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2017-2018学年高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率教学案北师大版选修2

2017-2018学年高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率教学案北师大版选修2


§1 变化的快慢与变化率 [对应学生用书P34] 平均变化率 某病人吃完退烧药,他的体温变化如下: x(min) y(℃) 0 39 10 38.7 20 38.5 30 38 40 37.6 50 37.3 60 36.8 问题 1:试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况,哪段 时间体温变化较快? 提示:从 20 min 到 30 min 变化快. 问题 2:如何刻画体温变化的快慢? 提示:用平均变化率. 问题 3:平均变化率一定为正值吗? 提示:不一定.可正,可负,可为零. 平均变化率 (1)定义:对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f?x2?-f?x1? f(x2),它的平均变化率为 . x2-x1 其中自变量的变化 x2-x1 称作自变量的改变量,记作 Δ x,函数值的变化 f(x2)-f(x1) 称作函数值的改变量,记作 Δ y.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与 Δ y f?x2?-f?x1? 自变量的改变量之比,即 = . Δx x2-x1 (2)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 瞬时变化率 王先生于近日接到了一份交通违规处罚单, 原因是上月某周日在一限速 70 km/h 的路段 1 超速行驶.王先生正上初中的儿子说:“一定是交警叔叔搞错了,那段路正好长 60 km,我 们用了一个小时,您当时还问我这段路我们的平均速度呢!” 问题 1:限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗? 提示:不是,是指瞬时速度. 问题 2:瞬时速度与平均速度有何区别? 提示: 瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢; 平均速度刻画的是物体在一段时 间内运动的快慢. 问题 3:王先生在该路段平均速度为 60 km/h,是否可能超速行驶? 提示:有可能. 瞬时变化率 (1)定义: 对于一般的函数 y=f(x), 在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中, 设 Δ x=x1-x0, Δ y = f(x1) - f(x0) , 则 函 数 的 平 均 变 化 率 是 Δy f?x1?-f?x0? = = Δx x1-x0 f?x0+Δ x?-f?x0? .而当 Δ x 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率. Δx (2)作用:刻画函数在一点处变化的快慢. 1. Δ y f?x0+Δ x?-f?x0? = 为平均变化率,其中 Δ x 可正、可负,不能为零. Δx Δx 2.瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值. [对应学生用书P35] 求平均变化率 1 3 [例 1] 求函数 y=x 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率,并计算当 x0=1,Δ x= 时平 2 均变化率的值. [思路点拨] 直接利用定义求平均变化率,先求出表达式,再代入数据,就可以求出相 应平均变化率的值. [精解详析] Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0) 2 =(x0+Δ x) -x0 =3x0Δ x+3x0(Δ x) +(Δ x) , ∴函数 y=x 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率为: Δy 2 2 =3x0+3x0Δ x+(Δ x) . Δx 1 当 x0=1,Δ x= 时, 2 1 1 2 19 2 平均变化率的值为 3×1 +3×1× +( ) = . 2 2 4 [一点通] 求平

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