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周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数_图文

周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数_图文

本课件由王科设计、开发

内容简介

自然界的许多现象都具有周期性,如心 脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力 的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿 形波和三角波以及由空气的周期性振动产生 的声波等等。

5.1 周期为 2π 的周期函数展开成傅里叶级数

一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

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矩形波的叠加] 一、案例 [矩形波的叠加] 周期函数可表示为f (T+t)=f (t),T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为

f ( x) = A sin( wt + ? )
其中A为振幅, w 为角频率, ? 为初相。

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电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成,如下图所示:

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二、 概念和公式的引出

三角级数

由正弦或余弦函数组成的无限多项的和,

称为三角级数。它的一般形式为

a0 ∞ f ( x) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 k =1
其中 a0 , an , bn (n = 1,2,L) 为常数。

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傅里叶级数

设f (x)是周期为 2π 的周期函数,如果

an =

∫ π f ( x) cos nxdx π
?

1

π

(n = 0,1,2,3,L)

bn =

∫ π f ( x) sin nxdx π
?

1

π

(n = 1,2,3,L)

存在,则称它们为函数f (x)的傅里叶系数,由傅 里叶系数组成的三角级数

a0 ∞ f ( x) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 k =1
称为傅里叶级数。

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收敛定理

(狄利克雷充分条件) 若周期为 2π

的周期函数f (x)满足条件 (1)在区间 [?π , π ] 连续或只有有限个第一类间断点; (2)在区间 [?π , π ] 只有有限极值点, 则函数f ( ) (x)的傅里叶级数收敛,且 (1)当是连续点时,级数收敛于f (x) ;

f ( x ? 0) + f ( x + 0) (2)当是间断点时,级数收敛于 2

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三、进一步的练习

练习1 脉冲矩行波 脉冲矩行波] 练习 [脉冲矩行波 脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 2π 为周期 的周期函数,它在 [?π , π ] 的表达式为

??1,?π ≤ x < 0 f ( x) = ? ? 1, 0 ≤ x < π
如右图所示,求此函数的 傅里叶级数展开式。

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用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下:

因为函数f (x)是奇函数,所以f (x) cosnx是奇函数, 因此f (x) cosnx(? π , π) 上积分为零.于是

an = 0 (n = 1,2,L)
bn =

π∫

2

π

0

f ( x)sin nxdx =
π

π∫

2

π

0

sin nxdx

2? 1 2 ? = ? ? cos nx ? = (1 ? cos nπ ) π? n nπ ?0

? 4 n = 1,3,5L 2 ? n [1 ? (?1) ] = ? nπ = nπ ? 0 n = 2,4,6L ? 于是,函数f (x)的傅立叶级数展开式为
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1 1 1 f ( x) = [sin x + sin 3x + sin 5x + L + sin( 2n ?1) x + L] π 3 5 2n ?1

4

由收敛定理知函数f (x)在

(?∞ < x < +∞, x ≠ kπ , k = 0,±1,±2L)
范围内与级数相等,即
1 1 1 f ( x) = [sin x + sin 3x + sin 5x + L + sin( 2n ?1) x + L] π 3 5 2n ?1 4

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当 x = kπ 时,傅立叶级数收敛于

f (kπ ? 0) + f (kπ + 0) ?1 + 1 = =0 2 2
此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示. 当n分别1,2,3,6取时,傅立叶 n 级数的部分和Sn(x)图形与函数 f (x)的方波逼近的情况,类似 于本章开始演示的图形.

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练习2 [脉冲三角信号 练习 脉冲三角信号] 脉冲三角信号 已知脉冲三角信号f (x)是以2π 为周期的周期函数, 它在 [?π , π ] 的表达式为

?? x + 1,?π ≤ x < 0 f ( x) = ? ? x + 1, 0 ≤ x < π
如右图所示,将函数 f (x)展开成傅里叶级数。

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解 因为函数f (x)是偶函数,所以f (x)sinnx是奇函数, 因此它在 ? π , π) ( 上积分为零.于是

bn = 0 (n = 1,2,L)
a0 =

π∫
1

2

π

0

f ( x)dx =
2 π 0

π∫

2

π

0

( x + 1)dx

=
an =

π
2

(x + 1)
π
0

=π +2
π∫
2
π
0

2 ? 1 ? = ? x sin nx + cos nx + sin nx ? nπ ? n ?0

π∫

f ( x) cos nxdx =

( x + 1) cos nxdx
π

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4 ? n = 1,3,5L 2 ?? 2 n = 2 [(?1) ? 1] = ? n π n = 2,4,6L nπ ? 0 ? 由于函数 f (x)在 (?∞,+∞) 上连续,所以

cos 3x cos 5x f ( x) = + 1 ? (cos x + 2 + 2 + L) 2 π 3 5 (?∞ < x < +∞) 4

π

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注:从以上几个例子可以得出下面结论: (1) 当函数 f (x)是以 2π为周期的奇函数时,

1 π ? an = ∫ f ( x) cos nxdx = 0 (n = 0,1,2,L) ? π ?π ? 1 π 2 π ?bn = ∫ f ( x) sin nxdx = ∫ f ( x) sin nxdx (n = 1,2,L) π ?π π 0 ?
傅立叶级数只含正弦项,称为正弦级数.

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(2) 当函数f(x)是以 2π 为周期的偶函数时,

2 π ? ?an = π ∫0 f ( x) cos nxdx ? 1 π ? bn = ∫ f ( x) sin nxdx = 0 π ?π ?

(n = 0,1,2,L) (n = 1,2,L)

傅立叶级数只含余弦项,称为余弦级数.

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练习3 [锯齿脉冲信号 练习 锯齿脉冲信号] 锯齿脉冲信号 设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为2π ,它在

[?π , π ] 的表达式为
?0,?π ≤ x < 0 f ( x) = ? ?x, 0 ≤ x < π
如右图所示,将它展开成 傅里叶级数。

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解 函数 f (x)为非奇非偶函数.计算傅立叶系数如下.

a0 = an =
=

∫ π f ( x)dx = π ∫ π
?

1

π

1

π

0

1?x ? π xdx = ? ? = π ? 2 ?0 2
2

π

∫ π f ( x) cos nxdx π
?

1

π

1?x 1 ? = ? sin nx + 2 cos nx ? π ?n n ?0 ? 0 n = 2, 4,6L 1 ? = 2 (cos nπ ?1) = ? 2 nπ ?? n2π n = 1,3,5L ?

π∫

1

π

0

x cos nxdx
π

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bn =

∫ π f ( x)sin nxdx = π ∫ π
?

1

π

1

π

0

1? x 1 ? x sin nxdx = ? ? cos nx + 2 sin nx ? π? n n ?0

π

(?1)n+1 = (? cos nπ ) = (n = 1, 2,3,L) π n n

1

π

于是,函数 f (x)的傅立叶级数展开式为

1 1 f ( x) = ? (cos x + 2 + 2 cos 5x + L) 4 π 3 cos 3x 5 1 1 + (sin x ? sin 2 x + sin 3x + L) 2 3 (?∞ < x < +∞ x ≠ (2k ? 1)π k ∈ Z )

π

2


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