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2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

2015 年浙江省高中数学竞赛
一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 6 分,共 48 分) 1.“a =2, b ? 2 ”是“曲线 C: A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A. 解答:当 a =2, b ? 2 曲线 C:

x2 y2 ? ? 1( a, b ? R, ab ? 0) 经过点 a 2 b2

?

2,1 ”的( A ).

?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 经过 a 2 b2

?

2,1 ;当曲线 C:

?

x2 y2 ? ? 1 经过 a 2 b2



?

2,1 时,即有

?

2 1 ? ? 1 ,显然 a ? ?2, b ? ? 2 也满足上式。所以“a =2, b ? 2 ” a 2 b2

是“曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 经过点 a 2 b2

?

2,1 ”的充分不必要条件。

?

2.已知一个角大于 120?的三角形的三边长分别为 m, m ? 1, m ? 2 ,则实数 m 的取值范围为 ( B ). B. 1 ? m ?

A. m ? 1 答案:B.

3 2

C.

3 ?m?3 2

D. m ? 3

解答:由题意可知:

? m ? ( m ? 1) ? m ? 2 3 解得 1 ? m ? 。 ? 2 2 2 2 ?( m ? 2) ? m ? ( m ? 1) ? m( m ? 1)
3. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 BB1 的中点, 则二面角 M-CD1-A 的余弦值为( C ). A.
第 3 题图

3 6

B.

1 2

C.

3 3

D.

6 3

答案:C. 解答:以 D 为坐标原点, DA, DC , DD1 所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则

1 D(0,0,0), A(1,0,0), C (0,1,0), D1 (0,0,1), M (1,1, ) 2

,且平面

ACD1 的 法 向 量 为

1

n1 ? (1,1,1) ,平面 MCD1 法向量为 n2 ? ( ?1, 2, 2) 。因此 cos ? n1 , n2 ??
M-CD1-A 的余弦值为

3 ,即二面角 3

3 。 3
C ).

?a ? b ? 2 ? 0 a ? 2b ? 4.若实数 a, b 满足 ?b ? a ? 1 ? 0 ,则 的最大值为 ( 2 a ? b ?a ? 1 ?
A. 1 答案:C. 解答:由 a, b 满足的条件知 1 ? 号。 B.

5 4

C.

7 5

D. 2

a ? 2b 3 7 b 1 3 ? 2? ? ,当 (a, b) ? ( , ) 取等 ? 3 ,所以 b 5 2a ? b 2 2 a 2? a

5. 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△PQR,△ABC 的面积分别为 S△PQR,S△ABC,则 A.

S ?PQR S ?ABC
1 4

的最小值为( D.

D

).

1 2

B.

1 3

C.

1 5

参考答案:D. 解答:如图 5-1 所示,

A

A

P H B

R P B Q 图 5-1 C R 图 5-2 Q C

( 1 ) 当 ?PQR 的 直 角 顶 点 在 ? ABC 的 斜 边 上 , 则 P, C , Q, R 四 点 共 圆 ,

2

?APR ? ?CQR ? 180 ? ?BQR , 所以 sin ?APR ? sin ?BQR.在 ?APR, ?BQR 中分别应
用正弦定理得

PR AR QR BR . 又 ?A ? ?B ? 45 , 故 PR ? QR , 故 ? , ? sin A sin APR sin B sin BQR

AR ? BR 即 R 为 AB 的中点.
1 2 S ?PQR PR 2 ( 2 BC ) 1 1 ? ? ? ,此 过 R 作 RH ? AC 于 H ,则 PR ? RH ? BC ,所以 2 2 S ?ABC BC BC 4 2


S ?PQR S ?ABC

的最大值为

1 . 4

( 2 ) 当 ?PQR 的 直 角 顶 点 在 ? ABC 的 直 角 边 上 , 如 图 5-2 所 示 , 设

BC ? 1, CR ? x (0 ? x ? 1), ?BRQ ? ? (0 ? ? ?
在 Rt ?CPR 中, PR ?

x 3 , ?RQB ? ? ? ?QRB ? ?B ? ? ? ? , sin ? 4 x PQ RB 1? x 由正弦定理, ? ? sin ? ? ? ? 3 sin B sin ?PQB sin sin( ? ? ? ) 4 4 x 1 1 1 x 2 1 1 ,因此 S?PQR ? PR 2 ? ( ? ) ? ( )2 . sin ? cos ? ? 2sin ? 2 2 sin ? 2 cos ? ? 2sin ?
在 ?BRQ 中, BR ? 1 ? x, RQ ? PR ? 这样,

CR x ? , sin ? sin ?

? ) ,则 ?CPR ? 90 ??PRC ? ?BRQ ? ?. 2

S ?PQR S ?ABC

?(

1 1 1 当且仅当 ? ? arctan 2 取 )2 ? ? , 2 2 2 cos ? ? 2sin ? (1 ? 2 )(cos ? ? sin ? ) 5
的最小值为

等号,此时

S ?PQR S ?ABC

1 . 5
, n ? N * ,若

6. 已知数列 ?an ? 的通项 an ?

nx ( x ? 1)(2 x ? 1)
D

( nx ? 1)
).

a 1 ?a2 ?
A. ?

? a2015 ? 1 ,则实数 x 等于(
B. ?

3 2

5 12

C. ?

9 40

D. ?

11 60

答案:D.

an ?

( nx ? 1) ? 1 1 1 ? ? ( x ? 1)(2 x ? 1) ( nx ? 1) ( x ? 1)(2 x ? 1) [( n ? 1) x ? 1] ( x ? 1)(2 x ? 1)
3

( nx ? 1)

2015



?a
k ?1

k

? 1?

1 ? 1 ? ( x ? 1)(2 x ? 1) ( x ? 1)(2 x ? 1) (2015x ? 1)
? (?

(2015x ? 1) ? 0 , 所以

1 1 1 x ? (?1, ? ) ? (? , ? ) ? 2 3 4

1 1 1 11 ,? ) ? (? , ??) ,经检验只有 x ? ? 2013 2014 2015 60

符合题意。 7. 若过点 P(1,0) ,Q(2 ,0 ) , R ( 4, 0 ) ,S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则 该正方形的面积不可能 等于 ( C ). ... A.

16 17

B.

36 5

C.

26 5

D.

196 53

答案:C. 解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为 a ,面积为 S , 过 P 的直线的倾 斜角为 ? (0 ? ? ? 当 过 点

? )。 2

P, Q 的 直 线 为 正 方 形 的 对 边 所 在 的 直 线 时 , 4 , 此 时 正 方 形 的 面 积 17

PQ sin ? ? a ? RS cos ? ? sin ? ? 4 cos ? ? sin ? ? S ? ( PQ sin ? )2 ? 16 。 17

同理,当过点 P, R 的直线为正方形的对边所在的直线时, S ? 方形的对边所在的直线时, S ?

196 . 53

36 ;当过点 P , S 的直线为正 5

8.若集合 A ? (m, n) (m ? 1) ? (m ? 2) ? 中的元素个数为( B A.4030 B.4032 答案:B. 解答: 由已知得 n(n ? 2m ? 1) ? 2
2016 2015

?

? (m ? n) ? 102015 , m ? Z , n ? N *? ,则集合 A
D. 20162

). C. 20152

5

, 因为 n, n ? 2m ? 1 一奇一偶, 所以 n, n ? 2m ? 1 两

者之一为偶数,即为 2 2016 , 2 20165, 2 201652 ,

, 2 201652015 共有 2016 种情况,交换顺序又得到

2016 种情形,所以集合 A 共有 4032 个元素. 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14 每题 7 分,15 题 8 分,共 50 分) 9.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 0 , f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 0 ,且 f ( ) ? 1 ,则

2 3

4

1000 f( )? 3
答案: ?1.



解答: f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? f [1 ? ( x ? 1)] ? ? f [1 ? ( x ? 1) ? ? f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x) ,所以

1000 4 4 1 1 2 f( ) ? f (332 ? ) ? f ( ) ? f (1 ? ) ? ? f (1 ? ) ? ? f ( ) ? ?1. 3 3 3 3 3 3
10.若数列 {an } 的前 n 项和 Sn

? n 3 ? n 2 , n ? N * ,则 ?
i ?1

2015

1 = ai ? 8i ? 2



答案:

2015 . 6048

解答: an ?
2015 i ?1

?a ? ?a
i ?1 i i ?1
2015 i ?1

n

n ?1

i

? 3n2 ? 5n ? 2, 又 a1 ? 0 ,故 an ? 3n 2 ? 5n ? 2(n ? N * ) ,
1 2015 1
i ?1

? a ? 8i ? 2 ? ? 3i(i ? 1) ? 3 ?( i ? i ? 1) ? 6048 .
i

1

1

1

2015

11. 已知 F 为抛物线 y ? 5x 的焦点, 点 A (3, 1), M 是抛物线上的动点. 当 | MA | ? | MF | 取最小值时,点 M 的坐标为 答案: ( .

2

1 ,1) . 5

解答:设抛物线的准线为 l : x ? ?

5 .过 M 作 l 的垂线,垂足为 H , 则 4

AM ? MF ? AM ? MH ? AH ,当 A, M , H 三点共线时取等号,此时 M 的坐标为

1 ( ,1) 。 5
12.若 16 答案: ?
sin 2 x

? 16cos x ? 10 ,则 cos 4 x ?

2

.

1 . 2
sin2 x

解答:设 t ? 16

,1 ? t ? 16 ,则 16cos x ? 161?sin x ?

2

2

16 16 ? 10 ? t ? 2, 或 ,代入方程得 t ? t t

t ? 8 ,即

5

sin 2 x ?

1 1 3 或 ,所以 cos 4 x ? ? 。 4 4 2
2

13. 设函数 f ( x) ? min{x ? 1, x ? 1, ? x ? 1} ,其中 min{x, y , z} 表示 x, y, z 中的最小者.若

f ( a ? 2) ? f ( a ) ,则实数 a 的取值范围为
答案: ( ??, ?2) ? ( ?1, 0) .



解答:当 a ? 2 ? ?1 时, a ? a ? 2 ? ?1, 此时有 f (a ) ? f (a ? 2) ; 当 1 ? a ? 2 ? 0 时, ?3 ? 当 0 ? a ? 2 ? 1 时, ?2 ?

a ? ?2, 此时有 f ( a ) ? f ( ?2) ? ?1 ? f ( a ? 2) ; a ? ?1, 此时有 f (a ) ? f (a ? 2) ;

当 1 ? a ? 2 ? 2 时, ?1 ? a ? 0, 此时有 f (a ) ? f (a ? 2) ; 当 a ? 2 ? 2 时, a

? 0, 此时有 f (a ) ? f (a ? 2) 。
? 2? , a?b ? 5, 向量 c ? a , ,c ? a ? 2 3 , c ? b 的夹角为 3 3


14.已知向量 a , b 的夹角为 则 a ? c 的最大值为 答案:24.

解答: OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则 AC ? c ? a ? 2 3, AB ? a ? b ? 5. 又

? 2? 3 , ?ACB ? , 此 时 O, A, C , B 共 圆 , 由 正 弦 定 理 得 sin ?ABC ? , 则 5 3 3 4 。 在 ?ACO 中 , ?AOC ? ?ABC , 由 余 弦 定 理 得 cos ?ABC ? 5 2 2 8 AC 2 ? a ? c ? 2 a c cos ?AOC , 即 12 ? 2 a c ? a c ? a c ? 30 , 所 以 5 ? 1 4 a ? c ? a c cos ?AOC ? 24 ,当 ?ACO ? ? arctan 时取“=” ,因此 a ? c 的最大值为 4 2 3
?AOB ?
24. 15. 设 a, b ? Z , 若对任意 x ? 0 , 都有 (ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 , 则 a ? ______ , b ? _______ .
2

答案: a ? 1, b ? ? 2 . 解答:首先令 x ? 0, 知 b ? 0 .其次考虑过定点(0,2)的直线 y ? ax ? 2 ,与开口向上的抛 物线 y ? x ? 2b ,满足对任意 x ? 0 所对应图象上的点不在 x 轴同侧,因此 ? ?2b ?
2

2 . a

6

又 a , b ? Z ,故 a ? 1, b ? ? 2 . 三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 每题 18 分,共 52 分) 16. 设 a, b ? R ,函数 f ( x) ? ax ? b( x ? 1) ? 2 .若对任意实数 b ,方程 f ( x ) ? x 有两个
2

相异的实根,求实数 a 的取值范围. 参考答案: 因为方程 f ( x ) ? x 有两个相异的实根,即方程 ax ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? 0 有两个相异的实数 根,所以
2

?

a?0 , ………………………………4 分 ? x ? (b ? 1)2 ? 4a(b ? 2) ? 0
对任意实数 b 恒成立,所以



?ba ??02(1 ? 2a)b ? 8a ? 1 ? 0
2

?

a?0 ,…………………………………………………12 分 ?b ? 4(1 ? 2a)2 ? 4(8a ? 1) ? 0

解得 0 ? a ? 1 .…………………………………………………………………………16 分

x2 y 2 17 . 已 知 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 a b C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 7 的圆心.
(I)求椭圆 C1 的方程;

3 , 右 焦 点 为 圆 2

(II)若直线 l 与曲线 C1,C2 都只有一个公共点,记直线 l 与圆 C2 的公共点为 A,求点 A 的坐 标. 参考答案: (Ⅰ) 设椭圆 C1 的半焦距长为 c ,则 ? c

?c ? 3 ? a?2 3 ,解得 b ? 1 ,所以椭圆方程为 ? ? 2 ?a

?

x2 ? y 2 ? 1 .………………………………………………………………………………4 分 4
(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线 l 的率存在时,可设直线 l 的 方程为 y ? kx ? m ( k , m ? R ) ,点 A 的坐标为 ( x A , y A ) ,其中 y A ? ?

km ? 3 . 1? k2

? x2 ? ? y 2 ? 1 ,消去 y 得 (1 ? 4 k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4 m 2 ? 4 ? 0 …………(1) 联立方程 ? 4 ? ? y ? kx ? m
7

所以 ?1 ? 16(4k 2 ? m 2 ? 1) ? 0, 即

4k 2 ? m2 ? 1 ? 0 ……………………(2)……………………………………………8 分
联立方程 ?
2 2 ? ?( x ? 3) ? y ? 7 消去 y 得 ? ? y ? kx ? m

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2(km ? 3) x ? m 2 ? 4 ? 0………………(3)
所以 ? 2 ? 16(4 k 2 ? m 2 ? 2 3mk ? 7) ? 0, 即

4k 2 ? m 2 ? 2 3mk ? 7 ? 0 ……………………………(4)…………………………12 分
(2)-(4)得 km ?

3 ……………………………… (5) km ? 3 ? 0 ………………(6)…………………………16 分 1? k2
2

(5)代入(3)得 x A ? ?
2

(6)代入 C2 : ( x ? 3) ? y ? 7 得 y A ? ?2 . 经检验 A(0,2), 或 A(0, ?2) 符合题意,这样点 A 的坐标为 (0, 2), (0, ?2) .…………18 分

1 ? an?1 ? an ? , ? ? bn , n ? N * .证明: a50 ? b50 ? 20 . 18.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 0, b1 ? 0, ? 1 ?bn?1 ? bn ? an ? ?
参考答案: 证明:因为 an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ?
2 2 2 2
49

a b 1 1 ? 2 ? 2( n ? n ) , 所以 2 an bn bn an

2 2 a50 ? b50 ? a12 ? b12 ? ? ( i ?1

49 a b 1 1 ? ) ? 2 ( i ? i) ? 2 2 ai bi ai i ?1 bi

? a12 ? b12 ?
又 an?1bn?1 ? anbn ?

1 1 ? ? 2 ? 2 ? 49 ? 4 ? 4 ? 49 ? 200. ……………………8 分 a12 b12

1 ?2, anbn

所以 a50b50 ? a1b1 ?

?ab
i ?1

49

1

? 2 ? 49 ? 98 ? a1b1 ?
8

i i

1 ? 100.……………………16 分 a1 b 1

所以 (a50 ? b50 ) ? a50 ? b50 ? 2a50b50 ? 200 ? 200 ? 400 .因此 a50 ? b50 ? 20 ……18 分 四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 附加 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 , n ? N * .
2

2

2

2

(I) 证明: ?an ? 是正整数数列; (II) 是否存在 m ? N * ,使得 2015 am ,并说明理由. 参考答案: (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 得
2 2 an ?1 ? 6an an ?1 ? an ? 4 ? 0 ,……………………………… (1) 2

同理可得

2 2 an ? 2 ? 6an ? 2 an ?1 ? an ? 2 ? 4 ? 0 ,………………(2)……………………5 分 2 2

由(1) (2)可知, an , an ? 2 为方程 x ? 6an?1 x ? an?1 ? 4 ? 0 的两根,又 an ? an?2 ,即有

an ? an?2 ? 6an?1 ,即 an?2 ? 6an?1 ? an .
因为 a1 ? 1, a2 ? 5, 所以 an 为正整数.……………………………………………………10 分 (Ⅱ)不存在 m ? N * ,使得 2015 am .…………………………………………………15 分 假设存在 m ? N * ,使得 2015 am ,则 31 a m .
2 一方面, am am? 2 ? am?1 ? 4 ,所以 31 am ?1 ? 4 ,即

2

30 15 30 2 am ?1 ? ?4(mod 31) ,所以 am?1 ? ?4 ? ?2 (mod31) .

由费马小定理知 230 ? 1(mod 31) ,所以 am?1 ? ?1(mod31) …………………………20 分 另一方面, 假设 (am?1 ,31) ? d ? 1 , 则 d 31 , 即 d ? 31 , 所以 31 am ?1 , ( am ?1,31) ? 1 .事实上, 而 31 am?1 ? 4 ,这样得到 31 4 .矛盾.
30 所以,由费马小定理得 am ?1 ? 1(mod 31) .

30

2

这样得到 1 ? ?1(mod 31) .矛盾.所以不存在 m ? N * ,使得 2015 am .………………25 分 附加 2 设 k 为正整数,称数字 1 ~ 3k ? 1 的排列 x1 , x2 , (1) x1 ? x2 ?

, x3k ?1 为“N 型”的,如果这些数满足 ? x3k ?1 .

? xk ?1 ; (2) xk ?1 ? xk ?2 ?

? x2k ?1 ; (3) x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ?

记 dk 为所有“N 型”排列的个数.
9

(I)求 d1 , d2 的值; 参考答案:

(II)证明:对任意正整数 k, dk 均为奇数.

首先注意到 xk ?1 的值只能取 3k ? 1, 3k , 而 x2 k ?1 的值只能取 1, 2,

因为必须有 2k 个值比它小, , 2 k ? 1 这些数字,

, k ? 1 这些数字,因为必须有 2k 个值比它大。 , k ? 1 )时的 N 型排列个数为 d k(i , j ) ,则

记 xk ?1 ? 3k ? 2 ? j , x2 k ?1 ? i ( i , j ? 1, 2,

1?i k ?1? j d k(i , j ) ? C3kk?? 1? ( i ? j ) C3k ?1? ( i ? j ) ? ( k ?1?i ) , d k ?

i , j ?1

?d

k ?1

(i , j ) k

.

化简得

d k(i , j ) ?

(3k ? 1 ? i ? j )! .………………………………………………………10 分 (k ? 1)!(k ? 1 ? i )!(k ? 1 ? j )! d1 ? 5, d 2 ? 71 ………………………………………………………………15 分
( i ,i )

(1) 计算可得

(2) 易知 d k( i , j ) ? d k( j ,i ) , d k

?

(3k ? 1 ? 2i)! ( i ? 1, 2, (k ? 1)!(k ? 1 ? i )!(k ? 1 ? i )!

, d k( k ?1,k ?1) ? 1 . ,k )

当 k ? 1 时,对于所有 i ? 1, 2, ( i ? 1, 2,

, k , d k( i ,i ) 是偶数。事实上对于 x2 k ?1 ? i , xk ?1 ? 3k ? 2 ? i , i ? 1 只能放在 x1 , x2 ,

, k )时的任何一个 N 型排列,此时数字 1, 2,

, xi ?1 的 , x2 k ? 2

位置,数字 3k ? 2 ? (i ? 1), 3k ? 2 ? (i ? 2),

, 3k ? 2 ? 1 只能放在

x3k ? 2?( i ?1) , x3k ? 2?( i ? 2) ,

(字母 N 的两头) , xi , xi ?1 , , x3k ?1 上

, xk 和 x3k ? 2?i , x3k ? 2?( i ?1) ,

的数字可以互换得到一个新的 N 型排列,于是 d k( i ,i ) 是偶数( i ? 1, 2, (也可以从表达式说明

, k ).……25 分

(m ? 2n)! 是偶数( n ? 1) ,它的组合意义就是将 m 个白球,n 个红 m !n !n !

球,n 个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列,交换红蓝球可对应另一种排列。 于是 d k ?

i , j ?1

? d k(i, j ) ? ? d k(i, j ) ? d k( k ?1,k ?1) ?
i ?1

k ?1

k

i ? j ,i , j ?1

?

k ?1

d k( i , j ) 为奇数! ………………………25 分)

10


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