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一个易错概率题的分析及发现_图文

一个易错概率题的分析及发现_图文

第3 O卷 第 3期 
2 0 1 4年 6月  

大  学  数  学 
COLLEGE  M ATHEM ATI CS  

Vo 1 . 3 O, №. 3  

J u n . 2 0 1 4  



个 易错 概 率 题 的分 析 及 发 现 
陈江丽 ,   张  嵘 
( 临 沧 师 范 高 等专 科 学 校 数 理 系 , 云南 临沧 6 7 7 0 0 0 )  

[ 摘

要 ] 分 堆 问 题 是 排 列 组 合 中常 遇 到 的难 题 之 一 . 通 过 一 个 易 错 概 率 题 的分 析 , 推 广 了分 堆 问 题 , 定 

义相 同结 构 , 并对相同结构下的排列组合进行研究 , 给 出 了相 同 结 构 下 的 计 算 公 式 , 并 利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 

性 质 加 以 验证 . 此外 , 还 发现 了一 个 符 号运 算 的 恒 等 式 , 并 进 行 了证 明.   [ 关键词]离散 f 乘 法 原 理 ;相 同 结 构  [ 中 圈分 类 号 ] 0 2 1 1 . 1   [ 文献 标 识 码 ] C   [ 文章 编 号] 1 6 7 2 — 1 4 5 4 ( 2 0 1 4 ) 0 3 — 0 1 0 3 — 0 4  

文[ 1 ] 中P 1 0 9 计 算题 第 5题 : 有4 名 顾 客随 即地 进 入 4家 商 店 中去 , X 表 示 没 有 顾客 进 入 的 商店 
数, 求E X. 最常见 的错 解如 下 :   解  由于 X 表 示没有 顾 客进入 的商 店数 , 故 X 的所 有 可能取 值 为 0 , 1 , 2 , 3 .   这是一 个古 典概 型题 , 运 用乘法 原理 ,  
一 4  一 2 5 6 。  

P ( X— o )一 

=丽 2 4

,  

P ( X一1 )一 

一丽 1 4 4,  



2   =  



一  

,  

一3  一   一  

,  
. 

E X = 0×P ( X= =0 ) +1 ×P ( X— 1 ) + 2×P ( X一2 ) +3 ×P ( X一3 ): 丽 3 9 6≈ 1 . 5 4 7 错误 分 析  X 显然 是一 个离散 型 随机变 量 , 所有 可能 取值 的概 率之 和必 为 1 , 而 错解 中  

P ( X = 0 ) + P ( x 一 1 ) +   ( x = 2 ) + P ( x = 3 ) : 罴+  +  十  一 丽 2 9 2 > 1 ,  
显 然 此解是 错 的. 错 就错 在 P ( X一 2 )中计 算 4人 进两 店 , 每 店各 有 2人 的方 法上 . 我们 将 之作 为一 个 问 
题 来分 析.  

问题 1 问 4 人 进两 店 , 每店各 有 2人有 多少 种不 同 的方法 ?   错解
分析

运用 乘法 原理 , 步骤 1 从 两 店 中选 出一店 , 步骤 2从 4人 中选 出 2人 安排 在 此店 中 , 步骤 3  
—  一1 2种 不 同的方 法.   问题 1 易 错 的原 因是没有 考 虑到相 同结 构 , 本题属( 2 , 2 ) 结 构.   B店 ( 2人 )  
3— 4   2 — 4   2— 3  
】 一 4  

将 剩 下的 2人安排 在 剩下 的店 中 , 即有 

用穷举 法列 出全 部不 同方 法 ,   A店( 2人 )  
1— 2   1— 3   1— 4  
2— 3  

[ 收稿 日期]2 0 1 3 一 O l — i 0  
[ 基 金 项 目] 2 0 1 3年 度 云 南 省 教 育 厅 科 学 研 究 基 金 项 目( 2 0 1 3 C 0 3 7 ) ; 2 0 1 3年 度 临 沧 师 范 高 等 专 科 学 校 科 研 课 题 
( L CS Z L2 0 1 3 0 0 9 )  

1 0 4  
2— 4  

大  学  数  学 
l一 3  

第3 O卷 

3— 4  

1— 2  

共 6种不 同方 法. 在 店 中人数 一样 的情 况下 , 不论 是选 哪个 店先 安排 人 , 方法都 是 相 同的. 错 解 中并不 需  要选 店 , 换句话 说错 解是 认 为选店 的 不同会 造成 结果 的不 同 , 有 2 个 组合 在两 个店 进 行全排 列 , 有2   1 种 
不 同排法 .  

发现

6与 1 2 正 好有 关 系 6一 C :一 C ;   ÷2   1 —1 2 - } - 2. 故 正解 

P ( X_2 ) 一  
此 时 
. 



一  

,  

P( X— O )+ P( X 一 1 )+ P( X 一 2 )+ P( X一 3 )  


旦 +1 4 4 +堕 +  
2 5 6  

2 56 。 2 5 6 。 25 6  

一一 2 5 6: : : 】  
2 5 6  

’  

在 这 里我们 将形 如 
( 2, l , 1 ) ,   ( 2 , 2, 2 ),   ( 2, 3 , 3 ) ,   ( 3 , 3, 1 , 1 ) ,   ( 4, 1 , 1 , 4 ) ,  
( 2, 2, 3 , 3 ),   ( 2 , 2, 3 , 3, 1 ) ,   ( 5, 5 , 5, 9, 9 ),   ( 6, 6, 2, 2 , 7, 7 , 7 )  

等有 相 同数字 的结 构称 为相 同结 构 , 相 同结 构是 我们 在 排 列组 合 中 常会 碰 到 的情 形. 那么, 在 相 同结 构  的计 算 中又有 什么 规律 呢 ?  
问题 2   问 6人 进两 店 , 每店各 有 3人有 多少 种 不 同的方法 ?   我们 用穷 举法 列 出后算 得共 有 2 O种 不 同方法 , 发现 正好 有关 系 2 0一 C 3一   C i ÷2   1 .  

问题 3 问 6 人 进 三店 , 每店 各有 2人 有多少 种 不 同的方 法 ?   错解 运 用乘 法 原理 , 步骤 1 从 三店 中任 选一 店 , 步 骤 2从 6人 中任 选 2人 , 安 排 在 此店 中 , 步骤 3   从剩 下 的两店 中任 选 一店 , 步骤 4从 余下 的 4人 中任 选 2人进 此店 , 步骤 5安排 余 下 的 2人 进 剩 下 的 
店. 故共 有 C   C : C 5 C : : 5 4 0种 .  

分析

此 问题也 是相 同结 构 问题 , 属( 2 , 2 , 2 ) 结构 . 而 用 穷举 法 发 现共 有 9 0种 不 同 的方 法 . 在 店 中 

人 数一 样 的情况 下 , 不论是 选 哪个店 先 安排人 , 方 法都 是相 同的. 错解 中并 不需 要选 店 , 换句 话说 错解 是  认 为选 店 的不 同会造 成结 果 的不 同 , 有 3个组 合 在三个 店 进行 全排 列 , 有 3   1 种不 同排 法.   发现 猜想 9 0与 5 4 0正好有 关 系 9 0一 C i C ;一 C 1   C 2   C { C ; ÷3   1— 5 4 0÷ 6.   在无 次 序要求 相 同结 构下 , 不 同分配 方法 数 等 于按 有次 序 要 求乘 法 原 理 计算 的结 果 除 以各 
同理 , 我们还 进 行 了多次 罗列 , 发 现均符 合 如下规 律 .   种 相 同数字 个数 的 阶乘.  

例 I 将 4本 不 同 的书分 给 3 个 不 同的人 , 其 中有 一人 各 有两 本 , 另 外 两人 各 有一 本 , 问共 有 多少 
种不 同 的分配 方法 .  

分析

此题 属 ( 2 , 1 , 1 ) 结构, 相 同数字仅 有 1 , 相 同数字 的个数 为 2 , 按 乘 法 原理 , 有 a  C i C ; 种 分 
C  1 C  2   C ̄ C1


法, 故 本 题 共 有 
: 36  

!  

种 不 同 的分 配方法 .   例 2 将 6本 不 同 的书 分 给 4个 不 同的 人 , 其 中有 两人 各 有 两本 , 另外 两 人各 有 一本 , 问共 有 多 少 
种不 同 的分配 方法 .  

分析

此题属( 2 , 2 , 1 , 1 ) 结构 , 相 同 数 字 有 1和 2 , 相 同数 字 的个 数 皆为 2 , 按乘 法 原理 , 有 

种分法, 故本题共有 c、 1  2 C  1 C2   C  1 C ̄


_ C _ 二 1 — C 2 _ l C   1 , -  ̄ 2   C ' ( - I一1 o 8 0种不同的分配方法
.  

例3 将1 4本 不 同的书 分给 7个 不 同的人 , 其 中有两 人各 有 三本 , 有 三 人各 有 两 本 , 另外 两 人各 有 


本, 问共有 多少 种不 同 的分配 方法 .  

分析

此题 属 ( 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 ) 结构, 相 同数 字有 1 , 2和 3 , 相 同数 字 的个 数 分 别 为 2 , 3 , 2 . 按乘 法 

第 3期 

陈 江丽 , 等: 一 个 易错 概率题 的分析及 发现 

1 O 5  

原 理 , 有c 1     3   c { c }  a   C ; a   c {  种 分 法 , 故 本 题 共 有  


譬   幽

 

6 3 5 6 7 5 0 4 0 0 0种 不 同 的分 配方 法.   按 此规 律研究 进 店问题 可得 以下几 个 推论.   推论 l   2 m 个人 进两 店 , 每店各 有 m 人 , 共有 点 z= C 7 .一   推论 2   栅 个人 进  个店 , 每 店各 有 m 人 , 共有 
愚   :  c  …  一 

种不 同方 法.  

种不 同方法 .  

推论 3   r / T n+ n个 人进  +口个店 , 其 中有  个 店 ( 扎≥ 2) , 每 店各 有 m 人 , 有 口个 店 , 每 店 各有 

1 人, 共有  1 ±里 m ±    ̄ 1   1 二   半   二 二 二  1   m  

种不同方法

. 

我们可 以通过 离散 型随 机 变 量 的性 质 来 验 证 猜 想 及 推 论 的 正 确 性 . 通 过计算“ 4人 进 4店 ” , …,   “ 8 人 进 8店” , “ 9 人 进 9店”… , “ 1 2人进 1 2店” 等 均可 验证 猜想 及推 论是 成立 的 , 其 中“ 1 2人进 1 2店 ”   就 包含 了 ( 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 ) 等相 同结 构. 下 面我 们仅 就“ 9人 进 9店” 进 行举 例.   例 4 有 9名顾 客随 机地进 入 9家商 店 中去 , X 表示 没有 顾客 进人 的商 店数 , 求 X 的分 布律 .   解 由于 X 表 示没有 顾 客进入 的商 店数 , 故 X 的所 有 可能取 值 为 0 , 1 , 2 , …, 8 .  
, l =9 。 =3 8 7 4 20 4 8 9.  
一   一  





 

一 

一 

,  

P ( x = 2 ) 一  

蔓  
3  l  2  

=丁 8 3 8 2 5 2 8 0
二 2生 1  

,  

P( x=3 ) =  3  1   , 4  

=T 1 6 0 0 3 0 0 8 0
,  

P ( X : 4 ) :  
+  
  ’

型  丝 
主   :— 1 0 5 0 9 — 9 1 2 0
. 

盟  盟 
9  

9  

P ( X一 5 ) 一  
.— —

型  墨 
2 3 49 6 4 8 0  
’  

塑 

丝 

一 —   百 - - 一

P ( X 一6 ) 一  
.— —

翌  壁 
一’  

避 

显兰 

选 

1 5 2 46 0 0  

一 —   广

P( x= 7 ) 一 

:  1 8 3 6 0
,  

P ( x _ 8 ) 一  = 导 ,  
P( X一 0 ) + P( X=1 ) + … + P( X= 8 ) 一1 .  

由此 , 可 验证 推论及 猜想 在“ 9 人 进 9店 ” 中 的应 用 是成功 的 .  

另外 , 在“ 4人进 4店 ” , …, “ 8人进 8店 ” , “ 9人 进 9店 ”… , “ 1 2人 进 1 2店” 等 的计 算 的 过 程 中 , 还 
发 现 了一 些规 律 , 如 

式1 : c { +c { +… + c l: 7 +6 + … + 1:  × .  ± 二 .   :c l;  

式2 : c ; +   + …+  一 7 _   +  

+…+  

:  

星 ± 

:C i
.  

1 O 6  

大  学  数  学 

第 3 0卷 

推论4   ∑c l —c  ( 其中口 为 任意 正整 数) .  
= a  



用 数 学归 纳法证 明.  

( i )当  一 l一 口时 , 即 n— a+ 1时 ,  

一  

= 1,   右式 C   一C 尊 :一 1,   左式 一右式.  

左  ( i i ) 假设当, z —m时, 推论 成立, 即 ∑c : 一c  , 则当  —m +1 时,  
式 

t   口  

, r 一1  

,   1  

∑   ∑c   = = = ∑c : 一∑c 2 +   =   +  
k= 口   k—a   一a  
一  

二  : : : [  二   ±   ±  
( 口+ 1 )!   ‘  

!  二  : : : l   二垒  
口!  

m( m 一 1 ) …( m — a+ 1 ) (   一 口) + m( m 一 1 ) … (   一 a+ 1 ) ( 口+ 1 )   ( 口+ 1 ) !  

m( m一1 ) …( m — n+ 1 ) [ (   一口 ) +( n+ 1 ) ]一 

———————— 干 丁—————一


一  

± 

丝二  : : :   二垒 ± 
( n+ 1 )!  

C 

,  

故 推论 4得 证 .  

[ 参  考  文  献]  
- I 1 ] 叶鹰 , 李萍 , 等. 概率论与数理统计教程E M- I . 2版 . 武汉 : 华 中科 技 大 学 出版 社 , 2 0 0 4  

[ 2 3 茆诗松 , 程依明 , 等. 概率论与数理统计教 程[ M] . 北京 : 高 等 教 育 出版 社 , 2 0 0 5 .   [ 3 3 盛骤 , 谢式千 , 等. 概率论与数理统计 E M] . 北京 : 高等教育出版社 , 2 0 0 8 .  

Th e   Ana l y s i s   a nd   Di s c o v e r y   Ba s e   o n   a  
Fa l l i b l e   Pr o b a b i l i t y   Pr o b l e m 

Z H A N G  Ro n g  
( De p a r t me n t   o f   Ma t h e ma t i c s ,Li n c a n g   Te a c h e r s ’Co l l e g e ,Li n c a n g,Yu n n a n   6 7 7 0 0 0,Ch i n a )  

Ab s t r a c t :Th e   p i l e   p r o b l e m  i s   o n e   o f   t h e   d i f f i c u l t i e s   i n   p e r mu t a t i o n s   a n d   c o mb i n a t i o n s . Th r o u g h   t h e   a n a l y s i s   o f   a   f a l l i b l e   p r o b a b i l i t y   p r o b l e m, t h e   p i l e   p r o b l e m  i s   e x t e n d e d ,t h e   d e f i n i t i o n   o f   s a me   s t r u c t u r e   o f   t h e   p i l e   p r o b l e m  i s   g i v e n . Th e   p e r mu t a t i o n s   a n d   c o mb i n a t i o n s   wi t h   t h e   s a me   s t r u c t u r e   a r e   s t u d i e d,t h e   c a l c u l a t i o n   f o r mu l a   o f   t h e   s a me   s t r u c t u r e   i S   g i v e n,   a n d   a n   e x a mp l e   u s i n g   t h e   p r o p e r t y   o f   d i s c r e t e   t y p e   r a d o m  v a r i a b l e   i s   u s e d   f o r   v e r i f i c a t i o n . I n   a d d i t i o n,a   s y mb o l i c   o p e r a t i o n   o f   i d e n t i t y   i s   f o u n d e d   a n d   p r o v e d .   Ke y   w o r d s :d i s c r e t e ;mu l t i p l i c a t i o n   p r i n c i p l e ;t h e   s a me   s t r u c t u r e  


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