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2017年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

2017年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析


2017 年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1.已知集合 A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A}则 A∩B=( A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,4} 2.已知复数 z=1+i,则下列命题中正确的个数为( ① ② ; ; ) )

③z 的虚部为 i; ④z 在复平面上对应点在第一象限. A.1 B.2 C.3 D.4 )

3.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=ex+e﹣x B.y=ln(|x|+1) 4.圆(x﹣2)2+y2=4 关于直线 A. C.x2+(y﹣2)2=4 D. B. C. D. 对称的圆的方程是( )

5.堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示. 《九章算术》中有如下问题: “今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说: “今有堑堵, 底面宽为 2 丈, 长为 18 丈 6 尺, 高为 2 丈 5 尺, 问它的体积是多少?” (注:一丈=十尺) .答案是( )

A.25500 立方尺

B.34300 立方尺

C.46500 立方尺

D.48100 立方尺

6. D 为三角形所在平面内一点, 在△ABC 中, 且 A. B. C. D. )

, 则

= (



7.运行如图所示的程序框图,则输出结果为(

A.1008

B.1009

C.2016

D.2017 )

8.关于函数 A.其图象关于直线 B.其图象可由 C.其图象关于点 D.其值域是[﹣1,3] 对称

,下列叙述有误的是(

图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到 对称

9. 如图是民航部门统计的 2017 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价 格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是





A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高 B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D.平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 10.如图,扇形 AOB 的圆心角为 120°,点 P 在弦 AB 上,且 ,延长 OP )

交弧 AB 于 C.现向扇形 AOB 内投点,则该点落在扇形 AOC 内的概率为(

A.

B.

C.

D. ,一个焦点为 F(0,﹣ ) ,点 A( ,

11.双曲线 C 的渐近线方程为 y=±

0) ,点 P 为双曲线第一象限内的点,则当 P 点位置变化时,△PAF 周长的最小值 为( A.8 ) B.10 C. D.

12.已知定义域为 R 的函数 f(x)的图象经过点(1,1) ,且对? x∈R,都有 f' (x)>﹣2,则不等式 的解集为( ) D. (﹣

A. (﹣∞,0)∪(0,1) B. (0,+∞) C. (﹣1,0)∪(0,3) ∞,1)

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题 卡中的横线上). 13. ( +x)dx= .

14.将 1,2,3,4,…正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第 10 行左 数第 10 个数是 .

15.某班主任准备请 2016 届毕业生做报告,要从甲、乙等 8 人中选 4 人发言, 要求甲、乙两人至少一人参加,若甲乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人, 那么不同的发言顺序共有 种. (用数字作答)

16.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为矩形,平面 PBC⊥平面 ABCD,PE⊥BC 于 E, EC=1, ,BC=3,PE=2,则四棱锥 P﹣ABCD 外接球半径为 .

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤). 17.已知数列{an}满足 (1)若数列{bn}满足 ,an+1=3an﹣1(n∈N+) . ,求证:{bn}是等比数列; .

(2)若数列{cn}满足 cn=log3an,Tn=c1+c2+…+cn,求证:

18.为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有 效地改良玉米品种, 为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统 计,获得茎叶图如图(单位:厘米) ,设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎 玉米,否则为矮茎玉米. (1)完成 2×2 列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过 1%的前提下,认 为抗倒伏与玉米矮茎有关? (2) (i)按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽出 9 株玉米,设取出的易倒伏矮茎玉米株数为 X,求 X 的分布列(概率用组合数算式

表示) (ii)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出 50 株,求取出的 高茎玉米株数的数学期望和方差 P(K2 ≥k) k ( 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

,其中 n=a+b+c+d)

19.已知三棱锥 A﹣BCD 中,△ABC 是等腰直角三角形,且 AC⊥BC,BC=2,AD ⊥平面 BCD,AD=1. (1)求证:平面 ABC⊥平面 ACD; (2)若 E 为 AB 中点,求二面角 A﹣CE﹣D 的余弦值.

20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)与直线 (1)求该抛物线的方程;

相切.

(2)在 x 轴正半轴上,是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,使得 不存在,请说明理由. 21.已知函数 (1)若 f(x)存在极值点为 1,求 a 的值; . 为定值.如果存在,求出点 M 坐标;如果

(2)若 f(x)存在两个不同零点 x1,x2,求证:x1+x2>2.

请考生在 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐
2 3+sin2θ) =12, 标系. 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ( 曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数,

) .

(1)求曲线 C1 的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线; (2)设曲线 C2 与曲线 C1 的交点为 A,B,P(1,0) ,当 的值. 时,求 cosα

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (1)如果关于 x 的不等式|x+1|+|x﹣5|≤m 的解集不是空集,求 m 的取值 范围; (2)若 a,b 均为正数,求证:aabb≥abba.

2017 年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1.已知集合 A={0,1,2},B={y|y=2x,x∈A}则 A∩B=( A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,4} 【考点】交集及其运算. 【分析】由题意求出集合 B,由交集的运算求出 A∩B. 【解答】解:由题意可知,集合 A={0,1,2}, 则 B={y|y=2x,x∈A}={1,2,4}, 所以 A∩B={1,2}, 故选:B. )

2.已知复数 z=1+i,则下列命题中正确的个数为( ① ② ; ;



③z 的虚部为 i; ④z 在复平面上对应点在第一象限. A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】复数求模. 【分析】利用复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系即可判断 出正误. 【解答】解:∵复数 z=1+i, ① ② ,正确; ,正确;

③z 的虚部为 1; ④z 在复平面上对应点(1,1)在第一象限.

可得:①②④正确,③错误. 故选:C.

3.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=ex+e﹣x B.y=ln(|x|+1) C. D.



【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可. 【解答】解:对于 A、B 选项为偶函数,排除, C 选项是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数. 故选:D.

4.圆(x﹣2)2+y2=4 关于直线 A. C.x2+(y﹣2)2=4 D. B.

对称的圆的方程是(



【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【分析】求出圆(x﹣2)2+y2=4 的圆心关于直线 论. 【解答】解:设圆(x﹣2)2+y2=4 的圆心关于直线 对称的坐标为(a,b) , 对称的坐标,即可得出结





∴a=1,b=

, 对称的坐标为 . ,

∴圆(x﹣2)2+y2=4 的圆心关于直线 从而所求圆的方程为 故选 D.

5.堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示. 《九章算术》中有如下问题:

“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说: “今有堑堵, 底面宽为 2 丈, 长为 18 丈 6 尺, 高为 2 丈 5 尺, 问它的体积是多少?” (注:一丈=十尺) .答案是( )

A.25500 立方尺

B.34300 立方尺

C.46500 立方尺

D.48100 立方尺

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图得到几何体为横放的三棱柱,底面为直角三角形,利用棱柱的 体积公式可求. 【解答】解:由已知,堑堵形状为棱柱,底面是直角三角形,其体积为 立方尺. 故选 C.

6. D 为三角形所在平面内一点, 在△ABC 中, 且 A. B. C. D.

, 则

= (



【考点】向量在几何中的应用. 【分析】利用三角形以及向量关系,求解三角形的面积即可. 【解答】解:由已知,在△ABC 中,D 为三角形所在平面内一点, 且 ,点 D 在 AB 边的中位线上,

且为靠近 BC 边的三等分点处, 从而有 , ,有 故选:B. , .

7.运行如图所示的程序框图,则输出结果为(



A.1008

B.1009

C.2016

D.2017

【考点】程序框图. 【分析】由已知,S=0﹣1+2﹣3+4+…﹣2015+2016=1008,即可得出结论 【解答】解:由已知,S=0﹣1+2﹣3+4+…﹣2015+2016=1008. 故选 A.

8.关于函数 A.其图象关于直线 B.其图象可由 C.其图象关于点 D.其值域是[﹣1,3] 对称

,下列叙述有误的是(



图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到 对称

【考点】正弦函数的对称性. 【分析】利用正弦函数的图象和性质,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【解答】解:关于函数 最小值,故 A 正确; 由 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍, 可得 y=2sin (3x+ ) ,令 x=﹣ ,求得 y=﹣1,为函数的

的图象,故 B 正确; 令 x= ,求得 y=1,可得函数的图象关于点( ,1)对称,故 C 错误;

函数的值域为[﹣1,3],故 D 正确, 故选:C.

9. 如图是民航部门统计的 2017 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价 格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是





A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高 B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D.平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】根据折线的变化率,得到相比去年同期变化幅度、升降趋势,逐一验证 即可. 【解答】解:由图可知 D 错误.故选 D.

10.如图,扇形 AOB 的圆心角为 120°,点 P 在弦 AB 上,且

,延长 OP )

交弧 AB 于 C.现向扇形 AOB 内投点,则该点落在扇形 AOC 内的概率为(

A.

B.

C.

D.

【考点】几何概型. 【分析】求出扇形 AOC 的面积为 率. 【解答】解:设 OA=3 ,则 AOP=30°, 所以扇形 AOC 的面积为 故选 A. ,扇形 AOB 的面积为 3π,从而所求概率为 . ,由余弦定理可求得 ,有∠ ,扇形 AOB 的面积为 3π,从而得到所求概

11.双曲线 C 的渐近线方程为 y=±

,一个焦点为 F(0,﹣

) ,点 A(



0) ,点 P 为双曲线第一象限内的点,则当 P 点位置变化时,△PAF 周长的最小值 为( A.8 ) B.10 C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用已知条件求出 a,b 求出双曲线方程,利用双曲线的定义转化求解 三角形的最小值即可. 【解答】解:双曲线 C 的渐近线方程为 y=± 得 c= , = ,a=2,b= . ,一个焦点为 ,可

双曲线方程为

,设双曲线的上焦点为 F',

则|PF|=|PF'|+4,△PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3, 当 P 点在第一象限时,|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3, 故△PAF 的周长的最小值为 10. 故选:B.

12.已知定义域为 R 的函数 f(x)的图象经过点(1,1) ,且对? x∈R,都有 f' (x)>﹣2,则不等式 的解集为( ) D. (﹣

A. (﹣∞,0)∪(0,1) B. (0,+∞) C. (﹣1,0)∪(0,3) ∞,1) 【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】令 F(x)=f(x)+2x,求出导函数 F'(x)=f'(x)+2>0,判断 F(x) 在定义域内单调递增,由 f(1)=1,转化 ,然后求解不等式即可. 【解答】解:令 F(x)=f(x)+2x,有 F'(x)=f'(x)+2>0, 所以 F(x)在定义域内单调递增,由 f(1)=1,得 F(1)=f(1)+2=3,因为 等价于 令 ,有 f(t)+2t<3,则有 t<1,即 , , 为

从而|3x﹣1|<2,解得 x<1,且 x≠0. 故选:A.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题 卡中的横线上). 13. ( +x)dx= e 2+ .

【考点】定积分. 【分析】根据定积分的计算法则计算即可.

【解答】解: 故答案为:

( +x)dx=(lnx+ e 2+ .

)|

=lne+ e2﹣(ln1+ )= e2+

14.将 1,2,3,4,…正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第 10 行左 数第 10 个数是 91 .

【考点】归纳推理. 【分析】由三角形数组可推断出,第 n 行共有 2n﹣1 项,且最后一项为 n2,所 以第 10 行共 19 项,最后一项为 100,即可得出结论. 【解答】解:由三角形数组可推断出,第 n 行共有 2n﹣1 项,且最后一项为 n2, 所以第 10 行共 19 项,最后一项为 100,左数第 10 个数是 91. 故答案为 91.

15.某班主任准备请 2016 届毕业生做报告,要从甲、乙等 8 人中选 4 人发言, 要求甲、乙两人至少一人参加,若甲乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人, 那么不同的发言顺序共有 1080 种. (用数字作答)

【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,求甲、乙两人至少一人参加,则分 2 种情况讨论:①、若甲 乙同时参加,②、若甲乙有一人参与,分别求出每种情况下的情况数目,由分类 计数原理计算可得答案, 【解答】解:根据题意,分 2 种情况讨论: ①、若甲乙同时参加, 先在其他 6 人中选出 2 人,有 C62 种选法, 选出 2 人进行全排列,有 A22 种不同顺序, 甲乙 2 人进行全排列,有 A22 种不同顺序, 甲乙与选出的 2 人发言,甲乙发言中间需恰隔一人,有 2 种情况,

此时共有

种不同顺序,

②、若甲乙有一人参与, 在甲乙中选 1 人,有 C21 种选法,在其他 6 人中选出 3 人,有 C63 种选法, 选出 4 人进行全排列,有 A44 种不同情况, 则此时共有 种,

从而总共的发言顺序有 1080 种不同顺序. 故答案为:1080.

16.已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为矩形,平面 PBC⊥平面 ABCD,PE⊥BC 于 E, EC=1, ,BC=3,PE=2,则四棱锥 P﹣ABCD 外接球半径为 2 .

【考点】球内接多面体. 【分析】由正弦定理可求出三角形 PBC 外接圆半径为 出 ,F 为 BC 边中点,求

,利用勾股定理结论方程,求出四棱锥 P﹣ABCD 外接球半径.

【解答】解:由已知,设三角形 PBC 外接圆圆心为 O1,由正弦定理可求出三角 形 PBC 外接圆半径为 ,F 为 BC 边中点,求出 , , 所以四棱锥

设四棱锥的外接球球心为 O, 外接球半径的平方为 外接球半径为 2. 故答案为 2.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤). 17.已知数列{an}满足 (1)若数列{bn}满足 ,an+1=3an﹣1(n∈N+) . ,求证:{bn}是等比数列; .

(2)若数列{cn}满足 cn=log3an,Tn=c1+c2+…+cn,求证: 【考点】数列与不等式的综合;数列的求和. 【分析】 (1)利用数列的递推关系式推出

,然后证明

{bn}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. (2) 求出 , 化简 , 推出 ,

然后通过数列求和,证明结果. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)由题可知 从而有 bn+1=3bn, , ,

所以{bn}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. (2)由(1)知 从而 有 所以 . , , , ,

18.为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有 效地改良玉米品种, 为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统 计,获得茎叶图如图(单位:厘米) ,设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎 玉米,否则为矮茎玉米. (1)完成 2×2 列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过 1%的前提下,认 为抗倒伏与玉米矮茎有关? (2) (i)按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽出 9 株玉米,设取出的易倒伏矮茎玉米株数为 X,求 X 的分布列(概率用组合数算式 表示) (ii)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出 50 株,求取出的 高茎玉米株数的数学期望和方差 P(K2 ≥k) k ( 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

,其中 n=a+b+c+d)

【考点】离散型随机变量的期望与方差;独立性检验;离散型随机变量及其分布 列. 【分析】 (1)利用已知条件写出 2×2 列联表即可. (2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共 4 株,则 X 的可能取值为 0, 1,2,3,4;求出概率即可得到即 X 的分布列. (ii) 设取出高茎玉米的株数为 ξ,判断概率满足 ξ~B(50, ) ,然后求解期望 与方差. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)根据统计数据做出 2×2 列联表如下: 抗倒伏 矮茎 高茎 合计 15 10 25 易倒伏 4 16 20 合计 19 26 45

经计算 k≈7.287>6.635,因此可以在犯错误概率不超过 1%的前提下,认为抗倒 伏与玉米矮茎有关. (2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共 4 株,则 X 的可能取值为 0, 1,2,3,4. , , , ,

即 X 的分布列为: X 0 1 2 3 4

P

(ii) 在抗倒伏的玉米样本中,高茎玉米有 10 株,占 ,即每次取出高茎玉米 的概率均为 , 设 取 出 高 茎 玉 米 的 株 数 为 ξ , 则 ξ ~ B ( 50 , , . ) ,即

19.已知三棱锥 A﹣BCD 中,△ABC 是等腰直角三角形,且 AC⊥BC,BC=2,AD ⊥平面 BCD,AD=1. (1)求证:平面 ABC⊥平面 ACD; (2)若 E 为 AB 中点,求二面角 A﹣CE﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)证明 AD⊥BC,AC⊥BC,推出 BC⊥平面 ACD,然后证明平面 ABC ⊥平面 ACD. (2)建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面 ACE 的法向量,平面 CED 的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角 A﹣CE﹣D 的余弦值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:因为 AD⊥平面 BCD,BC? 平面 BCD,所以 AD⊥BC, 又因为 AC⊥BC,AC∩AD=A,所以 BC⊥平面 ACD,BC? 平面 ABC,所以平面 ABC ⊥平面 ACD. (2)由已知可得 2, 0) (0, , 如图所示建立空间直角坐标系,由已知 C(0,0,0) ,B , , . 有 ,

,设平面 ACE 的法向量 有 ,令 x=1,得

, ,

设平面 CED 的法向量 令 y=1,得 ,

,有



二面角 A﹣CE﹣D 的余弦值



20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)与直线 (1)求该抛物线的方程;

相切.

(2)在 x 轴正半轴上,是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,使得 不存在,请说明理由. 【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】 (1)联立方程有, 线方程. (2)假设存在满足条件的点 M(m,0) (m>0) ,直线 l:x=ty+m,有 , ,通过△=0,求出 p=4,即可求解抛物 为定值.如果存在,求出点 M 坐标;如果

y2﹣8ty﹣8m=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用韦达定理弦长公式,化简求解 即可. 【解答】 (本小题满分 12 分)

解: (1)联立方程有,

,有

,由于直线与抛物线相

切,得△=8p2﹣32p=0,p=4,所以 y2=8x. (2)假设存在满足条件的点 M(m,0) (m>0) ,直线 l:x=ty+m,有 y2﹣8ty﹣8m=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 有 y1+y2=8t , y1y2= ﹣ 8m , , , ,

, 当 m=4 时, 为定值,所以 M(4,0) .

21.已知函数 (1)若 f(x)存在极值点为 1,求 a 的值;



(2)若 f(x)存在两个不同零点 x1,x2,求证:x1+x2>2. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出 =0,求出 a. (2)求出 ,通过①当 a≤0 时,②当 a>0 ,利用 f(x)存在极值点为 1,结合 f'(1)

时,判断函数的单调性求出函数的极值,所以当 x=a 时,f(x)取得极小值 f(a) , 利用 f(x)存在两个不同零点 x1,x2,f(a)<0,作 y=f(x)关于直线 x=a 的对 称曲线 g(x)=f(2a﹣x) ,令 h(x)=g(x)﹣f(x)=f(2a﹣x)﹣f(x) ,求出 导数,利用函数的单调性,最值推出结果. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1) ,因为 f(x)存在极值点为 1,所以 f'(1)=0,即 2

﹣2a=0,a=1,经检验符合题意,所以 a=1.

(2) ①当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数,不符 合题意; ②当 a>0 时,由 f'(x)=0 得 x=a, 当 x>a 时,f'(x)>0,所以 f(x)为增函数,当 0<x<a 时,f'(x)<0,所 f (x)为减函数, 所以当 x=a 时,f(x)取得极小值 f(a) 又因为 f(x)存在两个不同零点 x1,x2,所以 f(a)<0,即 整理得 ,

作 y=f(x)关于直线 x=a 的对称曲线 g(x)=f(2a﹣x) , 令 所以 h(x)在(0,2a)上单调递增, 不妨设 x1<a<x2,则 h(x2)>h(a)=0,即 g(x2)=f(2a﹣x2)>f(x2)=f(x1) , 又因为 2a﹣x2∈(0,a) ,x1∈(0,a) ,且 f(x)在(0,a)上为减函数, 故 2a﹣x2<x1,即 x1+x2>2a,又 ,易知 a>1 成立,故 x1+x2>2.

请考生在 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐
2 3+sin2θ) =12, 标系. 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ( 曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数,

) .

(1)求曲线 C1 的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线; (2)设曲线 C2 与曲线 C1 的交点为 A,B,P(1,0) ,当 的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用极坐标与直角坐标的关系化简曲线 C1 的极坐标方程为普通方 时,求 cosα

程; (2)对参数方程 x,y 代入椭圆方程,然后根据直线参数方程的几何意义,设 |PA|=|t1|,|PB|=|t2|,结合韦达定理得到所求. 【解答】解: (1)由 ρ2(3+sin2θ)=12 得 ,该曲线为椭圆.

(2)将

代入

得 t2(4﹣cos2α)+6tcosα﹣9=0, ,

由直线参数方程的几何意义,设 |PA|=|t1| , |PB|=|t2| , , 所以 从而 ,由于 ,所以 . ,

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (1)如果关于 x 的不等式|x+1|+|x﹣5|≤m 的解集不是空集,求 m 的取值 范围; (2)若 a,b 均为正数,求证:aabb≥abba. 【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)利用绝对值不等式推出|x+1|+|x﹣5|≥6,转化不等式|x+1|+|x﹣ 5|≤m 的解集不是空集,推出 m 即可; (2)利用分析法,集合指数函数的性质,推出结果即可. 【解答】 (本小题满分 10 分) 解: (1)令 ,可知|x+1|+|x﹣5|≥6,故要使

不等式|x+1|+|x﹣5|≤m 的解集不是空集,有 m≥6. (2)证明:由 a,b 均为正数,则要证 aabb≥abba,只需证 aa﹣bbb﹣a≥1,整理得 , 由于当 a≥b 时,a﹣b≥0,可得 ,

当 a<b 时,a﹣b<0,可得 当且仅当 a=b 时等号成立, 从而 aabb≥abba 成立.

,可知 a,b 均为正数时



2017 年 3 月 15 日


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