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东北育才学校2012-2013学年度上学期期末考试高三理科数学

东北育才学校2012-2013学年度上学期期末考试高三理科数学


东北育才学校 2012-2013 学年度上学期期末考试 高三年级数学试题(理) 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.设全集 U ? {x ? N | x ? 6} ,集合 A ? {1,3}, B ? {3,5} ,则 (CU A) ? (CU B) ? ( ) A.{2,4}
2

B.{2,4,6}

C.{0,2,4}

D.{0,2,4,6}

2.若复数 (a ? 1) ? (a ? 1)i(i为虚数单位 是纯虚数,则实数 a ? ( ) ) A.±1 B. ? 1 C.0 D.1 3.已知 {an } 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 ,则 a1a7 ? 2a3 a7 ? a3 a9 ? ( ) A.10 B.20 C.60 D.100
2

开始

4.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 ,

| AB ? AC |?| AB ? AC | ,则 | AM |? (

) )

输入非零正整数 A,B N B≠0 Y C=A 除以 B 的余数 结束 输出 A

A.2 B.4 C.6 D.8 5.右图的算法中,若输入 A=192,B=22,输出的是( A.0 B.2 C.4 D.6 6.给出命题 p:直线 l1:ax ? 3 y ? 1 ? 0

与l2:x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行的充要条件是 a ? ?3 ; 2 命题 q:若平面 ? 内不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? ∥ ? 。
对以上两个命题,下列结论中正确的是 A.命题“p 且 q”为真 C.命题“p 且┓q”为假 ( ) B.命题“p 或 q”为假 D.命题“p 且┓q”为真

A=B,B=C

?x ? 1 ? 7.若关于 x, y 的不等式组 ? x ? y ? 2 表示的区域为三角形,则实数 a 的取值范围是 ? y ? ax ?
A. (-∞,1) B. (0,1) C. (-1,1) D. (1,+∞)





8. 把五个标号为 1 到 5 的小球全部放入标号为 1 到 4 的四个盒子中, 不许有空盒且任意一个小球都不能放 入标有相同标号的盒子中,则不同的方法有 ( ) A.36 种 B.45 种 C.54 种 D.84 种 9.设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的 部分图像如图所示, △KLM 为等腰直角三角形, ∠ KLM =90°,| KL |=1,则 f ( ) 的值为 (

y

x 1 1 3 3 A. ? B. ? C. ? D. 4 2 4 4 M 0) , 10.已知点 M (?3,0)、N (3, 、B(1 0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交
于点 P,则 P 点的轨迹方程为 A. x ?
2 2

1 6



K O

L


2



y y 2 ? 1( x ? 1) ? 1( x ? 0) B. x ? 8 10 y2 y2 2 2 ? 1( x ? 0) ? 1( x ? 1) C. x ? D. x ? 8 10 3 2 11.函数 f ( x) ? x ? bx ? 1有且只有两个不同的零点,则 b 的值为 (
3



A.

4 2

3

B.

2 2

C.

33 2 2

D.不确定

12.已知三边长分别为 4、5、6 的△ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一点,若点 P 到△ ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P-ABC 的体积为( )

A.5

B.10

C.20

D.30

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

a 6 ) 的展开式中 x 2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a ? 。 x 14.已知函数 f ( x) ? kx ? 1 ,其中实数 k 随机选自区间[-2,1],则对 ?x ? [?1,1] ,都有 f ( x) ? 0 恒成立
13.设二项式 ( x ? 的概率是 。
3

15.若某几何体的三视图(单位:㎝)如图所示, 则此几何体的体积等于 ㎝?。 16.定义函数 f ( x) ? [ x· ]] ,其中 [x ] 表示不超过 x 的 [x 为集合 A,记 A 中的元素个数为 an , 则

4 正视图 2 4 2 俯视图 侧视图

最大整数,当 x ? ?0, n?(n ? N * ) 时,设函数 f (x) 的值域

a n ? 49 的最小值为 n



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (Ⅰ)求 sin 2? ? tan ? 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? cos(x ? ? ) cos? ? sin(x ? ? ) sin ? , 求函数 y ?

3f (

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间

[0, ] 上的值域。 2
18. (本小题满分 12 分) 如图,已知平行四边形 ABCD 和平行四边形 ACEF 所在的平面相交于 直线 AC,EC⊥平面 ABCD,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF= 3 。 (I)求证:AC⊥BF (II)求二面角 F-BD-A 的大小 19. (本小题满分 12 分) 第 12 届全运会将于 2013 年 8 月 31 日在辽宁沈阳举行,组委会在沈阳某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单 男 女 位: , ㎝) 若身高在 175 ㎝以上 (包括 175 ㎝) 定义为“高个子”, 身高在 175 ㎝以下(不包括 175 ㎝)定义为“非高个子”,且只 9 15 7 7 8 9 9 有“女高个子”才担任“礼仪小姐”. 9 8 16 1 2 4 5 8 9 (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子” 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 中共抽取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人, 求至少有一人是“高个子” 7 4 2 1 18 0 1 的概率? 1 19 (II)若从所有“高个子”中选出 3 名志愿者,用ξ 表示所 选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出ξ 的分布列,并求ξ 的数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1 (?2,0), A2 (2,0) ,再取两个动点 N1 (0, m)、N 2 (0, n) 且 mn =3. (Ⅰ)求直线 A1 N 1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程; 的倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标 21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? 1 ? a ln x(a ? 0) . (II)已知 F2 (1,0) ,设直线 l : y ? kx ? m 与(I)中的轨迹 M 交于 P 、 Q 两点,直线 F2 P 、 F2 Q

?

(Ⅰ)当 x>0 时,求证: f ( x) ? 1 ? a (1 ? ) ; (II)在区间(1,e)上 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的范围; (Ⅲ)当 a ?

1 x

1 * 时,求证: f (2) ? f (3) ? ? ? f (n ? 1) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) ( n ? N ) 2

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做题时用 、 、 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.略 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ) 试分别将曲线 Cl 的极坐标方程 ? ? sin ? ? cos? 和曲线 C2 的参数方程 ?

?x ? sin t ? cost (t 为参 ? y ? sin t ? cost

数)化为直角坐标方程和普通方程: (II)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线 Cl 和曲线 C2 上爬行,求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁 为点) . 24.略

2012—2013 学年度上学期期末考试网 高三年级理科数学答案 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的. 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.A 11.C 12.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ? 3 14.

2 3

15.

212 ? 3

16.

19 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解: (Ⅰ)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) , 所以 sin ? ?

1 3 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 3 2

???3 分

3 3 3 ???6 分 ? ?? 2 3 6 (Ⅱ) f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x , x ? R ? ? ? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ???9 分 2 6 1 ? ? 5? 1 ? ? ? 0 ? x ? ? , ? ? ? 2x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 2 6 6 6 2 6 6 ? 1 2 故函数 y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的值域为 [?2,1] . ???12 分 2 2 2 2 2 18.解: (Ⅰ)∵CD= AB ? 1, AD ? 2 , ?ADC ? 600 , ∴AC? 3 ,满足 CD ? CA ? AD AF = ∴ CD ? CA ???2 分 又 EC ? 平面 ABCD ,故以 CD 为 x 轴,CA 为 y 轴,以 CE 为 z 轴建立空间直角坐标系, 其中 C(0,0,0),D(1,0,0),A(0, 3 ,0),F(0, 3 , 3 )B(-1, 3 ,0) ???4 分 ??? ??? ? ? ∴ CA ? 0, 3,0 , BF ? 1,0, 3 , DF ? ? 1, 3, 3 ∴ CA ? BF ? 0 ∴ AC ? BF ??6 分 ? ?? (Ⅱ)平面 ABD 的一个法向量 n ? (0,0,1), 设平面 FBD 的一个法向量 m ? ( x, y, z) ??? ? 且 DB ? (?2, 3,0) , DF ? ? 1, 3, 3 ?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ??? ? ? ?2 x ? 3 y ? 0 ? m ? DB ? 0 ? ? 由 ? ?? ???? 得? ???8 分 ?m ? DF ? 0 ?? x ? 3 y ? 3z ? 0 ? ? ? 3 y ?x ? ∴? ???10 分 2 ,令 z ? 1 得 m ? ? 3,?2,1 , ? y ? ?2 z ? ?? ? 2 2 ∴ cos ? m, n ?? 故所求二面角 F—BD—A 的大小为 arccos ???12 分 4 4

?

?

19.(Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”12 人, “非高个子”18 人, 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?

5 1 ? , 30 6
???3 分

1 1 ? 2 人, “非高个 子”有 18 ? ? 3 人. 6 6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” ,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个子”被选中” , 则 P( A) ? 1 ?
2 3 7 C3 ? 1? ? . 2 10 10 C5

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 (Ⅱ)依题意, ? 的取值为 0, 1, 2, 3 .

7 . 10

????6 分

P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

3 C8 14 ? 3 C12 55



P(? ? 1) ?

2 C1 C8 28 4 ? 3 C12 55



P(? ? 2) ?

C2C1 12 4 8 ? 3 C12 55



C3 1 4 . ? 3 C12 55

因此, ? 的分布列如下:

?
?10 分

0
14 55

p

? E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1 ????12 分. 55 55 55 55

20.解: (Ⅰ)依题意知直线 A1 N1 的方程为: y ?

m ( x ? 2) 2 n 直线 A2 N 2 的方程为: y ? ? ( x ? 2) 2
2

① ②

设 Q ( x, y ) 是直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点,①×②得 y ? ? 由 mn ? 3 整理得

mn 2 ( x ? 4) 4
???4 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

∵ N1 , N2 不与原点重合

∴点 A (?2,0), A2 (2,0) 不在轨迹 M 上∴轨迹 M 的方程为 1

x2 y 2 ? ?1 4 3

( x ? ?2 ) ???5分 (Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为零,

? y ? kx ? m ? 联立方程 ? x 2 ,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 设 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y 2 ) ,则 y2 ? 4 ? 3 ?1 ? ? 8km ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? 4k 2 kx ? m kx ? m ? ,且 k F2 P ? 1 , k F2Q ? 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 x 2 ? 4m ? 12 2 ? 3 ? 4k ? kx ? m kx2 ? m 由已知 ? ? ? ? ? ,得 k F2 P ? k F2Q ? 0 , ? 1 ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 化简,得 2kx1 x2 ? (m ? k )(x1 ? x2 ) ? 2m ? 0
代 入 , 得 2k

4m 2 ? 12 8m k(m ? k ) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ 整理得 m ? ?4k .

∴直线 PQ 的方程为 y=k(x-4),因此直线 PQ 过定点,该定点的坐标为(4,0). 21(Ⅰ)证明:设 ? ?x ? ? f ?x ? ? 1 ? a?1 ? 1 ? ? a ln x ? a?1 ? 1 ?, ?x ? 0? ? ? ? ? 则 ? ??x ? ? 立.
a a ? ? 0 ,则 x ? 1 ,即 ? ?x ? 在 x ? 1 处取到最小值, 则 ? ?x ? ? ? ?1? ? 0 ,即原结论成 x x2 ???3 分
? x? ? x?

(Ⅱ)解: 由 f ?x ? ? x 得 a ln x ? 1 ? x 即 a ? 另 g ? x ? ? x ? 1 , ? x ? 1? , g ?? x ? ? ln x
ln x ?

x ?1 , ln x

因为 h?x ? ? 0 ,所以 g ??x ? ? 0 ,即 g ?x ? 单调递增,则 g ?x ? 的最大值为 g ?e? ? e ? 1 所以 a 的取值范围为 ?e ? 1,??? . (Ⅲ)证明: 由第一问得知 ln x ? 1 ? ???7 分 则 ln n ? 1 ?

则 h?x ? 单调递增,所以 h?x? ? h?1? ? 0

x ?1 x 另 h? x ? ? ln x ? x ? 1 , h ?? x ? ? 1 ? 1 ? 0 2 x x2 x ?ln x ?

1 x

1 n

1 则 f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?n ? 1? ? ?ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln?n ? 1?? ? n 2

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ?
2 3

1 n ?1

?n

? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 2n ? 2? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 2n ? 2? ? 2 n ?1 ? 2? 3 n ? n ?1 ? ?2 2 2 3 ?1? 2

? 2 n ?1? n ?1
22.略

?

?

??12 分
2 2

23 解: (1)曲线 C1 : x ? y ? x ? y ? 0

┅┅┅2 分

x? y ? ?sin t ? 2 ? 2 2 曲线 C2 : ? ,即 x ? y ? 2 ?cos t ? y ? x ? ? 2
2 2 ? 1? ?1? ? 2? (2)因为 C1C2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? ?2?
2 2

┅┅┅┅5 分

所以圆 C1 : x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2 内切 所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆 C2 的直径 2 2 24、略 ┅┅10 分


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