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1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积1

1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积1


1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

?1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握 柱体、锥体、台体的表面积和体积的求 法. ?2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表 面积,并且熟悉台体、柱体和锥体之间的 转换关系. ?3.培养学生的空间想象能力和思维能力.

?2008年北京奥运会的重要前奏是奥运圣火 的传递,圣火由“祥云”火炬承载,传遍 五洲四海,宏扬奥林匹克精神.“祥云” 火炬外形是细长的圆台形式,长72 cm,重 985克,燃料为丙烷.那么在“祥云”的外 层着色要覆盖多大的面积,其内部能盛装 多少液态的丙烷?本节课我们将探求计算 几何体表面积与体积的方法.

?1.多面体的表面积 ?(1) 正方体、长方体是由各个平面图形围 成的多面体,它们的表面积就是各个面面 积的和,也就是其 展开图 ?的面积. 平面图形求面积 ?(2)可以把多面体展成平面图形,利用 ?的方法来求多面体的表面积.

2.旋转体的表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 表面积公式 S= 2πr(r+ l) (其中 r 为底面半径, l 为母线长 ) S= πr(r+ l) (其中 r 为底面半径, l 为母线长 )
2 2 S= π(r′ + r + r′l+ rl) (其中 r′, r 分别为

上、下底面半径, l 为母线长 )

3.柱体、锥体、台体的体积 几何体 柱体 锥体 体积公式 V= Sh (S 为底面面积, h 为柱体的高 ) V= 1Sh (S 为底面面积, h 为锥体的高 ) 3 V=1(S′+ S′S+ S)h (S, S′分别为上、 3 下底面面积, h 为台体的高 )

台体

?探究:根据柱体、锥体、台体之间的关系, 你能发现三者的体积公式之间的关系吗? ?提示: (1) 柱体、锥体、台体之间的关系:

?(2)体积公式之间的关系:

?典例 一个圆柱的侧面展开图是一个正方 形,则这个圆柱的表面积与底面积的比是 ________.

【错解】 设底面半径为 r,高为 h,则 h=2πr, ∴S 表=2πrh=4π2r2,S 底=2πr2, S表 4π2r2 ∴ = 2 = 2π. 2 πr S底

【错因分析】

错解中误把侧面积当作表面积,表

面积=侧面积+底面积.另外注意圆柱有两个底面.

【正解】

S 表=S 侧+S 底=2πrh+2πr2,

S表 2πrh+2πr2 ∴ = =2π+1. 2πr2 S底

?易错补练 如图长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=a,BC=b,BB1=c,并且a>b>c>0.求 沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的 长.

?解:将长方体相邻两个面展开有下列三种 可能,

三种情况如图①②③中 AC1 的长分别为: ① ? a+ b?2+c2= a2+ b2+ c2+2ab, ② a2+? b+ c? 2= a2+ b2+ c2+2bc, ③ ? a+ c?2+b2= a2+ b2+ c2+2ac. ∵ a>b>c>0, ∴ ab>ac>bc>0.

故最短线路的长为 a2+b2+ c2+2bc.

?1.表面积是各个面的面积之和,求多面 体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪 开后展成平面图形,利用平面图形求多面 体的表面积.求旋转体的表面积时,可从 回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手, 将其展开求表面积,但要搞清它们的底面 半径、母线长与对应的侧面展开图中的边 长关系.

?2.几何体占有空间部分的大小,叫做几何 体的体积.这里的“大小”没有比较大小 的含义,而是要用具体的“数”来定量表 示几何体占据了多大的空间.相同几何体 的体积相等,但体积相同的几何体不一定 相同.

?3.在体积公式中出现了几何体的高,其含 义是: ?柱体的高:从柱体的一个底面上任意一点 向另一个底面作垂线,这点和垂足之间的 距离称为柱体的高; ?锥体的高:从锥体的顶点向底面作垂线, 顶点与垂足之间的距离称为锥体的高; ?台体的高:从台体的一个底面上任意一点 向另一个底面作垂线,这点与垂足之间的 距离称为台体的高.

?4.利用侧面展开图或截面把空间图形问题 转化为平面图形问题,是解决立体几何问 题的常用手段. ?5.柱体、锥体、台体是以后学习第二章点、 直线、平面之间的位置关系的载体,高考 试题中,通常是用本模块第一章的图,考 查第二章的知识.

?1 .长方体同一顶点上的三条棱长分别 是2,3,4,则该长方体的表面积是( ) ?A.36 B.24 ?C.52 D.26 ?解析:表面积为2(2×3+3×4+2×4)= 52. ?答案:C

2.棱锥 SO 的底面半径是 1,高为 2,则棱锥 SO 的体积是( 2π A. 3 C. 4π ) B. 2π D. 6π

1 2 1 2 2 解析:体积为 πr · h= π· 1 ×2= π. 3 3 3

答案:A

3.棱台的上下底面面积分别是 2,4,高为 3,则 该棱台的体积是 ( A. 18+ 6 2 C. 24 ) B. 6+2 2 D. 18

1 解析: 棱台体积 V= (2+ 2×4+4)×3=6+2 2. 3

答案:B

4.一个圆锥的全面积是底面积的 4 倍,则轴截面 的面积是底面积的 ( 15 A. 倍 2π 2 C. 倍 π ) 15 B. 倍 π 2 2 D. 倍 π

解析:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,高为 h 依题意得 πr2+ πrl= 4πr2 ∴ l= 3r,圆锥的高 h= ? 3r?2- r2= 2 2r S轴 2 2 故 S 轴= r· 2 2r= 2 2r , = . π S底
2

答案:D

?5.(2011年高考陕西卷)某几何体的三视图 如图所示,则它的体积是( )

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

解析:由三视图可知,该几何体为一个正方体挖去 1 22 了一个圆锥得到的组合体,所以 V=2 - π( ) · 2=8- 3 2
3

2π . 3

答案:A


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