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人教版高中数学3.1.1《两角差的余弦公式》课件(新人教A版必修4)_图文

人教版高中数学3.1.1《两角差的余弦公式》课件(新人教A版必修4)_图文

3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式

问题提出
1.在三角函数中,我们学习了哪些基本 的三角函数公式?
2.对于30°,45°,60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出,利用诱导公式 还可进一步求出150°,210°,315°等 角的三角函数值.我们希望再引进一些公 式,能够求更多的非特殊角的三角函数 值,同时也为三角恒等变换提供理论依 据.

3.若已知α ,β 的三角函数值,那么 cos(α -β )的值是否确定?它与α ,β 的三角函数值有什么关系?这是我们需
要探索的问题.

探究(一):两角差的余弦公式 思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能 判断cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成 立吗?
cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°

思考2:我们设想cos(α -β )的值与α , β 的三角函数值有一定关系,观察下表 中的数据,你有什么发现?

cos(60°- 30°)

cos60°

cos30°

sin60°

sin30°

3 2
cos(120° -60°)
1
2

1

3

3

1

2

2

2

2

cos120° cos60° sin120° sin60°

?1

1

3

3

2

2

2

2

思考3:一般地,你猜想cos(α -β )等 于什么?
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考4:如图,设α ,β 为锐角,且α >
β ,角α 的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP=β ,那么cos(α -β )表示哪条 线段长?
y

cos(α -β )=OM

P1

P

O

M

x

思考5:如何用线段分别表示sinβ 和 cosβ ?

cosβ

y

P1
A
P

sinβ

O

x

思考6:cosα cosβ =OAcosα ,它表示

哪条线段长?

sinα sinβ =PAsinα ,它表示哪条线段

长?

y

sinα sinβ

P1

A

P

C

OB

x

cosα cosβ

思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什

么结论? y
P1
A

sinα sinβ

C

P

O BM x

cosα cosβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

y

1

P1

A

sin
?

?

P

C

cos ?

? ???
?

O

B

M1

x

+ cos? cos ?

sin ? sin ?

思考8:上述推理能说明对任意角α ,β , 都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立吗?
思考9:根据cosα cosβ +sinα sinβ 的 结构特征,你能联想到一个相关计算原 理吗?

思考10:如图,设角α ,β 的终边与单

位圆的交点分别为A、B,则向量 ΟΑ、

ΟB的坐标分别是什么?其数量积是什

么?

y

ΟΑ=(cosα ,sinα )A OB=(cosβ ,sinβ )

B
α

β

O

x

OA OB cos cos sin sin

思考11:向量与的夹角θ 与α 、β 有什 么关系?根据数量积定义,OA OB 等于什么?由此可得什么结论?
y

α =2kπ +β +θ 或 A

β =2kπ +α +θ

θ

B

α

β

O

x

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考12:公式cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 称为差角的余弦公式,记 作 C? ?? ,该公式有什么特点?如何记忆?

探究(二):两角差的余弦公式的变通
思考1:若已知α +β 和β 的三角函数 值,如何求cosα 的值?
cosα =cos[(α +β )-β ]= cos(α +β ) cosβ +sin(α +β )sinβ .
思考2:利用α -(α -β )=β 可得 cosβ 等于什么? cosβ =cos[(α -β )-α ]= cos(α -β )cosα +sin(α -β )sinα .

思考3:若cosα +cosβ =a,sinα +

sinβ

=b,则cos(α cos(? ? ? ) ? a

2-? bβ2

)等于什么? ?2

2

思考4:若cosα -cosβ =a,sinα -
sinβ =b,则cos(α -β )等于什么?

cos(? ? ? ) ? 2 ? a2 ? b2
2

理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.

例2 已知sin

4 ,cos 5

5,

,,

13

2

β 是第三象限角,求cos(α -β )的值.

例3 已知 cos( )cos sin( )sin 1 ,

3

且 ? ? ?? 3? ,2? ?? , 求 cos(? ? ? ) 的值.

?2 ?

4

小结作业
1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧,如 数形结合,化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等,我们要深刻理解和 领会.
2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求 该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该 角所在的象限,从而确定该角的三角函 数值符号.

3.在差角的余弦公式中,α ,β 既可以 是单角,也可以是复角,运用时要注意 角的变换,如,2β =(α +β )-(α -β )
( ) 等. 同时,公式的应用具有
66
灵活性,解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.
作业: P127练习:1,2,3,4.


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