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2019年河南省开封市高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案

2019年河南省开封市高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5
20xx 年一模数学试题(理科)

? ? 1.已知集合 A ?

x?x2 ? x ? 2 ? 0, x ? R

,B

?

? ?

x

?

x x ?1

?

1,x

?

Z

? ?

,则

A

?

B

=(

?

C



A. (0,1)

B. ?0,1?

C.?0,1?

D.?0,1, 2?

2.设 i 是虚数单位,复数 (a∈R)的实部与虚部相等,则 a=( B )

A.﹣1

B.0

C.1

D.2

3.已知命题 p :方程 x2 ? 2ax ?1 ? 0 有两个实数根;命题 q :函数 f ? x? ? x ? 4 的最小值为 4 .给
x

出下列命题:① p ? q ;② p ? q ;③ p ? ?q ;④ ?p ? ?q .则其中真命题的个数为 C

A.? 1 B.? 2 C.? 3 D.? 4

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=54,则 a2+a4+a9=( C )

A.9

B.15

C.18

D.36

5.如图,ABCD 为矩形,C、D 两点在函数 f ? x? ? x2 ? 2x ? 2 的图象上,

点 A、B 在 x 轴上,且 B(1, 0) ,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自

阴影部分的概率等于(B)

A. 4 15

B. 2 5

C. 1 2

D. 8 15

6.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学 名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,

若输入 a , b , i 的值分别为 8,10,0 ,则输出 a 和 i 的值

分别为( B )

A. 2 , 4 C. 0 , 4

B. 2 , 5 D. 0 , 5

7. 已知函数 g(x),h(x) 都是 R 上的奇函数, f (x) ? ag(x) ? bh(x) ? 2 ,且 f (x) 在 ?0, ??? 上最大 值为 8,则 f (x) 在 ???,0? 上的最小值是 C
A.? ?8 B.? ?6 C.? ?4 D.? 6 8.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,如果
,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( C )

A.

B.

C.

D.1

解:由图知,T=2×

=π,∴ω=2,因为函数的图象经过(﹣

+?)∵

,所以 ?= ,



),0=sin(﹣ ,所以

9. 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,
则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为 A

H

A

G

A

B I

C

侧视 B

C

B

B

B

B

E

D

F

图1

E

D

F

图2

E A

E B

E C

E D

10. 某学校安排 A、B、C、D、E 五人进入 3 个班,每个班至少住 1 人,且 A、B 不能在

同一班,则不同的安排方法有( )种.D

A.24

B.48

C.96

D.114

11.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0),过 F 且垂直于 x

轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为 A,B,若 A 为 BF 的 中点,则双曲线的离心率为( A )

A.

B.

C.2

D.3

12. 已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为

A.

? ??

-2,2 3

? ??

B.

? ??

-1,2 3

? ??

C.

? ??

-1,1 2

? ??

D.

? ??

-2,1 2

? ??

13.已知向量 =(1,2), =10,| + |= ,则| |=( C )

A.

B.

C.5

D.25

14.已知点 P 是抛物线 y2=8x 上一动点,设点 P 到此抛物线准线的距离为 d1 ,到直线 x+y

-10=0 的距离为 d2 ,则 d1 ? d2 的最小值是

.62

15.已知矩形 ABCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正四棱柱,则这个正四棱柱的外接球表面

积的最小值为

. 9?

16.

已知数列{an}满足:a1=2, an?1

? an2

? nan

?1,记 bn= 1 an an?1

,则数列{bn}的前 n 项和

Sn=

.1? 1

2 n?2

17.(本小题满分12分)
在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B+C)=1.

(I)求角 A 的大小;

(II)若AB=3,AC边上的中线BD的长为 13 ,求△ABC的面积.
解:(I)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0.
解得 cos A=12或 cos A=-2(舍去).
因为 0<A<π,所以 A=π3.

(II) 在 ?ABD 中 , AB ? 3 , BD ? 13 ,

A?? 3 ,利用余弦定理,

AB2 ? AD2 ? 2 ? AB? AD? cos A ? BD2 ,解得 AD ? 4 ,又? E 是 AC 的中点 ? AC ? 8

S ?ABC

?

1 2

?

AB?

AC ? sin

A

?

6

3 .

18.(本小题满分12分)

已知在四棱锥 P ? ABCD中,,O 为 AB 中点,平面POC ?

平面 ABCD ; AD// BC , AB ? BC , PA ? PB ? BC ? AB ? 2, AD ? 3. (Ⅰ)求证:平面 PAB ?面 ABCD (Ⅱ)求二面角 O ? PD ? C 的余弦值. (Ⅰ)证明: AD// BC , AB ? BC , BC ? AB ? 2 , AD ? 3.
?OC ? 3,AD ? 2 2,CD ? 5

P

A

O

B

C

OC 2 ? OB2 ? BC2 ? 5

?OC ? CD 即 CD ? 平面POC

?CD ? PO

PA ? PB ? AB, O 为 AB 中点 PO ? AB PO ?底面 ABCD

CD ? 平 面 P O C ? 平 面 P A B? 面

z

ABCD……………6 分

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系

P

O ? xyz ,则 P(0,0, 3) ,

D(?1,3,0) , C(1,2,0)

OP ? (0,0, 3),OD ? (?1,3,0),

A

CP ? (?1, ?2, 3),CD ? (?2,1,0)

O

假 设 平 面 O P D的 一 个 法 向 量 为

m ? (x1, y1, z1) ,

B

平面 PCD的法向量为 n ? (x2 , y2 , z2 ) 则 x



??OP ? ? ??OD ?

m m

? ?

0 0

可得

? ? ??

3z1 ? 0 x1 ? 3y1

?


0

C
第 18 题图

取 y1 ? 1,得 x1 ? 3 , z1 ? 0 ,即 m ? (3,1,0) ,



??CP ? ??CD

?n ?n

? ?

0 0

可得

?? ? ??

x2 ? 2 2x2 ?

y2 y2

? ?

3z2 0

?

0 ,取 x2

?

3 ,得 y2 ? 2 3 , z2 ? 5 ,

D
D y

即 n ? ( 3,2 3,5) cos ? m, n ?? m ? n ? 5 3 ? 3
m n 10 40 4 故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为 3 .……………12 分
4
19.(本小题满分12分) 从那些只乘坐一号线地铁,且在市中心站出站的乘客中随机选2人,记X为这2人乘坐地 铁的票价和,根据统计图,以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;

20.(本小题满分12分) 已知平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的中心为坐标原点,左右焦点分别为 F1, F2 ,过椭圆右焦点 F2 斜
率为1的直线交椭圆于 A, B 两点,且 OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 ,直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,坐标原点 O 到

直线 l 的距离为 3 ,求 ?POQ 面积的最大值. 2

解:(1)设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b

?

0),

右焦点

F (c, 0), c

?

0

,则直线方程为

y

?

x

?

c

,设

A(x

1,y

1),

B(x

,

2y

)2



?y ? x?c ??b2 x2 ? a2 y2

?

a2b2

?

0

?

(b2

?

a2 )x2

?

2a2cx

?

a2c2

?

a2b2

?

0

??0

? x1

?

x2

?

2a2c b2 ? a2

, x1x2

?

a2c2 b2

? ?

a2b2 a2

,得

y1

?

y2

?

x1

?c

?

x2

?c

?

?

2b2c b2 ? a2

…………2



OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线 ? 3( y1 ? y2 ) ? (x1 ? x2 ) ? 0

?

3

?

(?

2b2c b2 ? a

2

)

?

2a2c b2 ? a2

?

0

?

a2

? 3b2

?

e

?

6
…………4 分
3

(2)由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为 a ? 3 ,得椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1
3

①当 AB⊥ x 轴时, AB ? 3 .…………5 分

②当 AB 与 x 轴不垂直时,

设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .由已知 m ? 3 ,得 m2 ? 3 (k 2 ?1)

1? k2 2

4

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ?1)x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

?6km

3(m2 ?1)



A(x1,y1) ,

B(x2,y2 )

,则

x1

?

x2

?

3k 2

, ?1

x1x2

?

3k 2 ?1

…………6 分

?

AB 2

? (1? k2 )(x2

? x1)2

?

(1

?

k

2

)

? ? ?

36k (3k 2

2m2 ?1)2

?

12(m2 ?1) 3k 2 ?1

? ? ?

= 3(k 2 ?1)(9k 2 ?1) (3k 2 ?1)2

?

3?

12k 2 9k 4 ? 6k 2

?1

?

3?

9k 2

12

?

1 k2

?6

(k

?

0) ≤ 3 ?

12 2?3? 6

?

4 .…………9



当且仅当 9k 2

?

1 k2

,即 k

?

?

3 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3

3 ,…………10 分

综①②所述, AB ? 2 .…………11 分 max

?当 AB 最大时, △AOB 面积取最大值 S ? 1 ? AB ? 3 ? 3 . …………12 分

2

max 2

2

21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=(x3﹣6x2+3x+t)ex,t∈R. (Ⅰ)当 t ? 1时,函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)若函数y=f(x)有三个不同的极值点,求t的值; (Ⅲ)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整数
m的最大值. 解:(Ⅰ)函数f(x)=(x3﹣6x2+3x+t)ex, 则f′(x)=(x3﹣3x2﹣9x+3+t)ex, 函数f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=3+t, 由题意可得,3+t=4,解得,t=1; (Ⅱ) f′(x)=(x3﹣3x2﹣9x+3+t)ex, 令g(x)=x3﹣3x2﹣9x+3+t,则方程g(x)=0有三个不同的根, 又g′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x2﹣2x﹣3)=3(x+1)(x﹣3) 令g′(x)=0得x=﹣1或3 且g(x)在区间(﹣∞,﹣1),(3,+∞)递增,在区间(﹣1,3)递减,

故问题等价于

,即有

,解得,﹣8<t<24;

(Ⅲ)不等式f(x)≤x,即(x3﹣6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x.

转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],

不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立.

即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1,m]上恒成立.

即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1,m]上恒成立. 设φ(x)=e﹣x﹣x2+6x﹣3,则φ'(x)=﹣e﹣x﹣2x+6. 设r(x)=φ'(x)=﹣e﹣x﹣2x+6,则r'(x)=e﹣x﹣2. 因为1≤x≤m,有r'(x)<0,故r(x)在区间[1,m]上是减函数. 又r(1)=4﹣e﹣1>0,r(2)=2﹣e﹣2>0,r(3)=﹣e﹣3<0 故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ'(x0)=0. 当1≤x<x0时,有φ'(x)>0,当x>x0时,有φ'(x)<0. 从而y=φ(x)在区间[1,x0]上递增,在区间[x0,+∞)上递减. 又φ(1)=e﹣1+4>0,φ(2)=e﹣2+5>0,φ(3)=e﹣3+6>0,φ(4)=e﹣4+5>0, φ(5)=e﹣5+2>0,φ(6)=e﹣6﹣3<0. 所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;当x≥6时,恒有φ(x)<0. 故使命题成立的正整数m的最大值为5. 【点评】本题考查利用导数求切线方程、函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等
式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值.

22.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系

xOy

中,曲线

C1:??? xy

? ?

r r

cos? sin?

(? 为参数),(0<? <4).

曲线

C2:

?? ?

x

?

2

?

2

?? y ? 2 ? 2

2 cos? 2 sin?

(? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系,射线?

??

(0

?

?

?

? 2

)

与曲线

C1

交于

O,

N

两点,与曲线 C2

交于 O, P

两点,且 |

PN

| 最大值

为2 2

(Ⅰ)将曲线 C1 与曲线 C2 化成极坐标方程,并求 r 的值;

(Ⅱ)射线?

??

?

? 4

与曲线 C1 交于 O, Q 两点,与曲线 C2

交于 O, M

两点,求四边形 MNPQ 面积

的最大值.

(Ⅰ) C1 : ? ? 4

2 sin(? ? ? ) , 4

C2 : ? ? r

| PN |?| ?P ? ?N |?| 4

2

sin(?

?

? 4

)

?

r

|max

=

2

2 ,? r ? 2

2



? C2 : ? ? 2

2

(Ⅱ) S四边形

?

S?OPQ

? S?OMN

?

1 OP ? OQ sin ?

2

4

?

1 OM 2

? ON sin ? 4

……4 分

? 1 ? 4 2 sin(? ? ? ) ? 4 2 sin(? ? ? ) ? 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 2 ? 2

2

4

2 22

2

? 4 2 sin(2? ? ? ) ? 4 ? 2 2 4

当? ? ? 时,面积的最大值为 4 ? 2 2 8

23. (本小题满分10分)
设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0.
(Ⅰ)若 a ? -2 求不等式 f ? x? ? f ?2x? ? 2 的解集;

(Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围.

解:(Ⅰ) ??x ?

x

?

?2或x

?

?

2?

3

? ?

……………5 分

(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a;

当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a;

当 x 时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .

则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞),

不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为

>﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是(﹣1,0). ……………10 分

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