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2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义课件2新人教A版选_图文

2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义课件2新人教A版选_图文

3.1.2 复数的几何意义 情境导入 19 世纪末 20 世纪初,著名的德国数学家 高斯在证明代数基本定理时,首次引进“复数” 这个名词,他把复数与平面内的点一一对应起 来,创立了复平面,依赖平面内的点或有向线 段(向量)建立了复数的几何基础. 复数的几何意义,从形的角度表明了复数的“存在性”, 为进一步研究复数奠定了基础. 新知导学 1.复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴 叫做_实__轴___,y轴叫做_虚__轴___,实轴上的点都表示实数, 除了_原__点___外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的_实__部___和_虚__部___唯一确定,当把 实部和虚部作为一个有序数对时,就和点的坐标一样, 从而可以用点表示复数,因此复数与复平面内的点是 __一__一__对__应____关系. (2)若复数z=a+bi(a、b∈R),则其对应的点的坐标是 __(a_,__b_)__,不是(a,bi). (3)复数与复平面内__以__原__点__为__始__点___的向量也可以建立 一一对应关系. 如图,在复平面内,复数z=a+bi(a、b∈R)可以用点 __Z_(_a_,__b_)____或向量__O→__Z__表示. 复数 z=a+bi(a、b∈R)与点 Z(a,b)和向量O→Z的一一对应 关系如下: 3.复数的模 复数 z=a+bi(a、b∈R)对应的向量为O→Z,则O→Z的模叫做 复数 z 的模,记作|z|且|z|=___a_2_+__b_2____. 当 b=0 时,z 的模就是实数 a 的绝对值. 4.复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数 z=a+bi 所对应的点 Z(a,b) 到原点(0,0)的_距__离___. 预习自测 1.已知 a、b∈R,那么在复平面内对应于复数 a-bi, -a-bi 的两个点的位置关系是 ( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 【解析】 在复平面内对应于复数 a-bi,-a-bi 的两个 点为(a,-b)和(-a,-b)关于 y 轴对称. 【答案】 B 2.复数 z=-1-2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点 位于 ( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 z=-1-2i 对应点 Z(-1,-2),位于第三象限. 3.复数 z=m(3+i)-(2+i)(m∈R,i 为虚数单位)在复 平面内对应的点不可能位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内的对应点 P(3m-2,m-1),当 m>1 时,P 在第一象限;当 m<32时, P 在第三象限,当23<m<1 时,P 在第四象限,当 m=32时, P 在 y 轴上,当 m=1 时,P 在 x 轴上,故选 B. 【答案】 B 4.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为 ( A ) A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 【解析】 依题意可得 (m-3)2+(m-1)2=2, 解得 m=1 或 3,故选 A. 命题方向1 ?复数与复平面内点的关系 例 1 已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在 第四象限,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-3,1) C.(1,+∞) B.(-1,3) D.(-∞,-3) 【解析】 z=(m+3)+(m-1)i 对应点的坐标为(m+3, m-1),该点在第四象限,所以???mm-+13<>00, 解得-3<m<1. 【答案】 A 规律总结 复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a, b)一一对应,复数z的实部、虚部分别对应点的横纵坐 标,再根据点的坐标满足的条件求值或取值范围. 跟踪练习 1 已知 z1=cosθ+isin2θ,z2= 3sinθ+icosθ,当 θ 为何值时 (1)z1=z2; (2)z1、z2 对应点关于 x 轴对称; (3)|z2|< 2. 解:(1)z1=z2????csions2θθ==c3ossiθn,θ, ????tanθ= 33, ??2sinθcosθ=cosθ, ?θ=2kπ+π6(k∈Z). (2)z1 与 z2 对应点关于 x 轴对称 ?cosθ= 3sinθ, ???sin2θ=-cosθ, ????θ=kπ+π6(k∈Z), ??2sinθcosθ=-cosθ, ?θ=2kπ+76π(k∈Z). (3)|z2|< 2? ( 3sinθ)2+cos2θ< 2 ?3sin2θ+cos2θ<2?sin2θ<21 ?kπ-π4<θ<kπ+π4(k∈Z). 命题方向2 ?复数模的计算 例 2 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z. 解:解法一:设 z=a+bi(a、b∈R),则|z|= a2+b2, 代入方程得 a+bi+ a2+b2=2+8i, ∴?????ab+ =8 a2+b2=2 ,解得???ba==8-15 .∴z=-15+8i. 解法二:原式可化为 z=2-|z|+8i, ∵|z|∈R,∴2-|z|是 z 的实部, 于是|z|= (2-|z|)2+82, 即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17. 代入 z=2-|z|+8i 得 z=-15+8i. 规律总结 计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚 部,然后利用模的公式进行计算.两个虚数不能比较大 小 ,但它们的模可以比较大小. 跟踪练习 2 若复数 z=2aa+-21+(a2-a-6)i 是实数,则 z1=(a-1)+ (1-2a)i 的模为___2_9__. 【解析】 ∵z 为实数,∴a2-a-6=0, ∴a=-2

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