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2019年河北省衡水中学高三数学下学期二调考试试题(理)(含答案)

2019年河北省衡水中学高三数学下学期二调考试试题(理)(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

河北省衡水中学 20xx 届高三下学期二调考试

理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1.设集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {y | y ? 2x ?1, x ? A} ,则 A B ? ( )

A. (??,3)

B. [2, 3)

C. (??, 2)

D. (?1, 2)

2.已知复数 z ?1? i ( i 为虚数单位),则 2 ? z2 的共轭复数的虚部是( ) z

A.1? 3i

B.1? 3i

C. ?1? 3i

D. ?1?3i

3.有一长、宽分别为 50m 、30m 的矩形游泳池,一名工作人员在池边巡逻,某时刻出现在池边任一

位置可能性相同,一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15 2m ,则工作人

员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )

A. 3 4

B. 3 8

C. 3? 16

D. 12 ? 3? 32

4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长五尺,松日自半,

竹日自倍,松竹何日而长等,下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a, b 分别为 5、2,则输

出的 n ? ( )

A. 2

B. 3

C. 4

D.5

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 1? 2an (n ? 2) ,且 a1 ? 2 ,则 S20 ? ( )

A. 219 ?1

B. 221 ? 2

C. 219 ?1

D. 221 ? 2

6.已知圆 C :x2 ? y2 ? 4 ,点 P 为直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA, PB ,

A, B 为切点,则直线 AB 经过定点( )

A. ( 4 , 8) 99

B. ( 2 , 4) 99

C. (2, 0)

D. (9, 0)

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 4 3

B. 5 3

C. 6 3

D. 8 3

2 ? 2sin(2x ? ? )

8.

f (x) ? log1 (ax2 ? 2x ?1) , g(x) ?
2

sin x ?

6 3 cos x

,若不论 x2 取何值,对 f (x1) ? g(x2 ) 任



x1

?[ 7 10

,

3 2

]

总是恒成立,则

a

的取值范围是(



A. (??, ? 7 ) 10

B. (??, ? 4) 5

C. (? 63 , ??) 80

D. (? 40 , ? 4) 49 5

9.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点

P1, P2 , P10 ,记 mi ? AB2 ? APi (i ?1, 2, ,10) ,则 m1 ? m2 ? ? m10 的值为(



A.15 3

B.45

C. 60 3

D.180

10.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调函数,且对任意的 x, y ? R 都有 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ,

若动点 P(x, y) 满足等式 f (x2 ? 2x ? 2) ? f ( y2 ? 8 y ? 3) ? 0 ,则 x ? y 的最大值为( )

A. 2 6 ? 5

B. -5

C. 2 6 ? 5

D.5

11.数列{an}满足 a1

?

4 3

, an ?1

?

an (an

?1)(n ? N *) ,且 Sn

?

1 a1

?

1 a2

?

?

1 an

,则

Sn

的整数部分

的所有可能值构成的集合是( )

A.{0,1, 2}

B.{0,1, 2,3}

C. {1, 2}

D.{0, 2}

12.等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) ,O 为抛物线的顶点,OA ? OB ,?AOB

的面积是 16,抛物线的焦点为 F ,若 M 是抛物线上的动点,则 | OM | 的最大值为(



| MF |

A. 3 3

B. 6 3

C. 2 3 3

D. 2 6 3

第Ⅱ卷

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?2x ? y ? 5

13.某校今年计划招聘女教师

x

人,男教师

y

人,若

x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

2

,则该学校今年计划招聘

??x ? 6

教师最多

人.

14.已知函数 f (x) ? x2 ? 2x sin(? x) ?1的两个零点分别为 m, n(m ? n) ,则 2

? n 1? x2 dx ? m



15.已知四面体 ABCD的每个顶点都在球 O 的表面上,AB ? AC ? 5 ,BC ? 8,AD ? 底面 ABC ,

G 为 ?ABC 的重心,且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为 1 ,则球 O 的表面积为



2

16.已知是定义在 R 上的函数,且满足① f (4) ? 0 ;②曲线 y ? f (x ?1) 关于点 (?1, 0) 对称;③当

x ? (?4, 0) 时,

f

(x)

x ? log2 ( e|x|

? ex

? m ?1) ,若

y

?

f

(x) 在 x ?[?4, 4]上有 5 个零点,则实数 m

的取值范围为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知向量 m ? ( 3 sin ? x,1) , n ? (cos?x, cos2 ?x ?1) ,设函数 f (x) ? m ? n ? b .
(1)若函数 f (x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,且? ?[0,3] 时,求函数 f (x) 的单调增区间; 6
(2)在(1)的条件下,当 x ?[0, 7? ] 时,函数 f (x) 有且只有一 个零点,求实数 b 的取值范围. 12

18. 如图,已知四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 平面 ABCD , ?ABC ? ?BCD ? 90 ,且 SA ? AB ? BC ? 2CD, E 是边 SB 的中点.
(1)求证: CE / / 平面 SAD ; (2)求二面角 D ? EC ? B 的余弦值大小.
19. 某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目供选择,若投
资甲项目一年后可获得的利润为?1 (万元)的概率分布列如表所示:
且 ?1 的期望 E(?1) ? 120 ;若投资乙项目一年后可获得的利润?2 (万元)与该项目建设材料的成本
有关,在生产的过程中,公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整,两
次调整相互独立,且调整的概率分别为 p(0 ? p ? 1) 和1? p ,乙项目产品价格一年内调整次数 X (次)与 ?2 的关系如表所示:
(1)求 m, n 的值; (2)求?2 的分布列; (3)根据投资回报率的大小请你为公司决策:当 p 在什么范围时选择投资乙项目,并预测投资乙项
目的最大投资回报率是多少?(投资回报率=年均利润/投资总额×100%)

20.

如图,曲线

?

由曲线

C1

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0, y ? 0) 和曲线

C2

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0,

y

? 0) 组成,其中点 F1, F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3, F4



曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点.

(1)若 F2 (2, 0), F3(?6, 0) ,求曲线 ? 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A, B ,求证 :弦 AB 的中点 M 必在 曲线 C2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C, D ,求 ?CDF1 的面积的最大值. 21. 设 f (x) ? (4x ? a) ln x ,曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ?1 ? 0 垂直.
3x ?1 (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 x ?[1, ??) , f (x) ? m(x ?1) 恒成立,求 m 的取值范围;

?n
(3)求证: ln(4n ?1) ? 16

i

(n ? N*) .

i?1 (4i ?1)(4i ? 3)

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

cos? sin ?



?

为参数),曲线

C2

的参数方程



?x

? ?

y

? ?

a b

cos? sin ?



a

?

b

?

0,?

为参数),在以

O

为极点,

x

轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线

l

:?

??

与 C1, C2

各有一个交点,当 ?

?

0 时,这两个交点间的距离为

2,当 ?

?

? 2

时,这两个交点

重合.

(1)分别说明 C1, C2 是什么曲线,并求 a 与 b 的值;

(2)设当 ?

?

? 4

时,l 与 C1, C2

的交点分别为

A1 ,

B1 ,当?

?

?? 4

时,l

与 C1, C2

的交点分别为

A2 ,

B2



求直线 A1 A2 , B1B2 的极坐标方程.

23.选修 4-5:不等式选讲

设函数 f (x) ?| x ? a |, a ? 0 .
(1)证明: f (x) ? f (? 1) ? 2 ; x
(2)若不等式 f (x) ? f (2x) ? 1 的解集是非空集,求 a 的范围. 2

1-12 DABCC AADDA BC

试卷答案

13. 10

14. ? 2

15. 634? 9

16. [?3e?4 ,1) {?e?2}

17. 解:向量 m ? ( 3 sin ?x,1) , n ? (cos?x, cos 2?x ?1) ,

f (x) ? m ? n ? b ? 3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x ?1? b

? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 3 ? b ? sin(2?x ? ? ) ? 3 ? b

2

2

2

62

(1)∵函数 f (x) 图象关于直线 x ? ? 对称, 6

∴ 2? ? ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) ,解得:? ? 3k ?1(k ? Z) ,∵? ?[0,3] ,∴? ? 1,

66

2

∴ f (x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 ? b ,由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? ,

62

2

6

2

解得: k? ? ? ? x ? k? ? ? (k ? Z ) ,

3

6

所以函数 f (x) 的单调增区间为[k? ? ? , k? ? ? ](k ? Z ) .

3

6

(2)由(1)知 f (x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 ? b ,∵ x ?[0, 7? ] ,

62

12

∴ 2x ? ? ?[? , 4? ] , 6 63

∴ 2x ? ? ?[? , ? ],即 x ?[0, ? ] 时,函数 f (x) 单调递增;

6 62

6

2x ? ? ?[? , 4? ] ,即 x ?[? , 7? ]时,函数 f (x) 单调递减.

6 63

6 12

又 f (0) ? f (? ) , 3

∴当 f (? ) ? 0 ? f (7? ) 或 f (? ) ? 0 时函数 f (x) 有且只有一个零点.

3

12

6

即 sin 4? ? ?b ? 3 ? sin 5? 或1? 3 ? b ? 0 ,

3

2

6

2

所以满足条件的 b ? (?2, 3 ? 3] {? 5}.

2

2

18.(1)证明:取 SA 中点 F ,连接 EF , FD ,
∵ E 是边 SB 的中点,∴ EF / / AB ,且 EF ? 1 AB , 2
又∵ ?ABC ? ?BCD ? 90 ,∴ AB / /CD ,又∵ AB ? 2CD ,即 CD ? 1 AB ∴ EF / /CD ,且 2
EF ? CD, ∴四边形 EFDC 为平行四边形,∴ FD / /EC ,又 FD ? 面 SAD ,CE ? 面 SAD ,∴ CE ∥面 SAD . (2)解:在底面内过点 A 作直线 AM / /BC ,则 AB ? AM ,又 SA ? 平面 ABCD , 以 AB, AM , AS 所在直线分别为 x, y, z 轴 ,建立空间直角坐标系,如图.

设 AB ? 2 ,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2, 2,0), D(1, 2,0), E(1,0,1) ,

则 BC ? (0, 2, 0), BE ? (?1, 0,1) , CD ? (?1, 0, 0),CE ? (?1, ?2,1) ,

设面

BCE

的一个法向量为

n

?

(x,

y,

z)

,则

??n ? ??n

? ?

BC BE

? ?

0 0

,即

?2 y ???x

? ?

0 z

?

0

令 x ?1,则 z ?1,∴ n ? (1, 0,1) .

同理可求面 DEC 的一个法向量为 m ? (0,1, 2) , cos ? n, m ?? n ? m ? 10 , | n || m | 5
由图可知,二面角 D ? EC ? B 是钝二面角,

所以其平面角的余弦值为 ? 10 . 5
19.

解:(1)由题意得:

?m ? 0.4 ? n ? ??110m ?120?

1 0.4

?170n

?

120



得: m ? 0.5, n ? 0.1.

(2)?2 的可能取值为 41.2,117.6,204.0,

P(?2 ? 41.2) ? (1? p)[1? (1? p)] ? p(1? p)

P(?2 ? 117.6) ? p[1? (1? p)] ? (1? p)(1? p) ? p2 ? (1? p)2

P(?2 ? 204.0) ? p(1? p)

所以?2 的分布列为 ?2
P

41.2
p(1? p)

117.6
p2 ? (1? p)2

(3)由(2)可得:

E(?2 ) ? 41.2? p(1? p) ?117.6?[ p2 ? (1? p)2 ] ? 204.0 ? p(1? p)

? ?10 p2 ?10 p ?117.6

204.0
p(1? p)

根据投资回报率的计算办法,如果选择投资乙项目,只需 E(?1) ? E(?2 ) ,即

120 ? ?10 p2 ?10 p ?117.6 ,得 0.4 ? p ? 0.6 .

因为

E(?2 )

?

?10

p2

? 10

p

? 117.6

,所以当

P

?

1 2

时,

E(?2 )

取到最大值为120.1,所以预测投资

回报率的最大值为12.01% .

20.(Ⅰ)

??a2

? ??a

2

? b2 ? b2

? ?

36 4

?

??a2 ???b2

? 20

? 16

则曲线 ? 的方程为 x2 ? y2 ? 1( y ? 0) 和 x2 ? y2 ? 1( y ? 0)

20 16

20 16

(Ⅱ)曲线

C2

的渐近线为

y

?

?

b a

x

,如图,设直线 l : y ? b (x ? m) a



? ?? ? ? ??

y ? b (x a
x2 ? y2 a2 b2

? m) ?1

?

2x2

?

2mx

?

(m2

?

a2

)

?

0

? ? (2m)2 ? 4 ? 2 ? (m2 ? a2 ) ? 4(2a2 ? m2 ) ? 0 ? ? 2a ? m ? 2a

又由数形结合知 m ? a ,∴ a ? m ? 2a

设点

A( x1 ,

y1),

B( x2 ,

y2 ), M (x0,

y0 )

,则

? ? ?

x1

?

?? x1 x2

x2 ?

?m m2 ?
2

a2



∴ x0

?

x1

? x2 2

?

m 2



y0

?

b a (x0

? m)

?

?b a

?

m 2



y0

?

?

b a

x0

,即点

M

在直线

y

?

?

b a

x

上.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线 C1

:

x2 20

?

y2 16

? 1( y

?

0) ,点 F4 (6, 0)

设直线 l1 的方程为 x ? ny ? 6(n ? 0)

? x2 ? ? 20

?

y2 16

?1?

(4n2

? 5) y2

?

48ny

? 64

?

0

??x ? ny ? 6

? ? (48n)2 ? 4 ? 64 ? (4n2 ? 5) ? 0 ? n2 ? 1



C ( x3 ,

y3

),

D(

x4

,

y4

)

,由韦达定理:

?
?? ?
? ??

y3 y3

? y4

y4 ?

? ?48n 4n2 ? 5 64
4n2 ? 5

∴ | y3 ? y4 |?

( y3 ? y4 )2 ? 4 y3 y4 ? 16

5

n2 4n2

?1 ?5

1

1

n2 ?1

n2 ?1

S?CDF1 ?| S?CF1F4 ? S?DF1F4 |? 2 | F1F4 | ? | y3 ? y4 |? 2 ? 8 ?16 5 ? 4n2 ? 5 ? 64 5 4n2 ? 5

令 t ? n2 ?1 ? 0 ,∴ n2 ? t2 ?1,

S ∴ ?CDF1

?

64

5

?

t 4t2 ?

9

?

64

5

?

4t

1 ?

9

t

∵ t ? 0 ,∴ 4t ? 9 ? 12 ,当且仅当 t ? 3 ,即 n ? 13 时等号成立

t

2

2

n?

13 2

时,∴ S?CDF1 max

?

64

5 ? 1 ? 16 5 12 3

( 4x ? a ? 4 ln x)(3x ?1) ? 3(4x ? a) ln x 21.(Ⅰ) f ' (x) ? x
(3x ?1)2

由题设 f ' (1) ? 1,∴ 4 ? a ? 1 ∴ a ? 0 . 4

(Ⅱ) f (x) ? 4x ln x , ?x ?[1, ??) , f (x) ? m(x ?1) ,即 4ln x ? m(3x ? 1 ? 2)

3x ?1

x

设 g(x) ? 4 ln x ? m(3x ? 1 ? 2) ,即 ?x ?[1, ??) , g(x) ? 0 . x

g ' ( x)

?

4 x

?

m(3 ?

1 x2

)

?

?3mx2 ? 4x x2

?

m



g ' (1)

?

4

?

4m

①若 m ? 0, g' (x) ? 0 , g(x) ? g(1) ? 0 ,这与题设 g(x) ? 0 矛盾

②若 m ? (0,1) ,当 x ? (1, 2 ? 4 ? 3m2 ), g ' (x) ? 0 , g(x) 单调递增, g(x) ? g(1) ? 0 ,与题设矛 3m
盾.

③若 m ? 1,当 x ? (1, ??), g' (x) ? 0 , g(x) 单调递减, g(x) ? g(1) ? 0 ,即不等式成立

综上所述, m ? 1 .

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ?1时, m ? 1时, ln x ? 1 (3x ? 1 ? 2) 成立. 4x

不妨令 x ? 4i ?1 , i ? N* ,所以 ln 4i ?1 ?

16i



4i ? 3

4i ? 3 (4i ?1)(4i ? 3)

ln 4 ?1 ? 16 4 ? 3 (4 ?1)(4 ? 3)

ln 4? 2 ?1 ?

16? 2

4? 2 ? 3 (4? 2 ?1)(4? 2 ? 3)

ln 4? 3 ?1 ?

16? 3

4? 3 ? 3 (4?3 ?1)(4?3 ? 3)

…………

ln 4n ?1 ?

16n

4n ? 3 (4n ?1)(4n ? 3)

?n
累加可得∴ ln(4n ?1) ? 16

i

(n ? N*)

i?1 (4i ?1)(4i ? 3)

22.(本题满分 10 分)【选修 4—4 坐标系统与参数方程】

(Ⅰ) C1 是圆, C2 是椭圆

当? ? 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (1, 0), (a, 0) ,

因为这两点间的距离为 2,所以 a ? 3;

当?

?

? 2

时,射线 l

与 C1

, C2

交点的直角坐标分别为

(0,1), (0,b) ,

因为这两点重合,所以 b ?1.

(Ⅱ)

C1 , C2

的普通方程分别为

x2

?

y2

? 1和

x2 9

?

y2

?1

当?

?

? 4

时,射线 l

与 C1

的交点

A1 的横坐标为

x

?

2 2

,与 C2

的交点

B1 的横坐标为

x'

?

3 10 10

当?

?

?? 4

时,射线 l

与 C1 , C2 的交点

A2

,分别与

A1 , B1 关于 x

轴对称

因此直线 A1 A2 、 B1B2 垂直 于极轴,故直线 A1 A2 和 B1B2 的极坐标方程分别为

? sin? ? 2 , ? sin? ? 3 10

2

10

23.(Ⅰ)函数 f (x) ?| x ? a |, a ? 0

则 f (x) ? f (? 1) ?| x ? a | ? | ? 1 ? a |?| x ? a | ? | 1 ? a |?| x ? a ? 1 ? a |

x

x

x

x

?| x ? 1 |?| x | ? | 1 |? 2 | x | ? | 1 | ? 2

x

x

x

(Ⅱ) f (x) ? f (2x) ?| x ? a | ? | 2x ? a |, a ? 0

当 x ? a 时, f (x) ? a ? x ? a ? 2x ? 2a ? 3x , 则 f (x) ? ?a ,

当 a ? x ? a 时, f (x) ? x ? a ? a ? 2x ? ?x , 则 ? a ? f (x) ? ?a ;

2

2

当 x ? a 时, f (x) ? x ? a ? 2x ? a ? 3x ? 2a , 则 f (x) ? ? a ,

2

2

于是 f (x) 的值域为[? a , ??) 2

由不等式 f (x) ? f (2x) ? 1 的解集是非空集, 即 1 ? ? a ,

2

22

解得 a ? ?1,由于 a ? 0 ,则 a 的取值范围是 (?1, 0) .


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