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2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套课件新人教A版选修4_5_图文

2017_2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套课件新人教A版选修4_5_图文

一 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 理解教 材新知 考点一 考点二 第 三 讲 把握热 点考向 应用创 新演练 一 二维形式的柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (1)定理 1:若 a,b,c,d 都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时,等号成立. (2)二维形式的柯西不等式的推论: ( ac+ bd)2 (a+b)(c+d)≥ (a,b,c,d 为非负实数); a2+b2· c2+d2≥|ac+bd| (a,b,c,d∈R); a2+b2· c2+d2≥ |ac|+|bd| (a,b,c,d∈R). 2.柯西不等式的向量形式 |β| ,当且仅当 β 定理 2:设 α,β 是两个向量,则 |α·β|≤|α|· 是 零向量 ,或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立. [注意] 柯西不等式的向量形式中 α· β≤|α||β|, 取等号“=” 的条件是 β=0 或存在实数 k,使 α=kβ. 3.二维形式的三角不等式 (1)定理 3: y1,x2,y2∈R). 当且仅当三点 P1,P2 与 O 共线,并且 P1,P2 点在原点 O 异 侧时,等号成立. 2 x2 + y 1 1+ 2 x2 + y 2 2≥ ?x1-x2?2+?y1-y2?2 (x1, (2)推论:对于任意的 x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有 ?x1-x3?2+?y1-y3?2+ ?x2-x3?2+?y2-y3?2 ≥ ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 事实上,在平面直角坐标系中,设点 P1,P2,P3 的坐标分 别为(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 根据△P1P2P3 的边长关系有|P1P3| +|P2P3|≥|P1P2|,当且仅当三点 P1,P2,P3 共线,并且点 P1,P2 在 P3 点的异侧时,等号成立. 利用柯西不等式证明不等式 [例 1] +b)2. [思路点拨] 可结合柯西不等式, 将左侧构造成乘积形式, a2 b2 已知 θ 为锐角,a,b∈R+, 求证: 2 + 2 ≥(a cos θ sin θ 利用“1=sin2θ+cos2θ.”然后用柯西不等式证明. [证明] a2 b2 ∵ 2 + 2 cos θ sin θ ? a2 b2 ? =?cos2θ+sin2θ?(cos2θ+sin2θ) ? ? ? a ≥?cos ? ? b · cos θ+ · sin θ?2 θ sin θ ? =(a+b)2, 2 2 a b ∴(a+b)2≤ 2 + 2 . cos θ sin θ 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式,把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等,将条件构造柯西不等式的基本形式, 从而利用柯西不等式证明,但应注意等号成立的条件. 1.已知 a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤1. 证明:由柯西不等式得 (ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=1, ∴|ax+by|≤1. 2.已知 a1,a2,b1,b2 为正实数. ?a1 a2? 求证:(a1b1+a2b2)?b +b ?≥(a1+a2)2. ? 1 2? 证 明 : (a1b1 + a2b2) ( a2b2) ]?? ?? ? ? ? ? 2 ?? ?a1 a2? ? + ? ?b1 b2? = [( a1b1 )2 + ?? ? a1? ?2 ? +? b1? ? ? ? a2 ? ?2 ? ?≥ b2 ? ? ? a1 a2? ?2 2 = ( a + a ) a1b1· + a2b2· 1 2 . b1 b2? ? 3.设 a,b,c 为正数, 求证: a2+b2+ b2+c2+ a2+c2≥ 2(a+b+c). 证明:由柯西不等式: a2+b2· 12+12≥a+b, 即 2· a2+b2≥a+b. 同理: 2· b2+c2≥b+c, 2· a2+c2≥a+c, 将上面三个同向不等式相加得: 2 2 2 a +b + ? ? ? a2+c2+ a2+c2+ b2+c2??≥2(a+b+c) b2+c2≥ 2· (a+b+c). ? ∴ a2+b2+ 利用二维形式的柯西不等式求最值 [例 2] 求函数 y=3sin α+4cos α 的最大值. 函数的解析式是两部分的和,若能化为 ac+bd [思路点拨] 的形式就能用柯西不等式求其最大值. [解] 由柯西不等式得 (3sin α+4cos α)2≤(32+42)(sin2α+cos2)=25, ∴3sin α+4cos α≤5. sin α 3 4 当且仅当 =cos α>0 即 sin α= ,cos α= 时取等号,即 3 5 5 函数的最大值为 5. 利用柯西不等式求最值 ①变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解 的先决条件; ②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适 当添加上常数项或和为常数的各项, 就可以应用柯西不等式来解, 这也是运用柯西不等式解题的技巧; ③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到 目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一 致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等 式的方法也是常用技巧之一. 4.已知 2x2+y2=1,求 2x+y 的最大值. 解:2x+y= 2× 2x+1×y≤ ? 2?2+12× ? 2x?2+y2 = 3× 2x2+y2= 3. 3 当且仅当 x=y= 时取等号. 3 ∴2x+y 的最大值为 3. 5.已知 2x+3y=1,求 4x2+9y2 的最小值. 解:∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4, 1 ∴4x +9y ≥ . 2 2 2 当且仅当 2×2x=3y×2,即 2x=3y 时等

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