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微分几何第二章曲面论第三节复习2资料_图文

微分几何第二章曲面论第三节复习2资料_图文

第二章 曲面论 §3 曲面的第二基本形式 主要内容 1.曲面的第二基本形式; 2.曲面上曲线的曲率; 3.Dupin指标线; 4.曲面的渐近方向和共轭方向; 5.曲面的主方向和曲率线; 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率; 7.曲面在一点邻近的结构; 8.Gauss曲率的几何意义. 3.2 曲面上曲线的曲率 1.曲面上曲线的曲率 ? ? ( S ) : r ? r (u, v ) ? ? .P n II Ldu2 ? 2 Mdudv? Ndv2 k cos? ? ? I Edu2 ? 2Fdudv ? Gdv2 ?? ? ? ? r? ??u ? ( s), v ? v( s) ? (C ) u r ? r [u( s), v( s)] 2.法截线、法曲率 法截线 S ? 0 n (C ) 0 ? ? 法截线 P. (d ) ? du : dv ? n P. S (C ) ? (d ) ? du : dv 0 ? 0 法截面 法截面 的法曲率kn为: 定义 (法曲率)曲面在给定点沿一方向 ? ?? k0 法截线向n的正侧弯曲 kn ? ? ? ? ? k0 法截线向n的负侧弯曲 定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C ) 具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在 法截线 曲线(C )的密切平面上的投影. 即 kn ? k cos ? R ? Rn cos ? S (C 0 ) ? R (C ) n C C 0 密切平面 法截面 P. (d ) 梅尼埃定理 3.3 杜邦(Dupin)指标线 P. ? rv (? d) N ( x, y) ru ? (S) 定义 在P点沿切方向 (d ) ? du : dv上取一点N, 1 使 PN ? ( k n ? 0), 随切方向 (d )改变, kn N点的轨迹称为曲面 ( S )在P点的杜邦指标线 . ? ? 方程 在标架{ P; ru , rv }下, Lx 2 ? 2 Mxy ? Ny 2 ? ?1 曲面上点的分类 则称点P为曲面的椭圆点 . ( 1 )如果LN ? M 2 ? 0, 此时,杜邦指标线为一 椭圆 . 则称点P为曲面的双曲点 . ( 2 )如果LN ? M 2 ? 0, 此时,杜邦指标线为一 对共轭双曲线 . ( 3 )如果LN ? M 2 ? 0,但L, N , M不全为零, 则称点P为曲面的抛物点 . 此时,杜邦指标线为一 对平行直线. ( 4 )如果L ? N ? M ? 0, 则称点P为曲面的平点. 此时,杜邦指标线不存 在. 3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 1.曲面的渐近方向 向 定义 曲面( S )在点P的杜邦指标线的渐近方 叫做曲面 ( S )在点P的渐近方向 . ?曲面( S )在点P的方向du : dv是渐近方向 ? Ldu2 ? 2 Mdudv ? Ndv 2 ? 0. 渐近方向方程 注 (1) 渐近方向的个数 若LN ? M 2 ? 0, 有两个虚渐近方向 . 即椭圆点, 有两个实渐近方向 . 即双曲点, 若LN ? M 2 ? 0, 若LN ? M 2 ? 0, 有一个实渐近方向 . 即抛物点, 若L ? N ? M ? 0, 任何方向都是渐近方向 . 即平点, II Ldu2 ? 2 Mdudv? Ndv2 ? , ( 2) ? k n ? 2 2 I Edu ? 2Fdudv ? Gdv ? du : dv是渐近方向? kn ? 0. 如果它上面每一点的切 方向都是 定义 曲面上的曲线, 渐近方向, 则称为渐近曲线 . 渐近曲线的方程为: Ldu ? 2 Mdudv ? Ndv ? 0. 定理 曲面( S )上的曲线(C )是渐近曲线 ? 或者(C )是直线 2 2 或者它在每一点的密切 平面与( S )的切平面重合. 定义 曲面( S )上两族渐近曲线构成的 曲线网 ). 称为曲面( S )的渐近曲线网 (简称渐近网 注 只含椭圆点的曲面上, 无渐近曲线, 也 无渐近曲线网 2 由于 LN ? M ? 0, 只含双曲点的曲面上, ?经过每一点有两条渐近 曲线, 2 2 即渐近曲线方程 Ldu ? 2 Mdudv ? Ndv ? 0有两组解: A2du ? B2dv ? 0, 它们构成渐近曲线网 A1du ? B1dv ? 0, 2 由于 LN ? M ? 0, 只含抛物点的曲面上, ? Ldu2 ? 2 Mdudv ? Ndv 2 ? 0可化为 ( Adu ? Bdv )2 ? 0, ?只含抛物点的曲面上只 有一组渐近曲线, 也无渐近曲线网; 由于L ? N ? M ? 0, 只含平点的曲面上, ?曲面上的任何曲线网都 是渐近曲线网 . 命题3 曲纹坐标网是渐近网? L ? N ? 0. 证: 渐近网的方程为: Ldu2 ? 2 Mdudv ? Ndv 2 ? 0. 曲纹坐标网的方程为: dudv ? 0. 即du ? 0或dv ? 0. “? ”若曲纹坐标网是渐近网 则du ? 0或dv ? 0. , 代入渐近网的方程得: L ? N ? 0. “? ” 则渐近网方程变为: 2 Mdudv ? 0. 若L ? N ? 0, ? dudv ? 0. 即渐近网是曲纹坐标网 ? M ? 0, . 2.共轭方向 (d )和(? )是 定义 若曲面( S )在P点的两个方向 ( S )在P点的杜邦指标线的共轭 方向, 则(d )和(? )就称为曲面 ( S )在P点的共轭方向 . Lx 2 ? 2 Mxy ? Ny 2 ? ?1.于是有 ? 杜邦指标线的方程为 定理 两个方向 (d ) ? du : dv和(? ) ? ?u : ?v共轭 ? Ldu?u ? M (du?v ? dv?u) ? Ndv?v ? 0. ? ? ? ?

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