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2017-2018高中数学人教版必修四课件:向量数乘运算及其几何意义

2017-2018高中数学人教版必修四课件:向量数乘运算及其几何意义


2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 1.通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定. 2.理解两向量共线的含义,并能用向量共线定理解决简单的几何问题. 3.掌握向量数乘运算的运算律,并会进行有关运算. 向量数乘运算 λa , 向量 , 数乘 , 实数 λ 与向量 a 的积是一个______ 这种运算叫作向量的______ 记作____ 它的长度与方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; 相同 ; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向______ 相反 . 当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向______ (3)当 λ=0 时,λa=0. 数乘向量的运算律 1.λ(μa)=(λμ)a; 2.(λ+μ)a=λa+μa; 3.λ(a+b)=λa+λb; 特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb. 共线向量定理 b=λa . 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使________ [化解疑难] 1.理解数乘向量应注意的问题 (1)向量数乘的结果依然是向量,要从长度与方向加以理解. (2)实数与向量可以相乘,但是不能相加、减,如 λ+a,λ-a 均没有意义. 1 a (3)当 λ= 时,即 表示 a 方向上的单位向量. |a| |a| (4)注意向量数乘的特殊情况:①当 λ=0 则 λa=0;②当 a=0 则 λa=0,特 别应该注意的是结果是向量 0,而非实数 0. 2.从数和形两个角度看数乘向量的定义 (1)从代数角度来看:①λ 是实数,a 是向量,它们的积仍然是向量;②λa=0 的条件是 a=0 或 λ=0. (2)从几何的角度来看,对于向量的长度而言:①当|λ|>1,有|λa|>|a|(a 为非零 向量),这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长到原 来的|λ|倍;②当 0<|λ|<1 时,有|λa|<|a|,这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向 (0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到原来的|λ|倍. 向量之间的数乘关系有助于解决平面几何中的平行、相似问题. ? 1?1 1.化简: ?2(2a+8b)-(4a-2b)?=( 3? ? ) A.2a-b C.b-a 解析: B.2b-a D.a-b 1 1 原式= [(a+4b)-(4a-2b)]= (-3a+6b)=2b-a,选 B. 3 3 答案: B 2.若|a|=5,b 与 a 的方向相反,且|b|=7,则 a=( 5 A. b 7 7 C. b 5 解析: ) 5 B.- b 7 7 D.- b 5 5 b 与 a 反向,故 a=λb(λ<0),|a|=-λ|b|,则 5=-λ× 7.所以 λ=- . 7 答案: B 3.已知 a,b 是两个非零向量,下列说法正确的是________. (1)2a 的方向与 a 的方向相同,且 2a 的模是 a 的模的 2 倍; (2)-2a 的方向与 6a 的方向相反,且 6a 的模是-2a 的模的 3 倍; (3)-2a 与 2a 是一对相反向量; (4)若 a,b 不共线,则 λa(λ=0)与 b 不共线. 解析: (1)对,∵2>0,∴2a 与 a 方向相同,且|2a|=2|a|. (2)对,∵6>0,∴6a 与 a 方向相同,且|6a|=6|a|. ∵-2<0,∴-2a 与 a 方向相反,且|-2a|=2|a|. ∴6a 的模是-2a 的模的 3 倍. (3)对.

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