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2019-人教高中数学必修二第一章1.3球的体积和表面积推导过程(共14张PPT)-文档资料_图文

2019-人教高中数学必修二第一章1.3球的体积和表面积推导过程(共14张PPT)-文档资料_图文

人教A版高中数学必修2微课系列
球的体积和表面积

学习目标
? 1、了解球体的体积公式和表面积公式的推导过程. ? 2、掌握球体的体积公式和表面积公式。

球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比

R

?

V圆锥

?

1?
3

R3

V半球 ? ?

V圆柱

?

3?
3

R3

? ? 猜 测 :V 半 球 ?2 3R 3,从 而 V?4 3R 3.

学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来.所以我们先 来回忆圆面积计算公式的导出方法.
我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后如上图重新
拼接起来,把一个圆近似的看成是边长分别是 ?R和 R的 矩 形 .
? 那 么 圆 的 面 积 就 近 似 等 于 R 2 .

当所分份数不断增加时,精确程度就越来越高;当份数无 穷大时,就得到了圆的面积公式.

分割

求近似和

化为准确和

下 面 我 们 就 运 用 上 述 方 法 导 出 球 的 体 积 公 式
即先把半球分割成n部分,再求出每一部分的近似体积,并 将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变为无穷 大的情形,由半球的近似体积推出准确体积.

问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.

A

A

O

C2
O

B2

r1 ? R2 ? R,

r2 ?

R2 ? ( R)2 , n

r3 ?

R2 ?(2R)2 , n

A

ri

O

R (i ? 1)

n

R

O

第 i 层 “ 小 圆 片 ” 下 底 面 的 半 径 :

ri ?

R 2?[R(i?1)]2,i?1,2 n

,n.

ri ?

R2?[R(i?1)]2,i?1,2, n

,n

? ? V i?ri2?R n?n R 3[1 ? (i? n 1 )2],i? 1 ,2,n

V 半 球?V 1?V 2? ?V n

?R3 12?22? ?(n?1)2

? [n? n

n2

]

?R3 1 (n?1)?n?(2n?1)

? n[n?n2?

] 6

??R3[1?n 12?(n?1)(62n?1)]

(1?1)(2?1)

V半球??R3[1?

n n] 6

当n??时, 1 ?0. n

? V 半 球 ?2 3?R 3

从 而 V?4?R 3.
3

? 定 理 : 半 径 是 R 的 球 的 体 积 为 : V ? 4R 3 3

球的表面积
球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积无法用展开图求 出,如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否 也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
下面,我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式.
①球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看 作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于 甚至等于球的表面积.
②若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

第一步:分割

球面被分割成n个网格,表面积分别为: ? S 1 , ? S 2 , ? S 3, ,? S n

则球的表面积: O
S ? ? S 1? ? S 2? ? S 3?? ? S n

设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积 为 ? V i

?Si
O ?Vi

则球的体积为: V ? ? V 1? ? V 2? ? V 3?? ? V n

第二步:求近似和

?Si
? hi

O

O

?Vi

1 ?Vi ? 3 ?Si?hi

由第一步得: V ? ? V 1 ? ? V 2? ? V 3?? ? V n

1

1

1

1

V ? 3 ? S 1 ? h 1 ? 3 ? S 2 ? h 2 ? 3 ? S 3 ? h 3 ?? 3 ? S n ? h n

第三步:化为准确和

?Si
? hi

O

?Vi

?Si
R

O

?Vi

如果网格分的越细,则: “小锥体” 就越接近小棱锥

? h i的 值 就 趋 向 于 球 的 半 径 R

??Vi

?

1 3

?Si

R

11 1

1

V ? 3 ? S iR ? 3 ? S 2 R ? 3 ? S 3 R ?? 3 ? S n R

1

1

?3R (? S i? ? S 2? ? S 3? ...? ? S n )?3R S

又 球 的 体 积 为 : V?4?R3
3

4?R3?1RS,从 而 S?4?R2
33

总结:
1. 球的表面积
设球的半径为R, 则球的表面积S=__4_π_R_2___ .
2. 球的体积
设球的半径为R, 则球的体积V=___43_π_R__3__.

谢谢你的阅读
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