.2 学习目标 正弦函数、余弦函数的性质(二) 1.掌握 y=sin x,y=cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和 最值.2.掌握 y=sin x,y=cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小 .3.会求函数 y= Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )的单调区间. 知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线: 余弦曲线: 可得如下性质: 由正弦、 余弦曲线很容易看出正弦函数、 余弦函数的定义域都是实数集 R, 值域都是[-1,1]. 对于正弦函数 y=sin x,x∈R,有: π 当且仅当 x= +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1; 2 π 当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1. 2 对于余弦函数 y=cos x,x∈R,有: 当且仅当 x=2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1; 当且仅当 x=(2k+1)π ,k∈Z 时,取得最小值-1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性 ? π 3π ? ? π 3π ? 思考 1 观察正弦函数 y=sin x,x∈?- , ?的图象.正弦函数在?- , ?上函数值 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 的变化有什么特点?推广到整个定义域呢? 1 答案 观察图象可知: ? π π? 当 x∈?- , ?时,曲线逐渐上升,是增函数,sin x 的值由-1 增大到 1; ? 2 2? 当 x∈? ?π ,3π ?时,曲线逐渐下降,是减函数,sin x 的值由 1 减小到-1. 2 ? ?2 ? 推广到整个定义域可得 π ? π ? 当 x∈?- +2kπ , +2kπ ?(k∈Z)时,正弦函数 y=sin x 是增函数,函数值由-1 增大 2 ? 2 ? 到 1; 当 x∈? -1. 思考 2 观察余弦函数 y=cos x,x∈[-π ,π ]的图象. ?π +2kπ ,3π +2kπ ?(k∈Z)时,正弦函数 y=sin x 是减函数,函数值由 1 减小到 ? 2 ?2 ? 余弦函数在[-π ,π ]上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢? 答案 观察图象可知: 当 x∈[-π ,0]时,曲线逐渐上升,函数是增函数,cos x 的值由-1 增大到 1; 当 x∈[0,π ]时,曲线逐渐下降,函数是减函数,cos x 的值由 1 减小到-1. 推广到整个定义域可得 当 x∈[2kπ -π ,2kπ ],k∈Z 时,余弦函数 y=cos x 是增函数,函数值由-1 增大到 1; 当 x∈[2kπ ,(2k+1)π ],k∈Z 时,余弦函数 y=cos x 是减函数,函数值由 1 减小到-1. 思考 3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么? 答案 y = sin x 的 增 区 间 为 ?- +2kπ , +2kπ ? , k∈Z , 减 区 间 为 2 2 ? π ? π ? ? ?π +2kπ ,3π +2kπ ?,k∈Z. ?2 ? 2 ? ? y=cos x 的增区间为[-π +2kπ ,2kπ ],k∈Z,减区间为[2kπ ,π +2kπ ],k∈Z. 梳理 2 解析式 y=sin x y=cos x 图象 值域 [-1,1] π ? π 在?- +2kπ , 2 2 ? +2kπ ],k∈Z [-1,1] 在[-π +2kπ ,2kπ ],k∈Z 上递 增, 在[2kπ ,π +2kπ ],k∈Z 上递减 单调性 3π ?π 上递增,在? +2kπ , + 2 ?2 2kπ ],k∈Z 上递减 π 当 x= +2kπ ,k∈Z 时,ymax=1;当 x 2 最值 当 x=2kπ ,k∈Z 时,ymax=1;当 x =π +2kπ ,k∈Z 时,ymin=-1 π =- +2kπ ,k∈Z 时,ymin=-1 2 1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × ) 5π π ? 5π ? 提示 正弦函数在第一象限不是增函数, 因为在第一象限, 如- < , 但 sin?- ?=sin 3 6 ? 3 ? π 3 π 1 π ? 5π ? = ,sin = ,sin?- ?>sin . 3 2 6 2 6 ? 3 ? 3.存在实数 x,使得 cos x= 2.( 提示 余弦函数最大值为 1. 4.余弦函数 y=cos x 在[0,π ]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确. × ) 类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 ?π ? 例 1 求函数 y=2sin? -x?的单调递增区间. ?4 ? 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 3 ?π ? ? π? 解 y=2sin? -x?=-2sin?x- ?, 4? ?4 ? ? π 令 z=x- ,则 y=-2sin z. 4 因为 z 是 x 的一次函数,所以要求 y=-2sin z 的单调递增区间,即求 sin z 的单调递减区 间, π 3π 即 2kπ + ≤z≤2kπ + (k∈Z). 2 2 π π 3π ∴2kπ + ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 即 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 ∴函数 y=2sin? ?π -x?的单调递增区间为?2kπ +3π ,2kπ +7π ?(k∈Z). ? ? ? 4 4 ? ?4 ? ? 反思与感悟 用整体替换法求函数 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的单调区间时, 如 果式子中 x 的系数为负数,先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区 间时,需将最终结果写成区间形式. π? ? 跟踪训练 1 求函数 f(x)=2cos?2x- ?的单调递增区间. 6?

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