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2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.2.2 第二课时 组合的综合应用 Word版含答案

2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.2.2 第二课时 组合的综合应用 Word版含答案

第二课时 组合的综合应用 [对应学生用书P12] 有限制条件的组合问题 [例 1] 现有 10 件产品,其中有 2 件次品,任意抽出 3 件检查. (1)恰有一件是次品的抽法有多少种? (2)至少有一件是次品的抽法有多少种? [思路点拨] 分清“恰有”“至少”的含义,正确地分类或分步. [精解详析] (1)从 2 件次品中任取 1 件,有 C1 2种抽法. 从 8 件正品中取 2 件,有 C2 8种抽法. 2 由分步乘法计数原理可知,不同的抽法共有 C1 2×C8=56 种. 2 (2)法一:含 1 件次品的抽法有 C1 2×C8种, 1 含 2 件次品的抽法有 C2 2×C8种. 由分类加法计数原理知,不同的抽法共有 1 2 2 1 C2 ×C8 +C2 ×C8 =56+8=64 种. 3 法二:从 10 件产品中任取 3 件的抽法有 C10 种, 不含次品的抽法有 C3 8种, 3 所以至少有 1 件次品的抽法为 C3 10-C8=64 种. [一点通] 解答有限制条件的组合问题的基本方法: (1)直接法:优先选取特殊元素,再选取其他元素. (2)间接法:正面情况分类较多时,从反面入手,正难则反. 解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不 都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准. 1.从 6 位同学中选出 4 位参加一个座谈会,要求张、王两同学中至多有一个人参加, 则不同选法的种数为( A.9 C.12 ) B.14 D.15 解析:法一:(直接法)分两类,第一类张、王两同学都不参加,有 C4 4种选法;第二类张、 3 4 1 3 王两同学中只有 1 人参加,有 C1 2C4种选法.故共有 C4+C2C4=9 种选法. 1 2 法二:(间接法)C4 6-C4=9 种. 答案:A 2.在 7 名学生中,有 3 名会下象棋但不会下围棋,有 2 名会下围棋但不会下象棋,有 2 名既会下象棋又会下围棋,现从这 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少 种不同的选法? 解:分四类求解: ①从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛, 同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛,有 3×2=6 种选法; ②从 3 名只会下象棋的的学生中选 1 名参加象棋比赛, 同时从 2 名既会下象棋又会下围 棋的学生中选 1 名参加围棋比赛,有 3×2=6 种选法; ③从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛, 同时从 2 名既会下象棋又会下围棋 的学生中选 1 名参加象棋比赛,有 2×2=4 种选法; ④从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛, 剩下的 1 名参加围棋比 赛,有 2×1=2 种选法.根据分类加法计数原理,一共有 6+6+4+2=18 种不同的选法. 与几何有关的组合问题 [例 2] 平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线.以这些点为顶 点,可构成多少个不同的三角形? [思路点拨] 解答本题可以从共线的 4 个点中选取 2 个、1 个、0 个作为分类标准,也 可以从反面考虑,任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数. [精解详析] 法一:以从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准. 1 第一类:共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点,共有 C2 4C8=48 个不同的三角形; 2 第二类:共线的 4 个点中有 1 个点为三角形的顶点,共有 C1 4C8=112 个不同的三角形; 第三类:共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点,共有 C3 8=56 个不同的三角形. 由分类加法计数原理知,不同的三角形共有 48+112+56=216 个. 法二(间接法):从 12 个点中任意取 3 个点,有 C3 12=220 种取法,而在共线的 4 个点中 任意取 3 个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有 C3 4=4 种. 3 故这 12 个点构成三角形的个数为 C3 12-C4=216 个. [一点通] 1.解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问 2 题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理. 2.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多 算.常用直接法,也可采用排除法. 3.以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________. 解析:正方体的 8 个顶点可构成 C4 8个四点组,其中共面的四点组有正方体的 6 个表面 和正方体相对棱分别所在 6 个平面的四个顶点,故可以确定的四面体有 C4 8-12=58 个. 答案:58 4.正六边形的顶点和中心共 7 个点,可组成________个三角形. 解析:不共线的三个点可组成一个三角形,7 个点中共线的是过中心的 3 条对角线,即 共有 3 种情况,故组成三角形的个数为 C3 7-3=32. 答案:32 排列与组合的综合应用问题 [例 3] (10 分)有 6 名男医生、4 名女医生,从中选 3 名男医生、2 名女医生到 5 个不同 的地区巡回医疗,但规定男医生甲不能到地区 A,则共有多少种不同的分派方案? [思路点拨] 男医生甲是特殊元素,地区 A 是特殊位置,因此可分类解决. [精解详析] 分两类: 2 1 4 第一类,甲被选中,共有 C2 5C4C4A4种分派方案; 2 5 第二类,甲不被选中,共有 C3 5C4A5种分派方案. 根据分类加法计数原理,共有 2 2 1 4 2 5 C5 C4C4A4+C3 5C4A5=5 760+7 200=12 960 种分派方案. [一点通] 本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题,解决这类问题的方法是“先选后排”, 同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则. 5.从 0,1,2,3,4,5 这六个数中每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百

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