9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013届数学解答题立体几何导数限时考练题组1da

2013届数学解答题立体几何导数限时考练题组1da


立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

1.(Ⅰ)证明:因为侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形, 1 1 所以 AA ? AC, AA ? AB , 1 1 所以 AA1 ? 平面 ABC ,三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱 因 为 A1D ? 平 面 A1 B1 C1 所 以 , z D C1
1

B1

CC1 ? A1D ,
又因为 A B1 ? AC1 , D 为 B1C1 中点, 1 1 所以 A D ? B1C1 1 因为 CC1 ? B1C1 ? C1 , 所以 A1D ? 平面 BB1C1C (Ⅱ)证明:连结 AC1 ,交 AC 于点 O ,连结 OD , 1 因为 ACC1 A 为正方形,所以 O 为 AC1 中点, 1 又 D 为 B1C1 中点,所以 OD 为 ?AB1C1 中位线, 所以 AB1 // OD , 因为 OD ? 平面 A DC , AB1 ? 平面 A DC , 1 1 所以 AB1 // 平面 A DC 1 y

A1 x O B

C

A

? (Ⅲ)解: 因为侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形, ?BAC ? 90 , 1 1

所以 AB, AC, AA1 两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A ? xyz .

, 设 AB ? 1 ,则 C (0,1 0), B(1, 0, 0), A1 (0, 0,1), D( , ,1) . ???? ? 1 1 ???? A1 D ? ( , , 0), A1C ? (0,1 ? 1) , , 2 2
设平面 A DC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 1

1 1 2 2

? n ? A1 D ? 0 ? x ? y ? 0 ,? , x ? ? y ? ?z , ? ? n ? A1C ? 0 ? y ? z ? 0
分数意识,细节功夫
1

立体几何、导数
取 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, ?1)

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

又因为 AB ? 平面 ACC1 A ,所以平面 ACC1 A 的法向量为 AB ? (1,0, , 0) 1 1

??? ?

??? ? ??? ? n ? AB 1 3 cos? n, AB? ? ? , ??? ? ? 3 3 n AB
因为二面角 D ? AC ? A 是钝角, 1 所以,二面角 D ? AC ? A 的余弦值为 ? 1 2.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

3 3

2 ( x ? 0) x 2 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? 3 (ax ? 1)( x ? 2) (Ⅱ) f ?( x) ? ( x ? 0) x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 ,
在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??)

1 1 时, ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) a a
②当 0 ? a ? ③当 a ? ④当 a ?

( x ? 2) 2 1 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) 2 2x

1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) a a
(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,
分数意识,细节功夫
2

立体几何、导数
①当 a ?

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1

分数意识,细节功夫

3

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

3. 解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 G ,连接 DG, CG ∵ D 是 A1 B 的中点∴ DG ∥ A1 A 且 DG ? ∵ E 是 C1C 的中点∴ CE ∥ A1 A 且 CE ?

1 A1 A 2

1 A1 A 2

∴ CE ∥ DG 且 CE ? DG ∴ CEDG 是平行四边形 ∴ DE ∥ GC ∵ DE ? 平面 ABC , GC ? 平面 ABC ∴ DE ∥平面 ABC ………………………………………… 4 分 (Ⅱ) ∵ ?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90? ,且 F 是 BC 的中点 ∴ AF ? BC ∵平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 ∴ AF ? 平面 BCC1 B1 设 AB ? AA ? 2 1 则在 B1FE 中, B1 F ? 则 EF ? 3 , B1 E ? 3 ∴ AF ? B1 F …… 6 分

6,
∴ B1 E 2 ? B1 F 2 ? EF 2 ? 9

∴ ?B1 FE 是直角三角形,∴ B1 F ? EF ……………………… 8 分 ∵ AF ? EF ? F ∴ B1F ? 平面 AEF ……………… 9 分

(Ⅲ)分别以 AB, AC, AA1 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz 如图, 设 AB ? AA ? 2 ,则设 A(0, 0, 0) , B1 (2,0, 2), E(0, 2,1), F (1,1,0), D(1,0,1) 1 ∵ AF ? 平面 BCC1 B1 ∴ 面 B1 FE 的法向量为 AF = (1,1, 0), 设平面 AB1 E 的法向量为 n ? ( x, y, z) ∵ ……………………… 10 分

AE ? (0,2,1) ,

AD ? (1,0,1)

∴ AE ? n ? 0 ,

AD ? n ? 0

∴ 2 y ? z ? 0, , x ? z ? 0,

分数意识,细节功夫

4

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1
…………………………… 12 分

不妨设 z ? ?2 ,可得 n ? (2,1,?2) ∴ cos ? n, AF ??

n ? AF

=

3

| n || AF | 3 2
∵ 二面角 A ? EB1 ? F 是锐角 ∴ 二面角 A ? EB1 ? F 的大小 45? 4. (Ⅰ) f ?( x) ? ln(? x) ? a ,

?

2 …………………… 13 分 2

………………………… 14 分

………………………………… 2 分

由题意知 x ? ?e 时, f ?( x) ? 0 ,即: f ?(?e) ? 1 ? a ? 0 , ∴ a ? ?1 …………………………………… 3分

∴ f ( x) ? x ln(? x) ? 2 x , f ?( x) ? ln(? x) ? 1 令 f ?( x) ? ln(? x) ? 1 ? 0 ,可得 x ? ?e 令 f ?( x) ? ln(? x) ? 1 ? 0 ,可得 x ? ?e 令 f ?( x) ? ln(? x) ? 1 ? 0 ,可得 ?e ? x ? 0 ∴ f ( x ) 在 (??, ?e) 上是增函数,在 (?e, 0) 上是减函数,…… 6 分 (Ⅱ) f ?( x) ? ln(? x) ? a , ∵ x ?[?e , ?e ] ,
2 ?1

∴ ? x ?[e , e ] ,
2

?1

∴ ln(? x) ?[?1, 2] ,

………………………………………… 7 分 恒成立, 此时 f ( x ) 在 [?e , ?e ] 上是增函数,
2 ?1

① 若 a ? 1 , f ?( ) n )? ? 0 则 x ? x a? l (

fmax ( x) ? f (?e?1 ) ? (2 ? a)e?1

……………………………… 9 分

2 ?1 ② 若 a ? ?2 ,则 f ?( x) ? ln(? x ) ? a ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 在 [?e , ?e ] 上是减函

数,

fmax ( x) ? f (?e2 ) ? ?(a ?1)e2

……………………… 11 分
?a

③ 若 ?2 ? a ? 1 ,则令 f ?( x) ? ln(? x) ? a ? 0 可得 x ? ?e

?a ?a ∵ f ?( x) ? ln(? x) ? a 是 减 函 数 , ∴ 当 x ? ?e 时 f ?( x) ? 0 , 当 x ? ?e 时

分数意识,细节功夫

5

立体几何、导数
f ?( x) ? 0

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

∴ f ( x ) 在 (??, ?e) [?e2 , ?e?1 ] 上左增右减, ∴ fmax ( x) ? f (?e?a ) ? e?a , ………………………………… 13 分

?(2 ? a)e?1 a ?1 ? 2 综上: g (a) ? ??(a ? 1)e a ? ?2 ?e? a ?2 ? a ? 1 ?

………………………

14 分

分数意识,细节功夫

6

立体几何、导数
5. (本小题满分 14 分)

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

解: (Ⅰ)∵四棱柱 ABCD ? A' B' C ' D' 为直四棱柱, ∴ BD ? AC , BD ? AA? , AC ? AA? ? A , ∴ BD ? 面ACEA? . ∵ A?E ? 面ACEA? , ∴ BD ? A?E . ∵ A?B ? 22 ? 12 ? 5 , BE ? 12 ? 12 ? 2 , A?E ? 12 ? 12 ? 12 ? 3 , ∴ A?B ? BE ? A?E . ∴ A?E ? BE . 又∵ BD ? BE ? B , ∴ A?E ? 面BDE . ……………………4 分
2 2 2

(Ⅱ)以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴,

DD? 为 z 轴,建立空间直角坐标系.
∴ A?(1,0,2) , E (0,1,1) , F ( ,0,0) , G (1,1, ) . ∵ 由(Ⅰ)知: A?E ? (?1,1 ? 1) 为面 BDE 的法向 量, FG ? ( ,1, ) , ∵ FG ? A?E ? ?1 ? ∴ FG ? A?E . 又∵ FG ? 面 BDE , ∴ FG ∥面 BDE . (Ⅲ) 设平面 DEG 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ……………………8 分

1 2

1 2

1 2

1 2

……………………6 分

1 1 ? 1 ? 1 ? (?1) ? ? 0 . 2 2

1 DE ? (0,1,1) , DG ? (1,1, ) . 2
∵ n ? DE ? 0 ? x ? 1? y ? 1? z ? 0 ,即 y ? z ? 0 .

1 z n ? DG ? 1? x ? 1? y ? ? z ? 0 ,即 x ? y ? ? 0 . 2 2
令 x ? 1 ,解得: y ? ?2 , z ? 2 , ∴ n ? (1,?2,2) . ∴ cos ? n, A?E ?? ……………………12 分

n ? A?E (?1) ? 1 ? 1 ? (?2) ? (?1) ? 2 5 3 . ? ?? 9 3? 3 n ? A?E
7

分数意识,细节功夫

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1
5 3 . 9

∴ 二面角 G ? DE ? B 的余弦值为 6. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) ∵ a ? 4 ,

……………………14 分

ln x ? 4 5 且 f (e) ? . ……………………… 1 分 x e (ln x ? 4)? x ? (ln x ? 4) x ? ? 3 ? ln x ? 又∵ f ?( x) ? , x2 x2 ?3 ? ln e 4 ?? 2 . ∴ f ?(e) ? ……………………… 3 分 2 e e 5 4 ∴ f (x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程为: y ? ? ? 2 ( x ? e) , e e
∴ f ( x) ? 即 4 x ? e 2 y ? 9e ? 0 . ……………………… 4 分

(Ⅱ) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x ) ? 令 f ?( x) ? 0 得 x ? e1?a .

1 ? (ln x ? a ) ,……………………… 5 分 x2

当 x ? (0, e1?a ) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 是增函数; 当 x ? (e
1?a

,??) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 是减函数;

…………………… 7 分
1?a

∴ f (x) 在 x ? e1?a 处取得极大值,即 f ( x)极大值 ? f (e (Ⅲ) (i)当 e
1? a

) ? e a?1 .……… 8 分

? e 2 ,即 a ? ?1 时,
1?a

由(Ⅱ)知 f (x) 在 (0, e ∴当 x ? e
1? a

) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数,

时, f (x) 取得最大值,即 f ( x) max ? e a ?1 .

?a ?a 又当 x ? e 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (0, e ] 时, f ( x) ? 0 ,

当 x ? (e , e ] 时, f ( x) ? (0, e
2

?a

a ?1

],
2

所以, f (x) 的图像与 g ( x) ? 1 的图像在 (0, e ] 上有公共点, 等价于 e
a ?1

? 1 ,解得 a ? 1 ,
……………… 11 分

又因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 . (ii)当 e
1? a

? e 2 ,即 a ? ?1 时, f (x) 在 (0, e 2 ] 上是增函数,
8

分数意识,细节功夫

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1
2?a , e2

2 ∴ f (x) 在 (0, e 2 ] 上的最大值为 f (e ) ?

∴原问题等价于

又∵ a ? ?1 ∴无解 综上, a 的取值范围是 a ? 1 .

2?a ? 1 ,解得 a ? e 2 ? 2 , 2 e
……………… 13 分

分数意识,细节功夫

9

立体几何、导数
7. (共 14 分)

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

解: (I)? 棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的所有棱长都为 2,

D1 A1

C1

B1

? 四边形 ABCD 为菱形, BD ? AC . .............1 分
又 AO ⊥ 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD, 1
A

F

D
O

C

B

? AO ? BD . 1

........2 分

又? AC ? AO ? O , AC, AO ? 平面 A1 ACC1 , 1 1

? BD ? 平面 A1 ACC1 ,

...............................3 分

? AA1 ? 平面 A1 ACC1 ,
? BD⊥ AA1 .
(Ⅱ )连结 BC1 ..................................4 分

? 四边形 ABCD 为菱形, AC ? BD ? O
? O 是 BD 的中点.
又? 点 F 为 DC1 的中点, ............................... 5 分

? 在 ?DBC 中, OF // BC1 , 1

................................6 分

? OF ? 平面 BCC1B1 , BC1 ? 平面 BCC1B1
? OF // 平面 BCC1B1
..............................8 分

(III) O 为坐标系的原点, 以 分别以 OA, OB, OA1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. , 1 平面 ABCD. ? 侧棱 AA1 与底面 ABCD 的所成角为 60° AO ⊥

? ?A1 AO ? 60? ,在 Rt?A1 AO 中,可得 AO ? 1, AO ? 3, 1
在 Rt ?AOB 中, OB ?

AB2 ? AO2 ? 4 ?1 ? 3 .
..........................10 分

得 A(1,0,0), A (0,0, 3), D(0, ? 3,0), B(0, 3,0) 1 设平面 AA D 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 1

分数意识,细节功夫

10

立体几何、导数
?n1 ? AA1 ? 0 ? ?? ?n1 ? AD ? 0 ?

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

? AA1 ? (?1,0, 3), AD ? (?1,? 3,0)
?? x ? 3 z1 ? 0 ? ?? 1 ?? x1 ? 3 y1 ? 0 ?
可设 n1 ? ( 3,?1,1) 又? BD ? 平面 A1 ACC1 所以,平面 A ACC1 的法向量为 n2 ? OB ? (0, 3,0) 1 .................................11 分

?? ??? ? ?

................................12 分

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

? 3 5? 3

??

5 , 5

? 二面角 D— AA1 —C 为锐角,
故二面角 D— AA1 —C 的余弦值是

5 . 5

...............................14 分

8. (共 13 分) 1 1? a ? x(ax ? 2a ? 1) ?a? ? 解: f ?( x) ? , x ? ?1 , x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 (I)由题意可得 f ?(1) ?
1 ? 3a ? ?2 ,解得 a ? 3 , 4

................................2 分 ................................3 分

因为 f (1) ? ln 2 ? 4 ,此时在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 4) ? ?2( x ? 1) , 即 y ? ?2 x ? ln 2 ? 2 ,与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行,故所求 a 的值为 3. ....................4 分 (II) 令 f ?( x ) ? 0 ,得到 x1 ? 由a ? ① 即a ?
1 ? 2, x2 ? 0 , a

1 1 可知 ? 2 ? 0 ,即 x1 ? 0 . a 2

.............................5 分

1 1 时, x1 ? ? 2 ? 0 ? x2 . a 2
'

所以, f ( x) ? ?

x2 ? 0, x ? (?1, ??) , 2( x ? 1)2

.............................6 分

故 f ( x ) 的单调递减区间为 (?1, ??) .

............................7 分

分数意识,细节功夫

11

立体几何、导数
② 当

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

1 1 ? a ? 1 时, ?1 ? ? 2 ? 0 ,即 ?1 ? x1 ? 0 ? x2 , 2 a 1 所以,在区间 (?1, ? 2) 和 (0, ??) 上, f ' ( x) ? 0 ; a 1 在区间 ( ? 2,0) 上, f ' ( x) ? 0 . a

...............................8 分 ............................9 分
1 a



f ( x) 的单调递减区间是 (?1, ? 2) 和 (0, ??) ,单调递增区间是 ( ? 2,0) . .........10 分
1 ? 2 ? ?1 , a 所以,在区间 (?1,0) 上 f ?( x) ? 0 ; 在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ? 0 ,

1 a

③当 a ? 1 时, x1 ?

.........................11 分 ..........................12 分 ..........................13 分

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) . 综上讨论可得: 当a ? 当
1 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, ??) ; 2

1 1 1 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (?1, ? 2) 和 (0, ??) , 单调递增区间是 ( ? 2,0) ; ? a ? 1 时, 2 a a

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) .

分数意识,细节功夫

12

立体几何、导数
9.(本小题满分 14 分)

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点 D 在 AB 上. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C; (Ⅱ)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD; (Ⅲ)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3

证明: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 所以 AC2+ BC2= AB2, 所以 AC⊥BC. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC. 因为 BC∩AC =C, 所以 AC⊥平面 B B1C1C. 所以 AC⊥B1C. (Ⅱ)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,DE. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, B 所以 侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, 所以 DE// AC1. 因为 DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, 所以 AC1∥平面 B1CD. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 AC⊥BC, 所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4). 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) , z C1 A1 ………9 分 ………………………5 分 B1 E C D A C1 A1

??? 1 ??? ? ? BD 1 ? , 即 BD ? BA . 因为 点 D 在线段 AB 上,且 AB 3 3 B1 ??? ? 4 4 所以 a ? 2 , b ? , BD ? (?1, , 0) . 3 3 ???? ??? ? ??? ? 4 所以 B1C ? (3,0, 4) , BA ? (?3, 4,0) , CD ? (2, , 0) . 3 ?? ? 平面 BCD 的法向量为 n 1 ? (0,0,1) . B
设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

C D

A

y

?? ?

x

分数意识,细节功夫

13

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

?3x ? 4 ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ? , 4 ?2 x ? 3 y ? 0 ?
所以 x ? ?

?? ? 4 4 , y ? 2 , n 2 ? ( ? , 2,1) . 3 3

设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? ,

?? ?? ? ? n1 ? n 2 3 所以 cos ? ? ?? ?? ? . ? ? 61 n1 n 2
所以 二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为 10.解: (I)定义域为 (?1, ??) .

3 61 . 61

……14 分

1 2 x( x ? 2) ? . x ?1 x ?1 2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 x ? ?2 或 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ?1 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?
因为定义域为 (?1, ??) ,所以 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则

2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 ?2 ? x ? 0 . x ?1

因为定义域为 (?1, ??) ,所以 ?1 ? x ? 0 . 所以函数的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (?1, 0) . (II) g ( x) ? (2 ? a) x ? 2ln(1 ? x) ( x ? ?1 ) . ……7 分

2 (2 ? a) x ? a ? . 1? x 1? x a ? 0. 因为 0<a<2,所以 2 ? a ? 0 , 2?a a 令 g ?( x) ? 0 可得 x ? . 2?a a a ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数. 所以函数 g ( x) 在 (0, 2?a 2?a a 3 ? 3 ,即 0 ? a ? 时, ①当 0 ? 2?a 2 a a ) 上为减函数,在 ( ,3) 上为增函数. 3] 在区间 [0, 上, g ( x) 在 (0, 2?a 2?a g ?( x) ? (2 ? a) x ?

分数意识,细节功夫

14

立体几何、导数
所以 g ( x) min ? g (

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

a 2 ) ? a ? 2 ln . 2?a 2?a a 3 ? 3 ,即 ? a ? 2 时, g ( x) 在区间 (0, 上为减函数. ②当 3) 2?a 2
所以 g ( x)min ? g (3) ? 6 ? 3a ? 2ln 4 . 综上所述,当 0 ? a ? 当

3 2 时, g ( x) min ? a ? 2 ln ; 2 2?a
……14 分

3 ? a ? 2 时, g ( x)min ? 6 ? 3a ? 2ln 4 . 2

分数意识,细节功夫

15

立体几何、导数
11. (本小题共 13 分)

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

z

M y

x

解:(I) ? 在正方形 ABCD 中, O 是对角线 AC、BD 的交点, ? O 为 BD 的中点, 又 M 为 AB 的中点, ? OM∥AD. 又 AD ? 平面 ACD,OM ? 平面 ACD, ? OM∥平面 ACD. (II)证明:在 ?AOC 中,? AC ? 1 , AO ? CO ?

---------1 分 ---------2 分 ---------3 分 ----------4 分 -----------5 分

2 , 2

--------6 分 ? AC 2 ? AO2 ? CO2 ,? AO ? CO . 又? AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线, ----------7 分 ? AO ? BD , 又 BD ? CO ? O ? AO ? 平面BCD . --------8 分 (III)由(II)知 AO ? 平面BCD ,则 OC,OA,OD 两两互相垂直,如图,以 O 为原 点,建立 空间直角坐标系 O ? xyz . 则 O(0,0,0), A(0,0,

2 2 2 2 ), C ( ,0,0), B(0, ? ,0), D(0, ,0) , 2 2 2 2

??? ? 2 -----------9 分 OA ? (0, 0, ) 是平面 BCD 的一个法向量. 2 ???? ??? ? 2 2 2 2 AC ? ( , 0, ? ) , BC ? ( , , 0) , 2 2 2 2 ??? ? ? ? ???? ? 设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 n ? BC ? 0 , n ? AC ? 0 .

? 2 2 , , 0) ? 0 ? ( x, y , z ) ? ( ? 2 2 即? , ------------11 分 ?( x, y, z ) ? ( 2 , 0, ? 2 ) ? 0 ? ? 2 2 ? 所以 y ? ? x, 且 z ? x, 令 x ? 1, 则 y ? ?1 , z ? 1 ,解得 n ? (1, ?1,1) . -------------------12 分 ? ??? ? ? ??? ? 3 n ? OA 3 ? 从而 cos? n, OA? ? ? ??? ? ,二面角 A ? BC ? D 的余弦值为 .---------------13 分 3 | n || OA | 3
分数意识,细节功夫
16

立体几何、导数
12. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由 ?

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

?x ? 0 得 0 ? x ? 2 ,即函数的定义域为(0,2) ; ?2 ? x ? 0
1 a ? . x 2? x

---------------2 分

f ?( x) ?

----------------4 分

(Ⅱ)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

1 a 2 ? (a ? 1) x ? ? x 2? x x(2 ? x) 2 ,所以在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 , x(2 ? x)
---5 分

(1)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

故函数 f ? x ? 的单调递增区间是 (0, 2) ; (2)当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? ①当

2 2 ? (a ? 1) x , ? 0 ,解得 x ? a ?1 x(2 ? x)

2 ? 2 时,即 ?1 ? a ? 0 时,在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 , a ?1 故函数 f ? x ? 的单调递增区间是 (0, 2) ; ----------7 分

②当 0 ?

2 2 ? 2 时,即 a ? 0 时,在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 , a ?1 a ?1 2 , 2) 上, f ?( x) ? 0 ,故函数 f ? x ? 的单调递增区间是 在区间 ( a ?1 2 2 (0, ) ,单调递减区间是 ( , 2) . ---------------9 分 a ?1 a ?1

(Ⅲ) 当 x? ? 0, 且 m ? 0 时, g ?( x) ? 1?

1 1 2(1 ? x) ? ?m? ? m ? 0 , ---------11 分 x 2? x x(2 ? x)

即函数在区间 ? 0, 上是增函数,故函数 g ( x) 在 ? 0, 上的最大值为 g (1) ,----------12 分 1? 1? 所以 g (1) ? m ?

1 1 ,即 m ? . 2 2

---------------------14 分

分数意识,细节功夫

17

立体几何、导数
13. (本小题满分 13 分)

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

解: (Ⅰ)设 AB 中点为 D ,连结 PD , CD ,………… 1 分 因为 AP = BP ,所以 PD ^ AB . 又 AC = BC ,所以 CD ^ AB . ………………… 2 分 因为 PD I CD = D ,所以 AB ^ 平面 PCD . 因为 PC ? 平面 PCD ,所以 PC ^ AB . (Ⅱ)由已知 ? ACB ……… 4 分 E

P

90o , AC = BC = 2 , 2 , AB = 2 2 .

D A C B

所以 AD = BD = CD =

又 D PAB 为正三角形,且 PD ^ AB ,所以 PD = 因为 PC = 2 2 ,所以 PC = CD + PD . 所以 ? CDP
2 2 2

6 . …………………… 6 分

90o .

由(Ⅰ)知 ?CDP 是二面角 P - AB - C 的平面角. 所以平面 PAB ^ 平面 ABC . …………………………………………… 8 分 (Ⅲ)方法 1:由(Ⅱ)知 CD ^ 平面 PAB . 过 D 作 DE ^ PA 于 E ,连结 CE ,则 CE ^ PA . 所以 ?DEC 是二面角 B - AP - C 的平面角. ………………………………… 10 分 在 RtD CDE 中,易求得 DE =

6 . 2
CD 2 3 . = DE 3
………………………… 12 分

因为 CD =

2 ,所以 tan ? DEC
21 . 7

所以 cos ? DEC

即二面角 B - AP - C 的余弦值为

21 . 7

…………………………………… 13 分 ……………………… 9 分

方法 2:由(Ⅰ) (Ⅱ)知 DC , DB , DP 两两垂直. 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知 D(0, 0, 0) , C( 2, 0, 0) , A(0, 所以 AC = ( 2,

2, 0) , P(0, 0,

6) .

uuu r

uuu r 2, 0) , PC = ( 2, 0, -

6) .

……………………… 10 分 z P

设平面 PAC 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,

分数意识,细节功夫

D A x C B

18

y

立体几何、导数
uuu r ì n ?AC ? ? 则 í uuu r ? n ?PC ? ? ? 0, 0.
即? í

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1
ì 2x + ? ? 2x ? ? 2 y = 0, 6 z = 0.
3 . 3

令 x = 1 ,则 y = - 1 , z =

所以平面 PAC 的一个法向量为 n = (1, - 1,

3 ). 3

……………………… 11 分

易知平面 PAB 的一个法向量为 DC = ( 2, 0, 0) .

uuu r

uuu r uuu r n ×DC uuu = r 所以 cos < n, DC > = | n || DC |

21 . …………………………………… 12 分 7

由图可知,二面角 B - AP - C 为锐角. 所以二面角 B - AP - C 的余弦值为 14. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:当 a = - 1 时, f ( x) = ln x + x +

21 . …………………………………… 13 分 7
2 - 1 , x ? (0, x

).

(x 所以 f ′ ) =

x2 + x - 2 , x ? (0, x2

) . ………(求导、定义域各一分) 2 分

因此 f ′ = 1 . 即曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1. ………… 3 分 (2) 又 f (2) = ln 2 + 2 , …………………………………………………… 4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x - y + ln 2 = 0 . ……… 5 分 (Ⅱ )因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x
).
………… 7 分

(x 所以 f ′ ) =

ax2 ? x ? 1 ? a 1 a- 1 - a+ 2 ? ? , x ? (0, x x x2
2

令 g ( x) = ax - x + 1- a , x ? (0, ① a ? 0 时, g ( x) = - x + 1, x ? (0, 当

),

),

当 x ? (0, 1) 时, g ( x) > 0 ,此时 f ′ ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;……… 8 分 (x 当 x ? (1, ? ?) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ′ ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增. …… 9 分 (x

分数意识,细节功夫

19

立体几何、导数
② 0?a? 当 此时

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

1 1 时,由 f ′ ) ? 0 即 ax2 ? x ? 1 ? a ? 0 解得 x1 = 1 , x2 = - 1 . (x 2 a

1 - 1> 1> 0 , a

所以当 x ? (0, 1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ′ ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;…10 分 (x

x ? (1,

1 ? 1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;……11 分 a

1 x ? ( ? 1, ? ? ) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减. …12 分 a
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, 1) 上单调递减,在 (1, + 当0?a?

) 上单调递增;

1 1 - 1) 上 单 调 递 增 ; 在 时 , 函 数 f ( x ) 在 (0, 1) 上 单 调 递 减 , 在 (1, 2 a
…………………………………………………… 13 分

1 ( - 1, + a

) 上单调递减.

分数意识,细节功夫

20

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

15.解: (1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形, BA, BC , BB1 两两互相垂直。 BA, BC , BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 以 ? 则 N (4,4,0), B1 (0,8,0) , C1 (0,8,4), C (0,0,4) , B (0,0,0) ……………… 2 分

∵ BC ? (0,0,4) , B1C1 ? (0,0,4) , BC ? B1C1 ,∴ BC // B1C1 ∵ B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N …… 4 分 (2) BN ? B1 N ? (4,4,0) ? (4,?4,0) ? 16 ? 16 ? 0 , ?

BN ? B1C1 ? (4,4,0) ? (0,0,4) ? 0
? BN ? B1 N , BN ? B1C1 ,又 B1 N ? B1C1 ? B1

C P B A M N

C1

? BN ? 平面C1 B1 N

……………… 8 分

B1

(3)设 P (0,0, a ) 为 BC 上一点, M 为 AB 的中点, ?

? M (2,0,0) , MP ? (?2,0, a ) , NC ? (?4,?4,4)
设平面的一个法向量为 n ? (1, x, y ) ,则有

n ? NC , n ? NB1 ,则有 n ? NC ? 0, n ? NB1 ? 0,
∴ (1, x, y ) ? (?4,?4,4) ? 0, (1, x, y ) ? (?4,4,0) ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 , ∴ n ? (1,1,2) ,…10 分

? MP //平面 CNB1 ,? n ? MP ,于是 MP ? n ? (?2,0, a ) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0
解得: a ? 1 ……………………… 12 分

? MP ? 平面 CNB1 ,? MP //平面 CNB1 ,此时 PB ? a ? 1 ,
? BP 1 ? PC 3
………………………………… 14 分

(注:此题用几何法参照酌情给分) 16.解: (1)当 分 当 时, 时, 在 上是单调增函数,不符合题意.…1

的对称轴方程为

, 由于



上是单调增函

数,不符合题意.
分数意识,细节功夫
21

立体几何、导数
当 综上, 时,函数 的取值范围是 在 .

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1
上是单调减函数, 则 ,解得 ,

…………………………………4 分 整理为 . ,原方程在区间( , ……………………5 分 )内有且只有两个不相等的 ……6 分 …………7 分

(2)把方程 即为方程 设 实数根, 即为函数 在区间(

)内有且只有两个零点.

令 当 当

,因为 时, 时,

,解得 , ,



(舍)

…………………8 分

是减函数; 是增函数.……10 分

在(

)内有且只有两个不相等的零点, 只需

…………13 分





解得

, 所以

的取值范围是(

) . …………………14 分

分数意识,细节功夫

22

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

17、解:(1)证明:∵AB//CD,CD ? 平面 PDC,AB?平面 PDC,∴AB//平面 PDC. P ……3 分 (2)证明:在是直角梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥ 于点 E, AB 则四边形 ADCE 为矩形,∴AE=DC=1,又 AB=2,∴BE=1, 在 Rt△BEC 中,∠ ABC=450,∴CE=BE=1, CB ? 2 , A E ……4 分 B ∴AD=CE=1,则 AC ? AD ? DC ? 2 ,
2 2

D

∴AC2+BC2=AB2,∴BC⊥ AC. ……6 分 又 PA⊥ 平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴BC⊥ PA, ……7 分 而 PA∩AC=A,∴BC⊥ 平面 PAC; ……8 分 (3)方法 1 PA⊥ 平面 ABCD, CD? 平面 ABCD,∴CD⊥ PA,又 CD⊥ AD, 而 PA∩AD=A,∴CD⊥ 平面 PAD,PD? 平面 PAD,∴CD⊥ PD. C 又 PA=AD=1, AC ? 2 ,∴ PC ? ∴点 D 到 PC 的距离 h' ?

2 , PD ? 2 ,
2 , 3

……10 分

SVPCD ? 1 PC 2

……11 分

在三棱锥 P-ACD 中, SVADC ?

1 1 1 2 ? CD ? AD ? , SVPAC ? ? AC ? PA ? , 2 2 2 2

1 S ? PA VP ?ACD 3 VADC 1 VP-ACD=VD-PAC,∴点 D 到 PAC 的距离 h ? ,……13 分 ? ? 1 1 2 SVPAC SVPAC 3 3
h 3 ∴ sin ? ? ? . h' 2
z ……14 分 P

方法 2 如图,分别以 AD,AB,AP 为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,则由题设可知, A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0), ……9 分 ∴ AP ? (0 0 1) , PC ? (1 1 ?1) , ,, ,,

A D x C

B y

uur

uu r

u uur r ?m ? AP ? 0 u r ?c ? 0 ? 设 m ? (a, , 为平面 PAC 的一个法向量,则 ? u uur ,即 ? , b c) r ?a ? b ? c ? 0 m ? PC ? 0 ? ? u r 设 a=1,则 b=-1,∴ m ? (1 ?1 0) , ……10 分 , ,
同理设 n ? (x, , 为平面 PCD 的一个法向量,求得∴ n ? (1 0 1) ,……11 分 y z) ,,
分数意识,细节功夫
23

r

r

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

u r r m?n 1?1- 1? 0 + 0 ?1 1 r u = , ∴ cos ? ? u ur ? 2 2? 2 | m | ?| n |
∴ sin ? ?

……13 分

3 . 2

……14 分 ……2 分 ……4 分

1 ln x ? 1 (x>0 且 x≠1),则 f'(x) = ? 2 , x ? lnx x ? ln 2 x 1 若 f′(x0)=0,可求得 x 0 = . e
18、解:(1)函数 f(x) = (2)列表如下: x f′(x) f(x)

1 (0, ) e
+ 单调递增

1 e
0 极大值

1 ( , 1) e
- 单调递减

(1,+∞) - 单调递减

1 f( ) e
……8 分

1) 故单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , 和(1,+∞).
(3)在 2 x ? x 两边取对数,得
α 1

1 e

1 e

1 ln 2 ? alnx , x

……10 分 ……11 分 ……13 分 ……14 分

由于 0<x<1,所以

a 1 ? (*), ln 2 xlnx

1 e a ? ?e ,即 a>-eln2. 为使(1)式对所有 x∈ (0,1)成立,当且仅当 ln 2
由(*)的结果可知,当 x∈ (0,1)时, f(x) ? f( ) = ?e ,

分数意识,细节功夫

24

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

19.(1)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点


∴ MN // AC ………………2

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE

……………4 分

(2)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原

? 2 ?x ? ?? ? 2 ,所以 n? ? ( 2 , 2 ,1) ………………………………………12 分 解得: ? 2 2 2 ?y ? 2 ? ? 2

2 ?? ?? ? n ? n2 1 ∴ cos ? ? ??1 ?? ? 2 ? …………………………………………………13 分 ? n1 ? n2 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°……………………………………14 分 解法二: 延长 CB、 相交于 G, DA 连接 PG, 过点 D 作 DH⊥PG , 垂足为 H,连结 HC ……………………6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ………………8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平面 角 ………………………………………………10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2a , PD = …12 分 在 Rt △ CDH 中, tan ?DHC ?

2a 可以计算 DH ?

2 3a 3

CD 2a ? ? 3 ………………………13 分 DH 2 3a 3
25

分数意识,细节功夫

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14 21. (本小题满分14分)

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? 2a ? 2 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1 解: (1) .……1分

?

?

f ? x? f ? ? 2? ? 0 因为 x ? 2 为 的极值点,所以 .…………………………………2分
2a ? 2a ? 0 即 4a ? 1 ,解得 a ? 0 .
分 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. 分 (2)因为 ……………4

…………………………………………3

f ? x?

在区间

?3, ??? 上为增函数,
2ax ? 1 ?0
在区间

所以 分

f ?? x? ?

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ?? ? ?

?3, ??? 上恒成立.………5

? ? ①当 a ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增
函数,故 a ? 0 符合题意.…………………………………………6分 ②当 a ? 0 时,由函数

f ? x?

的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能

a ? 0,

? 所以 2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ?[3 , ?) 上恒成立.
2 2

……………………7



g ( x) ? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ,其对称轴为 令
[来源:学。科。网]

x ? 1?

1 4a ,

…………8分

因为 a ? 0 所以 因 为

1?

1 ?1 ? 4a ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可,

g ? 3? ?

?4a2 ? a ? ?

6





1



0

3 ? 13 3 ? 13 ?a? 4 4 .
分数意识,细节功夫

……………………………………9分
26

立体几何、导数
3 ? 13 4 .

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

因为 a ? 0 ,所以

0?a?

? 3 ? 13 ? ?0 , ? 4 ? a 的取值范围为 ? 综上所述, .


……………………………10

a??
(3)若

1 (1 ? x)3 b b f (1 ? x) ? + ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? 2 时,方程 3 x 可化为, x.
2 2 3

? ? 0 , ?? 上有解, 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在
即求函数 g( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

………………………………11

分 以下给 出两种求函数 方法1:因为

g ? x?

值域的方法: ,令

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ?

h( x) ? ln x ? x ? x 2 ( x ? 0) ,

则 分

h?( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x ,
?

………………………………12

时 1) 所以当 0 ? x ? 1 , h ( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数 ,
时, ( x) ? 0 ,从而 h 当 x ?1
分 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0. 分 ………………………………………14

?

h( x)在(1,?? ) 上为减函数,

………………13

分数意识,细节功夫

27

立体几何、导数

数学解答题 45 分钟限时考练――题组 1

分数意识,细节功夫

28


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com