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微分方程的解法及应用习题课PPT课件

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第七章 习题课 (一) 一阶微分方程的 解法及应用 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 三个标准类型 代换自变量 变量代换法 代换因变量 代换某组合式 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求下列方程的通解 1 y3 ? x (1) y? ? 2 e ? 0; y (3) x y? ? x 2 ? y 2 ? y ; 提示: (1) 因 e y3 ? x y3 x 3x 2 ? y 2 (2) y? ? ; 2 xy 1 ? (4) y ? . 2 2x ? y ? e e , 故为分离变量方程: 通解 ? y e d y ? e xdx 1 ? y3 e ? ex ? C 3 2 ? y3 令 y = u x ,化为分离变量方程: (2) 这是一个齐次方程 , 2u d u d x ? 2 x 3?u 目录 上页 下页 返回 结束 (3) x y? ? x 2 ? y 2 ? y 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. y y? ? 1 ? ? x ? 2 y ? x 2 xu ? ? 1 ? u 2 xu ? ? ? 1 ? u 2 dx 2 化为 ? 2 x ? ? y , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 . 目录 上页 下页 返回 结束 y y? ? ? 1 ? ? x ? 0 时, x 1 (4) y? ? 2x ? y2 ? y ? x 例2. 求下列方程的通解: (1) x y? ? y ? y ( ln x ? ln y ) (2) 2 x ln x d y ? y ( y 2 ln x ? 1) d x ? 0 3x 2 ? y 2 ? 6 x ? 3 (3) y? ? 2x y ? 2 y 提示: (1) 原方程化为 du u ? ln u (分离变量方程) 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 dy 1 y3 ?2 ? y?? (伯努利方程) 令 z ? y d x 2 x ln x 2x 目录 上页 下页 返回 结束 3x 2 ? y 2 ? 6 x ? 3 (3) y? ? 2x y ? 2 y d y 3 ( x ? 1) 2 ? y 2 化方程为 ? dx 2 y ( x ? 1) d y d y dt d y ? ? 令t=x–1,则 dx d t dx d t d y 3t 2 ? y 2 (齐次方程) ? dt 2ty 令y=ut 可分离变量方程求解 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设F(x)=f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(-∞,+∞) 内满足以下条件: f ?( x) ? g ( x), g ?( x) ? f ( x), 且 f (0) ? 0, f ( x) ? g ( x) ? 2 e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (2003考研) 解: (1) ? F ?( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? g 2 ( x) ? f 2 ( x) ? [ g ( x) ? f ( x)]2 ? 2 f ( x)

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