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辽宁省朝阳县柳城高级中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题

辽宁省朝阳县柳城高级中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题

试卷满分 150 分

考试时间 120 分钟

一、选择题(每题 5 分,共计 60 分) 1、若集合 A ? ? x x ≤3, x ? Z? , B ? ? x x 2 ? 4 x ? 3 ≤0, x ? Z? ,则( A. “ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件但不是必要条件 B. “ x ? A ”是“ x ? B ”的必要条件但不是充分条件 C. “ x ? A ”是“ x ? B ”的充要条件 D. “ x ? A ”既不是“ x ? B ”的充分条件,也不是“ x ? B ”的必要条件 2、 命题“ ?x ? 0, x 2 ? x ? 0 ”的否定是( A. C.
?x ? 0, x 2 ? x ? 0 ?x ? 0, x 2 ? x ≤0




?x ? 0, x 2 ? x ≤0

B. D.

?x ≤ 0, x 2 ? x ? 0

3、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 A.
1 2

y 的最大值是( x



B.

3 3

C.

3 2

D. 3 ). D、 y ? 2 x

4、曲线 y ? ? x3 ? 3x 2 在点 (1, 2) 处的切线方程为( A、 y ? 3 x ? 1 B、 y ? ?3 x ? 5

C、 y ? 3 x ? 5

5 、 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) , 且 x ? 0 时 ,
f ?( x) ? 0,g ?( x ) ? 0 ,则 x ? 0 时(

) B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

6、函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( A、 ?? 1,0? B、 ?2,8? C、 ?1,2? D、 ?0,2?

7、已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B,若 16 9 |AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于( )

A.11
3

B.10
2

C.9

D.16

8、函数 f(x)=x +3x +4x-a 的极值点的个数是( A、2 B、1 C、 0

).

D、由 a 确定 )

9、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是(

A.4 B.5 C.6 D.7 2 10、过 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分 1 1 别是 p、q ,则 ? ? ( ) p q 1 4 A、 2a B、 C、 4a D、 2a a 11、若 sin 2 x 、 sin x 分别是 sin ?与 cos? 的等差中项和等比中项,则 cos 2 x 的值为 ( )
1? 33 1? 33 1? 2 C、 D、 8 8 4 12 、 已 知 函 数 f ( x) ? ln x ? a x 2 ? 2 x 存 在 单 调 递 减 区 间 , 则 a 的 取 值 范 围 是 2 ( ).

A、

1? 33 8

B、

A、 [?1, ??)

B、 (?1, ??)

C、 (??, ?1)

D、 (??, ?1]

二、填空题(每题 5 分,共计 20 分) 13、命题 P:关于 x 的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对 x ? R 恒成立; 命题 Q:f(x)=-(1-3a-a2)x 是减函数.若命题 PVQ 为真命题,则实数 a 的取 值范围是________. 14、若

1 9 ? ? 1( x, y ? R? ) ,则 x ? y 的最小值是 x y
2 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 3

15、点 P 在曲线 y ? x 3 ? x ?

? 的取值范围是
16、已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且

?F1 PF2 ? 60 ? , S ?PF1F2 ? 12 3 .该双曲线的标准方程为
三、解答题(共计 70 分,其中 17 题 10 分,其它各题均为 12 分)

x 17、 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数, 若 且对一切 x ? 0 满足 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . y

(1)求 f (1) 的值;
1 (2)若 f (6) ? 1, 解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 . x

18、设函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围. 3] 19、用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比 为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多 少?

20、已知双曲线
3 . 2

x2 y2 2 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的 ? 2 ? 1 的离心率 e ? 2 3 a b

距离是

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为 圆心的圆上,求 k 的值.

21、设函数 f(x)= 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 1 ,其中 a ? 1 (1)求 f(x)的单调区间; (2)讨论 f(x)的极值

22、设 F1 , F2 分别是椭圆的

x2 ? y 2 ? 1 左,右焦点。 4

5 → → (1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且PF2 ·PF1 = . 4 求点 P 的坐标。

(2) 设过定点 M (0,2) 的直线与椭圆交于不同的两点 A, B , ?AOB 为锐角 且 (其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。

文科数学答案

18、解: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,
3 2

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, 时, f ?( x) ? 0 ; 1) 2) 当 x ? (2, 时, f ?( x) ? 0 . 3)

所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 则当 x ? ? 0, 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 3? 有 因为对于任意的 x ? ? 0, , f ( x) ? c 恒成立, 所以
2

解得 9 ? 8c ? c 2 ,

c ? ?1 或 c ? 9

19、解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 18 ? 12 x 3? ? h? ? 4.5 ? 3x(m) ? 0<x< ? .-------2 分 4 2? ? 故长方体的体积为
V ( x) ? 2 x 2 (4.5 ? 3x) ? 9 x 2 ? 6 x 3 (m 3 ) 3 (0<x< ). ---------4 分 2

从而 V ?( x) ? 18 x ? 18 x 2 (4.5 ? 3x) ? 18 x(1 ? x). ---------------6 分 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1.------7 分 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0,--------9 分 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=9×12-—6×13=3(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m.---11 分 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大, 最大体积为 3 m3。-----------12 分 20 解 : ∵ ( 1 ) c ? 2 3, 原 点 到 直 线 a 3
ab a ?b
2 2

AB : x ? y ? 1 的 距 离 a b

d ?

? 3.

ab 3 ? . c 2 .

? b ? 1, a ?

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x0 , y 0 ) ,则
x0 ? y ?1 x1 ? x2 15k 5 1 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , k BE ? 0 ?? . 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 x0 k

? x0 ? ky 0 ? k ? 0,



15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 ,故所求 k=± 7 . 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
21、解:由已知得 f ?( x) ? 6 x?x ? (a ? 1)? ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x 2 ? a ? 1 ---2 分 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 6 x , f (x) 在 (??,??) 上单调递增;------4 分
2

当 a ? 1 时, f (x) 在 (??,0) 上单调递增;在 (0, a ? 1) 上单调递减;在 (a ? 1,??) 上单调递 增;-------6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时,函数 f (x) 没有极值;---------9 分

当 a ? 1 时 , 函 数 f (x) 在 x ? 0, 处 取 得 极 大 值 , 在

x ? a ?1 处 取 得 极 小 值

1 ? (a ? 1) 3 .-------12 分
22、解: (Ⅰ)易知 a ? 2, b ? 1, c ?

3。

? F1 (? 3 ,0), F2 ( 3 ,0).设p ( x, y )( x ? 0, y ? 0).则

5 x2 PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x,? y) 3 ? x,? y ) ? x ? y ? 3 ? ? , 又 ? y ? 1 , ( ( 4 4
2 2

????????????3 分

7 ? 2 2 ?x ? 1 ?x 2 ? 1 ?x ? y ? 4 3 ? ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? 3 , p (1, ) ??????5 分 2 ?x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? 4 ? 2 ? ?4 ?
(Ⅱ)显然 x ? 0不满足题设条件 ????????????????6 分 可设 l的方程为y ? kx ? 2, 设A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ).

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2) 2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
? x1 x 2 ? 12 16k , x1 ? x 2 ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 2

??????????????7 分

由 ? ? (16k ) ? 4 ? (1 ? 4k ) ? 12 ? 0 得k2 ?

16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0,4k 2 ? 3 ? 0
????????????????8 分

3 4

1 ○


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